Segundo Parcial 04/07/2008 (Métodos Numéricos)

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Ejercicio 3[editar]

Para sea donde a, b y c corresponden al método de los trapecios compuesto para aproximar con .

a) Hallar los valores de a, b y c. b) ¿Existe un polinomio p de grado 2 tal que ?

Respuesta

a) Recordemos la fórmula de los trapecios:

En nuestro caso sería

Entonces: , y

b) Para que se debe cumplir que el término del error se anule. Si bien tenemos dos términos de error, con y , por un teorema de valor medio podemos reescribirlos en funcion de un . Por lo tanto para que este termino se anule para . Veamos que no existe un polinomio de segundo grado tal.

entonces

y si a = 0 entonces gr(p) < 2.

Ejercicio 4[editar]

Sea la sucesión definida por para algún número real inicial. Usando teoremas de existencia, convergencia y orden de convergencia a un punto fijo con alguna función apropiada:

a) Demostrar que existe para cualquier inicial mayor que 1.5.

b) Analizar el orden de convergencia.


Respuesta

a) Usando la función tengo que

Ambas funciones son continuas en

para

entonces la derivada está acotada por en el intervalo.

y la función es creciente, por lo tanto para todo .

Estas son condiciones suficientes para que la sucesión converga a un único punto fijo en ), por lo tanto para cualquier.


b) entonces 2 es el punto fijo.

por lo tanto la convergencia es lineal.