Teorema de Compacidad

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Si Γ es un conjunto de fórmulas tal que todo subconjunto finito de Γ es satisfactible. Entonces Γ es satisfactible

El teorema es equivalente a la siguiente proposición:

  • Sea Γ un conjunto de fórmulas y α una fórmula. Si α es consecuencia lógica de Γ entonces existe un subconjunto finito Γ´ Γ tal que α es consecuencia lógica de Γ´

Prueba de la proposición[editar]

Supongamos primero que vale el teorema de compacidad. Sea y . Entonces es insatisfactible. Por el teorema existe finito e insatisfactible.

  • Si entonces es insatisfactible y luego .
  • Si no, contiene a . . También se llega a : y es insatisfactible.

Por lo tanto,