Primer Parcial 9/05/2008 (Métodos Numéricos)

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Ejercicio 1[editar]

Para los algoritmos y :

a) Hallar los coeficientes de condición y estabilidad de ambos.

b) Analizar condición y estabilidad.


Ejercicio 2[editar]

Sea . Decimos que tiene factorización LU si existe L triangular inferior con unos en la diagonal y U triangular superior tales que A = LU, o equivalentemente, si A se puede traingular sin pivoteo de filas mediante el método de Gauss.

Probar: si y sólo si todas las matrices de que tienen todos los elementos diagonales distintos de cero tienen factorización LU.

Ejercicio 3[editar]

Sea . Considere las siguientes normas matriciales definidas para toda matriz :

, y . Probar

a)

b) , y si entonces A no es inversible.


Ejercicio 4[editar]

Hallar la primera matriz de transformación utilizada para encontrar la factorización QR de A, por el método de Householder. Indicar claramente cuál fue el vector u utilizado para construir la matriz y verificar que hace cero los elementos de la primera columna por debajo de la diagonal.

Recordar que la expresión para un reflector es:

Ejercicio 5[editar]

Sea una matriz simétrica definida positiva, con autovalores de A tal que y sea una constante positiva. Se define el siguiente algoritmo iterativo, para :

a) Hallar el esquema de iteración de forma matricial y verificar que si el sistema iterativo converge, entonces lo hace a una solución del sistema Ax = b.

b) Si es autovalor de A y , hallar los autovalores de . Justifique.

c) Determinar los valores de para los cuales el algoritmo iterativo planteado converge para cualquier inicial. (ayuda: usar los resultados anteriores).

Respuesta a) Sea A = (D-L-U) con D los elementos de la diagonal de A, -L la parte estrictamente triangular inferior de A y -U la parte estrictamente triangular superior de A.

La forma matricial es:

Sea

Si existe

Si

b = Ax

Entonces converge al resultado deseado.

b) por definición de autovalor

Entonces si es autovalor de A

serán los autovalores de .

c) debe ser < 1.

Sabemos

Despejando