Segundo Parcial 21/07/2006 (Métodos Numéricos)

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Ejercicio 1[editar]

a)

Busco el min a,b de la funcion

Derivo e igualo a 0 cada derivada

que en este caso quedaria

y haciendo solo sustitucion quedan

b) El error de la estimacion es ni mas ni menos que evaluar la expresion que minimizamos al principio utilizando los coeficientes que obtuvimos, es decir:

Por lo que en este caso quedaria:

Ejercicio 2[editar]

Se quiere aproximar la funcion sen(x) en los puntos Xk = k*pi con 0<=k<=n.

a) encontrar el polinomio interpolador

b) calcular exactamente el error de interpolación

Respuesta

a)

Utilizando el poli interpolador de Lagrange:

b)

Por definicion del poli interpolador de Lagrange

y en este caso quedaria

por lo tanto

Ejercicio 3[editar]

a)

b)

por lo tanto

Ejercicio 4[editar]

Encontrar c tal que converja a un único punto fijo en [0, 1.2]. Analizar el orden de convergencia.

Verifico las 3 condiciones del teorema para la convergencia (y unicidad):

g es un polinomio, asique es continua siempre

Asique para que g caiga siempre en [0,1.2] tiene que pasar que:

    • sii
    • sii


Por lo tanto, g CV si

Para ver el orden de CV analizo hasta que punto las derivadas se anulan

sii

Verifico si 0 es un pto fijo de g:

sii

Considero cuando c = 0 y busco la CV cubica:

Por lo tanto g CV linealmente si y CV cuadraticamente si c = 0

Ejercicio 5[editar]

a) Creeme que da! b) Nota: en vez de usar x, y, z uso porque tengo ganas =)

Como ya se que F(1,1,1) = 0, verifico si hace a J inversible

Su determinante es 2 (tachando la fila del medio sale facil) que es , asique con

c) Por el algoritmo de Newton tengo que . Pero calcular es un bajon porque habria que invertir , asique mejor hacer asi:

Por lo tanto p es un punto fijo de G.