Edición de «Final del 21/10/14 (Lógica y Computabilidad)»
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=Ejercicio 1= | =Ejercicio 1= | ||
Hay que probar la existencia y la unicidad de que existe una única valuación | Hay que probar la existencia y la unicidad de que existe una única valuación que extiende a la función f. | ||
*La existencia se prueba por inducción en la complejidad de la fórmula definiendo en cada caso cómo se evalúa. | *La existencia se prueba por inducción en la complejidad de la fórmula definiendo en cada caso cómo se evalúa. | ||
Caso Base: sea a tal que | Caso Base: sea a tal que comp(a) = 0, entonces a es una variable proposicional. Entonces f(a) está definida. Por lo tanto v(a) = f(a). | ||
Paso Inductivo: supongamos válido hasta n, siendo n igual a la complejidad de a. Veamos si comp(a) = n + 1. | |||
- Si | - Si a = ¬b, entonces comp(b) = n, por lo que por H.I. v(b) está definido. Queda que v(a) = 1 - v(b) | ||
- Si a = b * c, con * siendo conector AND, OR o ->. Entonces comp(b) y comp(c) son menores a n+1. Por H.I. v(b) y v(c) están definidos. Por lo tanto: | |||
v(a) = mín(v(b),v(c)) si a = b AND c | |||
v(a) = máx(v(b),v(c)) si a = b OR c | |||
v(a) = máx(1 - v(b),v(c)) si a = b -> c | |||
La función v queda definido para toda fórmula de cualquier complejidad. | |||
* La unicidad se prueba suponiendo que existiese otra función de valuación w que extiende a f | |||
Consideremos el siguiente conjunto: | Consideremos el siguiente conjunto: | ||
Línea 43: | Línea 39: | ||
Como | Como w también extiende a f, I contiene a todas las variables proposicionales. Y como v y w son ambas valuaciones, I es cerrado por los conectivos por lo que Form está incluido en I. Es decir, v(P) = w(P) para toda fórmula P. | ||
Usa el teorema de que si subconjunto S de A* es cerrado por los conectivos u S contiene a todas las variables proposicionales entonces S contiene a todas las fórmulas. | |||
Según Alejandro Petrovich también salía por inducción en la complejidad de la fórmula. | Unicidad basado en el apunte de lógica de Roberto Cignoli y Guillermo Martínez. Según Alejandro Petrovich también salía por inducción en la complejidad de la fórmula. | ||
Línea 59: | Línea 54: | ||
Sea | Sea L=<C,F,P>, para una interpretación se define: | ||
Línea 101: | Línea 96: | ||
Con <math>g(a,b,c) = \left \{ \begin{matrix} suc(u^3_3(a,b,c)) \quad si \quad P \\ u^3_3(a,b,c) \quad si \quad \quad \neg P \end{matrix} | Con <math>g(a,b,c) = \left\{ \begin{matrix} suc(u^3_3(a,b,c)) \quad si \quad P \\ u^3_3(a,b,c) \quad si \quad \quad \neg P \end{matrix}</math> | ||
donde <math>P = u^3_1(a,b,c) \quad \mid \quad suc(u^3_2(a,b,c))</math> | donde <math>P = u^3_1(a,b,c) \quad \mid \quad suc(u^3_2(a,b,c))</math> | ||
Línea 153: | Línea 135: | ||
Por lo tanto, <math>\tau(n) = f(n,n) \forall n \in \mathbb{N}</math> | Por lo tanto, <math>\tau(n) = f(n,n) \forall n \in \mathbb{N}</math> | ||
=Ejercicio 4= | =Ejercicio 4= | ||
Línea 172: | Línea 155: | ||
Si <math>f(x) = 0 \quad o \quad f(x) = 1 \quad \longleftrightarrow \quad \psi_p(x) \downarrow \quad \rightarrow \quad | Si <math>f(x) = 0 \quad o \quad f(x) = 1 \quad \longleftrightarrow \quad \psi_p(x) \downarrow \quad \rightarrow \quad Halt(x,x) \quad \vee \quad \neg Halt(x,x)</math> | ||
Caso particular, sea <math>e=#P</math>, <math>Halt(e,e)</math> determina si el programa <math>e</math> con entrada <math>e</math> termina o no. | |||