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(No se muestran 6 ediciones intermedias de 2 usuarios) |
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| Dados los conjuntos A = {1,3,5,7,8,11} y B = {-1,3,-5,7,-8,11}. Hallar: <br><br> | | Dados los conjuntos A = {1,3,5,7,8,11} y B = {-1,3,-5,7,-8,11}. Hallar: <br><br> |
| <math> A \cap B = \left\{3,7,11 \right\}</math><br> | | <math> A \cap B = \left\{3,7,11 \right\}</math><br> |
| <math>A \cup B = \left\{-8,-5,-3,-1,1,3,5,7,8,11 \right\}</math><br> | | <math>A \cup B = \left\{-8,-5,-1,1,3,5,7,8,11 \right\}</math><br> |
| <math>A - B = \left\{1,5,8 \right\}</math><br> | | <math>A - B = \left\{1,5,8 \right\}</math><br> |
| <math>B - A = \left\{-1,-5,-8 \right\}</math><br> | | <math>B - A = \left\{-1,-5,-8 \right\}</math><br> |
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| ==Ejercicio 4== | | ==Ejercicio 4== |
| Dado el conjunto referencial <math>V = \left\{ n \in N | n\;es\;multiplo\;de\;15 \right\}</math> | | Dado el conjunto referencial <math>V = \left\{ n \in N | n\;es\;multiplo\;de\;15 \right\}</math> |
| hallar el comlpemento del subconjunto A de V definido por <math> A = \left\{ n \in N | n \leq 132 \right\}</math> | | hallar el comlpemento del subconjunto A de V definido por <math> A = \left\{ n \in N | n \geq 132 \right\}</math> |
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| <math>A' = \left\{ 15,60,45,60,75,90,105,120 \right\} </math>
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| | <math>A' = \left\{ 15,30,45,60,75,90,105,120 \right\} </math> |
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| ==Ejercicio 5== | | ==Ejercicio 5== |
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| VERDADERO. Demostración: <br><br> | | VERDADERO. Demostración: <br><br> |
| <math> x \in ( A \cup B ) \Longleftrightarrow x \notin A \and x \notin B \Longleftrightarrow x \in A' \and x \in B' \Longleftrightarrow x \in ( A' \cap B') </math> | | <math> x \in ( A \cup B ) \Longleftrightarrow x \notin A \wedge x \notin B \Longleftrightarrow x \in A' \wedge x \in B' \Longleftrightarrow x \in ( A' \cap B') </math> |
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| '''iii)''' <math> (A \triangle B ) \subseteq (A \triangle C) \cup ( B \triangle C) </math><br><br> | | '''iii)''' <math> (A \triangle B ) \subseteq (A \triangle C) \cup ( B \triangle C) </math><br><br> |
| VERDADERO. Demostración: <br><br> | | VERDADERO. Demostración: <br><br> |
| <math> x \in (A \triangle B) \Longleftrightarrow ( x \in A \and x \notin B) \; \or \; ( x \notin A \and x \in B ) \Rightarrow </math><br> | | <math> x \in (A \triangle B) \Longleftrightarrow ( x \in A \wedge x \notin B) \; \vee \; ( x \notin A \wedge x \in B ) \Rightarrow </math><br> |
| <math> ( x \in A \and x \notin B \and x \in C )\; \or \; ( x \in A \and x \notin B \and x \notin C) \; \or \; ( x \notin A \and x \in B \and x \in C) \; \or \; </math><br> | | <math> ( x \in A \wedge x \notin B \wedge x \in C )\; \vee \; ( x \in A \wedge x \notin B \wedge x \notin C) \; \vee \; ( x \notin A \wedge x \in B \wedge x \in C) \; \vee \; </math><br> |
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| <math> \or \; ( x \notin A \and x \in B \and x \notin C) \; \or \; ( x \in A \and x \in B \and x \notin C) \; \or \; ( x \notin A \and x \notin B \and x \in C ) </math><br><br> | | <math> \vee \; ( x \notin A \wedge x \in B \wedge x \notin C) \; \vee \; ( x \in A \wedge x \in B \wedge x \notin C) \; \vee \; ( x \notin A \wedge x \notin B \wedge x \in C ) </math><br><br> |
| Si agregamos una condición que ya está dada, las soluciones son las mismas. Entonces repitamos algunas condiciones:<br><br> | | Si agregamos una condición que ya está dada, las soluciones son las mismas. Entonces repitamos algunas condiciones:<br><br> |
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| <math> ( x \in A \and x \notin B \and x \in C )\; \or \; ( x \in A \and x \notin B \and x \notin C) \; \or </math><br> | | <math> ( x \in A \wedge x \notin B \wedge x \in C )\; \vee \; ( x \in A \wedge x \notin B \wedge x \notin C) \; \vee </math><br> |
| <math> \or \; ( x \notin A \and x \in B \and x \in C) \; \or \; ( x \notin A \and x \in B \and x \notin C) \; \or </math><br> | | <math> \vee \; ( x \notin A \wedge x \in B \wedge x \in C) \; \vee \; ( x \notin A \wedge x \in B \wedge x \notin C) \; \vee </math><br> |
| <math>\or \; ( x \in A \and x \in B \and x \notin C) \; \or \; ( x \notin A \and x \notin B \and x \in C ) \; \or </math><br> | | <math>\vee \; ( x \in A \wedge x \in B \wedge x \notin C) \; \vee \; ( x \notin A \wedge x \notin B \wedge x \in C ) \; \vee </math><br> |
| <math>\or \; ( x \in A \and x \in B \and x \notin C) \; \or \; ( x \notin A \and x \notin B \and x \in C ) </math><br><br> | | <math>\vee \; ( x \in A \wedge x \in B \wedge x \notin C) \; \vee \; ( x \notin A \wedge x \notin B \wedge x \in C ) </math><br><br> |
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| Y ahora separamos las condiciones en dos grupos para facilitar la lectura de la demostración.<br><br><br> | | Y ahora separamos las condiciones en dos grupos para facilitar la lectura de la demostración.<br><br><br> |
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| <math> (1) ( x \in A \and x \notin B \and x \notin C) \; \or \; (x \notin A \and x \in B \and x \in C) \; \or </math><br> | | <math> (1) ( x \in A \wedge x \notin B \wedge x \notin C) \; \vee \; (x \notin A \wedge x \in B \wedge x \in C) \; \vee </math><br> |
| <math> \or \;( x \in A \and x \in B \and x \notin C ) \; \or \; ( x \notin A \and x \notin B \and x \in C ) </math> <br><br> | | <math> \vee \;( x \in A \wedge x \in B \wedge x \notin C ) \; \vee \; ( x \notin A \wedge x \notin B \wedge x \in C ) </math> <br><br> |
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| y: <br><br> | | y: <br><br> |
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| <math> (2) ( x \notin A \and x \in B \and x \notin C) \; \or \; ( x \in A \and x \notin B \and x \in C ) \; \or </math><br> | | <math> (2) ( x \notin A \wedge x \in B \wedge x \notin C) \; \vee \; ( x \in A \wedge x \notin B \wedge x \in C ) \; \vee </math><br> |
| <math> \or \;( x \in A \and x \in B \and x \notin C ) \; \or \; ( x \notin A \and x \notin B \and x \in C ) </math> <br><br> | | <math> \vee \;( x \in A \wedge x \in B \wedge x \notin C ) \; \vee \; ( x \notin A \wedge x \notin B \wedge x \in C ) </math> <br><br> |
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| Trabajemos con (1): | | Trabajemos con (1): |
| <br> Reordenando y reagrupando: | | <br> Reordenando y reagrupando: |
| <br><br><math> ( x \notin B \and ( ( x \in A \and x \notin C) \; \or \; ( x \notin A \and x \in C))) \; \or </math><br> | | <br><br><math> ( x \notin B \wedge ( ( x \in A \wedge x \notin C) \; \vee \; ( x \notin A \wedge x \in C))) \; \vee </math><br> |
| <math> \or \; ( x \in B \and (( x \notin A \and x \in C) \; \or \; ( x \in A \and x \notin C))) </math><br> | | <math> \vee \; ( x \in B \wedge (( x \notin A \wedge x \in C) \; \vee \; ( x \in A \wedge x \notin C))) </math><br> |
| <math> \Longleftrightarrow ( x \notin B \and x \in ( A \triangle C)) \; \or \; ( x \in B \and ( x \in ( A \triangle C)) </math><br> | | <math> \Longleftrightarrow ( x \notin B \wedge x \in ( A \triangle C)) \; \vee \; ( x \in B \wedge ( x \in ( A \triangle C)) </math><br> |
| <math> ( x \in ( A \triangle C) \and ( x \in B \or x \notin B) \Rightarrow </math> <br> | | <math> ( x \in ( A \triangle C) \wedge ( x \in B \vee x \notin B) \Rightarrow </math> <br> |
| Por tautología: | | Por tautología: |
| <br> | | <br> |
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Línea 142: |
| Ahora de manera análoga resolvemos que (2) implica que <math> x \in ( B \triangle C) </math> y juntando nuevamente los datos de (1) y (2) obtenemos: | | Ahora de manera análoga resolvemos que (2) implica que <math> x \in ( B \triangle C) </math> y juntando nuevamente los datos de (1) y (2) obtenemos: |
| <br> | | <br> |
| <math> x \in ( B \triangle C) \; \or \; x \in ( A \triangle C) \Rightarrow x \in (A \triangle C ) \cup ( B \triangle C) </math> | | <math> x \in ( B \triangle C) \; \vee \; x \in ( A \triangle C) \Rightarrow x \in (A \triangle C ) \cup ( B \triangle C) </math> |
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| VERDADERO. Demostración: <br><br> | | VERDADERO. Demostración: <br><br> |
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| <math> x \in ( A \cap ( B \cup C ) ) \Longleftrightarrow x \in A \and x \in ( B \cup C) \Longleftrightarrow x \in A \and ( x \in B \or x \in C )</math> | | <math> x \in ( A \cap ( B \cup C ) ) \Longleftrightarrow x \in A \wedge x \in ( B \cup C) \Longleftrightarrow x \in A \wedge ( x \in B \vee x \in C )</math> |
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| <math> \Longleftrightarrow ( x \in A \and x \in B ) \; \or \; ( x \in A \and x \in C ) \Longleftrightarrow x \in (A \cap B ) \; \or \; x \in ( A \cap C ) </math> | | <math> \Longleftrightarrow ( x \in A \wedge x \in B ) \; \vee \; ( x \in A \wedge x \in C ) \Longleftrightarrow x \in (A \cap B ) \; \vee \; x \in ( A \cap C ) </math> |
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| <math> x \in ( ( A \cap B) \cup ( A \cap C ) ) </math> | | <math> x \in ( ( A \cap B) \cup ( A \cap C ) ) </math> |
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Línea 172: |
| Sabemos por hipótesis que <math> C \subseteq A </math>, es decir, que <math> x \in C \Rightarrow x \in A </math> | | Sabemos por hipótesis que <math> C \subseteq A </math>, es decir, que <math> x \in C \Rightarrow x \in A </math> |
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| <math> x \in ( B \cap C ) \Longleftrightarrow x \in B \and x \in C \Rightarrow x \in B \and x \in A \Rightarrow </math> | | <math> x \in ( B \cap C ) \Longleftrightarrow x \in B \wedge x \in C \Rightarrow x \in B \wedge x \in A \Rightarrow </math> |
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| <math> \Rightarrow ( x \in B \and x \in A) \; \or \; ( x \notin B \and x \notin A ) \Rightarrow x \in ( B \cap A ) \; \or \; x \in ( A \cup B )' </math> | | <math> \Rightarrow ( x \in B \wedge x \in A) \; \vee \; ( x \notin B \wedge x \notin A ) \Rightarrow x \in ( B \cap A ) \; \vee \; x \in ( A \cup B )' </math> |
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| <math> \Rightarrow x \in ( ( A \cup B) - (B \cap A) )' \Rightarrow x \in ( B \triangle A)' </math> | | <math> \Rightarrow x \in ( ( A \cup B) - (B \cap A) )' \Rightarrow x \in ( B \triangle A)' </math> |
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| <math> x \in (A \triangle B) \Longleftrightarrow x \in ( ( A - B ) \cup ( B - A ) ) </math><br> | | <math> x \in (A \triangle B) \Longleftrightarrow x \in ( ( A - B ) \cup ( B - A ) ) </math><br> |
| <math> (A - B) \cup ( B - A) = \emptyset \Longleftrightarrow A - B = \emptyset \; \and \; B - A = \emptyset </math> | | <math> (A - B) \cup ( B - A) = \emptyset \Longleftrightarrow A - B = \emptyset \; \wedge \; B - A = \emptyset </math> |
| *<math> A - B = \emptyset \Longleftrightarrow \not\exists x \; / \; x \in A \and x \notin B \Longleftrightarrow A \subseteq B </math><br> | | *<math> A - B = \emptyset \Longleftrightarrow \not\exists x \; / \; x \in A \wedge x \notin B \Longleftrightarrow A \subseteq B </math><br> |
| *<math> B - A = \emptyset \Longleftrightarrow \not\exists x \; / \; x \in B \and x \notin A \Longleftrightarrow B \subseteq A </math><br> | | *<math> B - A = \emptyset \Longleftrightarrow \not\exists x \; / \; x \in B \wedge x \notin A \Longleftrightarrow B \subseteq A </math><br> |
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| <math> A \subseteq B \; \and \; B \subseteq A \Longleftrightarrow A = B </math> | | <math> A \subseteq B \; \wedge \; B \subseteq A \Longleftrightarrow A = B </math> |
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| VERDADERO. Demostración: <br><br> | | VERDADERO. Demostración: <br><br> |
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| <math> x \in ( ( A \triangle B ) - C ) \Longleftrightarrow x \in ( A \triangle B ) \and x \notin C \Longleftrightarrow </math> | | <math> x \in ( ( A \triangle B ) - C ) \Longleftrightarrow x \in ( A \triangle B ) \wedge x \notin C \Longleftrightarrow </math> |
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| <math> \Longleftrightarrow ( ( x \in A \and x \notin B ) \; \or \; ( x \notin A \and x \in B ) ) \and x \notin C \Longleftrightarrow </math> | | <math> \Longleftrightarrow ( ( x \in A \wedge x \notin B ) \; \vee \; ( x \notin A \wedge x \in B ) ) \wedge x \notin C \Longleftrightarrow </math> |
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| <math> \Longleftrightarrow ( x \in A \and x \notin B \and x \notin C ) \; \or \; ( x \notin A \and x \in B \and x \notin X ) \Longleftrightarrow </math> | | <math> \Longleftrightarrow ( x \in A \wedge x \notin B \wedge x \notin C ) \; \vee \; ( x \notin A \wedge x \in B \wedge x \notin C ) \Longleftrightarrow </math> |
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| Uniendo conjuntos vacíos: | | Uniendo conjuntos vacíos: |
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| <math> ( x \in A \and x \notin C \and x \in C ) \; \or \; ( x \in A \and x \notin C \and x \notin B) \; \or \; </math> | | <math> ( x \in A \wedge x \notin C \wedge x \in C ) \; \vee \; ( x \in A \wedge x \notin C \wedge x \notin B) \; \vee \; </math> |
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| <math> \or \; ( ( x \notin A \and x \in B \and x \notin C) \or ( x \in C \and x \in B \and x \notin C ) ) \Longleftrightarrow </math> | | <math> \vee \; ( ( x \notin A \wedge x \in B \wedge x \notin C) \vee ( x \in C \wedge x \in B \wedge x \notin C ) ) \Longleftrightarrow </math> |
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| <math> ( ( x \in A \and x \notin C ) \and ( x \notin B \or x \in C ) ) \; \or \; ( ( x \notin A \or x \in C ) \and ( x \in B \and x \notin C ) ) </math> | | <math> ( ( x \in A \wedge x \notin C ) \wedge ( x \notin B \vee x \in C ) ) \; \vee \; ( ( x \notin A \vee x \in C ) \wedge ( x \in B \wedge x \notin C ) ) </math> |
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| <math> \Longleftrightarrow ( x \in ( A - C ) \and x \in ( B - C )' ) \; \or \; ( x \in ( A - C ) ' \and x \in ( B - C ) ) \Longleftrightarrow </math> | | <math> \Longleftrightarrow ( x \in ( A - C ) \wedge x \in ( B - C )' ) \; \vee \; ( x \in ( A - C ) ' \wedge x \in ( B - C ) ) \Longleftrightarrow </math> |
| <math> \Longleftrightarrow x \in ( ( A - C ) \triangle ( B - C ) ) </math> | | <math> \Longleftrightarrow x \in ( ( A - C ) \triangle ( B - C ) ) </math> |
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Línea 232: |
Línea 231: |
| VERDADERO. Demostración: <br><br> | | VERDADERO. Demostración: <br><br> |
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| <math> x \in ( A \triangle \emptyset ) \Longleftrightarrow ( x \in A \and x \notin \emptyset) \; \or \; ( x \notin A \and x \in \emptyset ) \Longleftrightarrow x \in A \and x \notin \emptyset \Longleftrightarrow </math> | | <math> x \in ( A \triangle \emptyset ) \Longleftrightarrow ( x \in A \wedge x \notin \emptyset) \; \vee \; ( x \notin A \wedge x \in \emptyset ) \Longleftrightarrow x \in A \wedge x \notin \emptyset \Longleftrightarrow </math> |
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| <math> \Longleftrightarrow x \in A </math> | | <math> \Longleftrightarrow x \in A </math> |
Línea 246: |
Línea 245: |
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| <math> x \in ( A \; \cup \; ( B \; \cap \; C ) ) \Longleftrightarrow x \in A \; \or \; x \in ( B \; \cap \; C ) \Longleftrightarrow </math> | | <math> x \in ( A \; \cup \; ( B \; \cap \; C ) ) \Longleftrightarrow x \in A \; \vee \; x \in ( B \; \cap \; C ) \Longleftrightarrow </math> |
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| <math> \Longleftrightarrow x \in A \; \or \; ( x \in B \; \and \; x \in C ) \Longleftrightarrow ( x \in A \; \or \; x \in B ) \; \and \; ( x \in A \; \or \; x \in C ) </math> | | <math> \Longleftrightarrow x \in A \; \vee \; ( x \in B \; \wedge \; x \in C ) \Longleftrightarrow ( x \in A \; \vee \; x \in B ) \; \wedge \; ( x \in A \; \vee \; x \in C ) </math> |
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| <math> \Longleftrightarrow x \in ( ( A \; \cup \; B ) \; \cap \; ( A \; \cup \; C ) ) </math> | | <math> \Longleftrightarrow x \in ( ( A \; \cup \; B ) \; \cap \; ( A \; \cup \; C ) ) </math> |
Línea 260: |
Línea 259: |
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| <math> x \in ( A \cap B)' \Longleftrightarrow x \notin ( A \cap B) \Longleftrightarrow x\notin A \and x \notin B \Longleftrightarrow x \in ( A' \cup B' ) </math> | | <math> x \in ( A \cap B)' \Longleftrightarrow x \notin ( A \cap B) \Longleftrightarrow x\notin A \wedge x \notin B \Longleftrightarrow x \in ( A' \cup B' ) </math> |
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Línea 270: |
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| <math> x \in ( A \cap ( B \triangle C ) ) \Longleftrightarrow x \in A \and x \in ( B \triangle C ) \Longleftrightarrow </math> | | <math> x \in ( A \cap ( B \triangle C ) ) \Longleftrightarrow x \in A \wedge x \in ( B \triangle C ) \Longleftrightarrow </math> |
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| <math> \Longleftrightarrow x \in A \and ( ( x \in B \and x \notin C) \; \or \; ( x \notin B \and x \in C ) \Longleftrightarrow </math> | | <math> \Longleftrightarrow x \in A \wedge ( ( x \in B \wedge x \notin C) \; \vee \; ( x \notin B \wedge x \in C ) \Longleftrightarrow </math> |
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| <math> \Longleftrightarrow ( x \in A \and x \in B \and x \notin C ) \; \or \; ( x \in A \and x \notin B \and x \in C ) \Longleftrightarrow</math> | | <math> \Longleftrightarrow ( x \in A \wedge x \in B \wedge x \notin C ) \; \vee \; ( x \in A \wedge x \notin B \wedge x \in C ) \Longleftrightarrow</math> |
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| <math> ( x \in A \and x \in B \and x \notin ( A \cap C ) ) \; \or \; ( x \in A \and x \notin ( A \cap B ) \and x \in C ) \Longleftrightarrow </math> | | <math> ( x \in A \wedge x \in B \wedge x \notin ( A \cap C ) ) \; \vee \; ( x \in A \wedge x \notin ( A \cap B ) \wedge x \in C ) \Longleftrightarrow </math> |
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| <math> \Longleftrightarrow( x \in ( A \cap B) \and x \in ( A \cap C )') \; \or ( x \in (A \cap C) \and x \in ( A \cap B)' )</math> | | <math> \Longleftrightarrow( x \in ( A \cap B) \wedge x \in ( A \cap C )') \; \vee ( x \in (A \cap C) \wedge x \in ( A \cap B)' )</math> |
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| <math> x \in (A \cap B ) \triangle ( A \cap C) </math> | | <math> x \in (A \cap B ) \triangle ( A \cap C) </math> |
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| <math> x \in ( A - ( B - C ) ) \Longleftrightarrow x \in A \and x \notin ( B - C ) \Longleftrightarrow x \in A \and ( x \notin B \or x \in C) </math> | | <math> x \in ( A - ( B - C ) ) \Longleftrightarrow x \in A \wedge x \notin ( B - C ) \Longleftrightarrow x \in A \wedge ( x \notin B \vee x \in C) </math> |
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| <math> \Longleftrightarrow ( x \in A \and x \notin B ) \; \or \; ( x \in A \and x \in C ) \Longleftrightarrow x \in ( B - C ) \; \or \; x \in ( A \cap C ) </math> | | <math> \Longleftrightarrow ( x \in A \wedge x \notin B ) \; \vee \; ( x \in A \wedge x \in C ) \Longleftrightarrow x \in ( B - C ) \; \vee \; x \in ( A \cap C ) </math> |
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| <math> \Longleftrightarrow x \in ( ( A - B ) \cup ( A \cap C ) ) </math> | | <math> \Longleftrightarrow x \in ( ( A - B ) \cup ( A \cap C ) ) </math> |
Línea 304: |
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| <math> x \in ( A - ( A \triangle B ) ) \Longleftrightarrow x \in A \and x \notin ( A \triangle B) \Longleftrightarrow x \in A \and x \notin ( A \cup B ) \and x \in ( A \cap B ) </math> | | <math> x \in ( A - ( A \triangle B ) ) \Longleftrightarrow x \in A \wedge x \notin ( A \triangle B) \Longleftrightarrow x \in A \wedge x \notin ( A \cup B ) \wedge x \in ( A \cap B ) </math> |
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| <math> \Longleftrightarrow x \in A \and x \in (A \cap B) \Longleftrightarrow x \in (A \cap B) </math> | | <math> \Longleftrightarrow x \in A \wedge x \in (A \cap B) \Longleftrightarrow x \in (A \cap B) </math> |
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| <math> x \in ( ( A \cap C ) - B) \Longleftrightarrow x \in ( A \cap C) \and x \notin B \Longleftrightarrow x \in A \and x \notin B \and x \in C \Longleftrightarrow </math> | | <math> x \in ( ( A \cap C ) - B) \Longleftrightarrow x \in ( A \cap C) \wedge x \notin B \Longleftrightarrow x \in A \wedge x \notin B \wedge x \in C \Longleftrightarrow </math> |
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| <math> \Longleftrightarrow x \in (A - B) \and x \in C \Longleftrightarrow x \in ( ( A -B) \cap C ) </math> | | <math> \Longleftrightarrow x \in (A - B) \wedge x \in C \Longleftrightarrow x \in ( ( A -B) \cap C ) </math> |
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| <math> x \in (A \triangle B) \Longleftrightarrow x \in (A - B) \; \or \; x \in ( B - A ) </math> Pero como <math> A \subseteq B \Rightarrow A - B = \emptyset </math> | | <math> x \in (A \triangle B) \Longleftrightarrow x \in (A - B) \; \vee \; x \in ( B - A ) </math> Pero como <math> A \subseteq B \Rightarrow A - B = \emptyset </math> |
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| <math> x \in ( A - B) \or x \in ( B - A) \Longleftrightarrow x \in \emptyset \or x \in ( B - A ) \Longleftrightarrow x \in ( B \cap A' ) </math> | | <math> x \in ( A - B) \vee x \in ( B - A) \Longleftrightarrow x \in \emptyset \vee x \in ( B - A ) \Longleftrightarrow x \in ( B \cap A' ) </math> |
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| <math> x \in ( A \cup B) \cap C' \Longleftrightarrow ( x \in A \or x \in B ) \and x \notin C \Longleftrightarrow </math> | | <math> x \in ( A \cup B) \cap C' \Longleftrightarrow ( x \in A \vee x \in B ) \wedge x \notin C \Longleftrightarrow </math> |
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| <math> ( x \in A \and x \notin C) \or ( x \in B \and x \notin C)</math> como <math> C \subseteq A \Rightarrow C - A = \emptyset </math>. Podemos añadir restricciones de solución nula sin cambiar el conjunto de soluciones, por lo que | | <math> ( x \in A \wedge x \notin C) \vee ( x \in B \wedge x \notin C)</math> como <math> C \subseteq A \Rightarrow C - A = \emptyset </math>. Podemos añadir restricciones de solución nula sin cambiar el conjunto de soluciones, por lo que |
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| <math> (x \in A \and x \notin C) \or ( x \in B \and x \notin C) \Longleftrightarrow </math> | | <math> (x \in A \wedge x \notin C) \vee ( x \in B \wedge x \notin C) \Longleftrightarrow </math> |
| <math> \Longleftrightarrow (x \in A \and x \notin C) \or ( x \notin A \and x \in C) \or ( x \in B \and x \notin C) \Longleftrightarrow </math> | | <math> \Longleftrightarrow (x \in A \wedge x \notin C) \vee ( x \notin A \wedge x \in C) \vee ( x \in B \wedge x \notin C) \Longleftrightarrow </math> |
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| <math> x \in ( A - C) \or x \in ( C - A) \or ( B - C ) \Longleftrightarrow x \in ( ( A \triangle ) \cup ( B - C ) ) </math> | | <math> x \in ( A - C) \vee x \in ( C - A) \vee ( B - C ) \Longleftrightarrow x \in ( ( A \triangle ) \cup ( B - C ) ) </math> |
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| <math> x \in ( A \cap ( B \triangle C ) ) \Longleftrightarrow x \in A \and x \in ( B \triangle C) \Longleftrightarrow </math> | | <math> x \in ( A \cap ( B \triangle C ) ) \Longleftrightarrow x \in A \wedge x \in ( B \triangle C) \Longleftrightarrow </math> |
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| <math> \Longleftrightarrow x \in A \and ( ( x \in B \and x \notin C) \or ( x \notin B \and x \and x \in C) ) \Longleftrightarrow </math> | | <math> \Longleftrightarrow x \in A \wedge ( ( x \in B \wedge x \notin C) \vee ( x \notin B \wedge x \wedge x \in C) ) \Longleftrightarrow </math> |
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| <math> ( x \in A \and x \in B \and x \notin C) \or ( x \in A \and x \notin B \and x \in C ) </math> | | <math> ( x \in A \wedge x \in B \wedge x \notin C) \vee ( x \in A \wedge x \notin B \wedge x \in C ) </math> |
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| Como <math> \not\exists x / x \in A \and x \in C \Rightarrow ( x \in A \and x \in B \and x \notin C) \or ( x \in A \and x \notin B \and x \in C ) \Longleftrightarrow </math> | | Como <math> \not\exists x / x \in A \wedge x \in C \Rightarrow ( x \in A \wedge x \in B \wedge x \notin C) \vee ( x \in A \wedge x \notin B \wedge x \in C ) \Longleftrightarrow </math> |
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| <math> \Longleftrightarrow ( x \in A \and x \in B \and x \notin C) \; con \; A \cap C = \emptyset \Longleftrightarrow x \in A \; \and \; x \in B \Longleftrightarrow </math> | | <math> \Longleftrightarrow ( x \in A \wedge x \in B \wedge x \notin C) \; con \; A \cap C = \emptyset \Longleftrightarrow x \in A \; \wedge \; x \in B \Longleftrightarrow </math> |
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| <math> \Longleftrightarrow x \in (A \cap B) </math> | | <math> \Longleftrightarrow x \in (A \cap B) </math> |
Plantilla:Back
Ejercicio 1[editar]
Dado el conjunto A = {1,2,{3},{1,2},-1} determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas:
i) 3 ∈ A. FALSO
ii) {1,2} ⊆ A. VERDADERO
iii) {1,2} ∈ A. VERDADERO
iv) {3} ⊆ A. FALSO
v) { {3} } ⊆ A. VERDADERO
vi) Ø ∈ A. FALSO
vii) {-1,2} ⊆ A. VERDADERO
viii) Ø ⊆ A. VERDADERO
ix) {1,2,-1} ∈ A. FALSO
Ejercicio 2[editar]
Determinar si A ⊆ B en cada uno de los siguientes casos:
i) . NO ESTÁ INCLUÍDO.
ii) . NO ESTÁ INCLUIDO.
iii) ESTÁ INCLUÍDO
iv) . NO ESTÁ INCLUÍDO
v) . NO ESTÁ INCLUÍDO.
Ejercicio 3[editar]
Dados los conjuntos A = {1,3,5,7,8,11} y B = {-1,3,-5,7,-8,11}. Hallar:
Ejercicio 4[editar]
Dado el conjunto referencial
hallar el comlpemento del subconjunto A de V definido por
Ejercicio 5[editar]
Dado el conjunto referencial V = {1, {3}, -2, 7, 10, {1,2,3}, 3} y dados los subconjuntos A = {1, -2, 7, 3}, B= {1, {3}, 10} y C = {-2, {1,2,3}, 3} hallar:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
Ejercicio 6[editar]
En un grupo de 110 alumnos hay 63 alumnos que estudian inglés, 30 que estudian alemán y 50 que estudian francés. Sabiendo que hay 7 alumnos que estudian los tres idiomas, 30 que sólo estudian inglés, 13 que sólo estudian alemán y 25 que sólo estudian francés, determinar
i) ¿Cuántos alumnos estudian exactamente dos idiomas?
ii) ¿Cuántos alumnos estudian inglés y alemán pero no francés?
iii) ¿Cuántos alumnos estudian alemán y grancés pero no inglés?
iv) ¿Cuántos alumnos estudian inglés y francés pero no alemán?
v) ¿Cuántos alumnos no estudian ningún idioma?
i) 41
ii) 9
iii) 1
iv) 17
v) 8
Ejercicio 8[editar]
Encontrar fórmulas que describan las partes rayadas de los siguientes diagramas de Venn (ver la práctica), utilizando únicamente intersecciones, uniones y complementos:
i)
ii)
iii)
iv)
Ejercicio 9[editar]
Determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas cualesquiera sean los conjuntos A, B y C y cuáles no. Para las que sean verdaderas, dar una demostración, para las otras dar un contraejemplo.
i)
FALSO. Contraejemplo:
A = {1, 2, 3}
B = {3, 4, 5}
C = {1, 3, 4}
ii)
VERDADERO. Demostración:
iii)
VERDADERO. Demostración:
Si agregamos una condición que ya está dada, las soluciones son las mismas. Entonces repitamos algunas condiciones:
Y ahora separamos las condiciones en dos grupos para facilitar la lectura de la demostración.
y:
Trabajemos con (1):
Reordenando y reagrupando:
Por tautología:
Ahora de manera análoga resolvemos que (2) implica que y juntando nuevamente los datos de (1) y (2) obtenemos:
iv)
VERDADERO. Demostración:
v)
VERDADERO. Demostración:
Sabemos por hipótesis que , es decir, que
vi)
VERDADERO. Demostración:
vii)
VERDADERO. Demostración:
Uniendo conjuntos vacíos:
viii)
VERDADERO. Demostración:
Ejercicio 10[editar]
Sean A, B y C subconjuntos de un conjunto referencial V. Probar que:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
Pero como
viii)
Sabemos que implica
ix)
como . Podemos añadir restricciones de solución nula sin cambiar el conjunto de soluciones, por lo que
ix)
Como
Ejercicio 11[editar]
Hallar el conjunto P(A) de partes de A en los casos
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)