Primer Parcial 11/05/2007 (Métodos Numéricos)

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Ejercicio 2[editar]

Para sean y normas matriciales definidas por y . Probar:
a) usando la desigualdad de CBS()
b) usando que si

a) Para el x que cumple con vale



b) Sea el vector canonico con un 1 en la posicion i. Sea .



Ejercicio 3[editar]

Sea inversible tal que A = TS donde es triangular inferior y es triangular superior. Probar:
a) T y S son inversibles, usando propiedades de determinantes
b) A tiene factorizacion LU (con unos en la diagonal de L)

a) Si A es inversible,
Luego S y T son inversibles.
b) Como T es inversible, por (a), y es triangular significa que no hay ceros en su diagonal (ya que ). Se define y es facil ver que
Asi, y las cuales son triangular inferior y superior respectivamente (ya que multiplicar por una matriz diagonal multiplica cada elemento de cada fila por el elemento distinto de cero de la matriz diagonal correspondiente).
L tiene 1 en la diagonal ya que y ya que


Ejercicio 4[editar]

Dado una matriz cuadrada A, existe una matriz ortogonal Q y una matriz triangular superior R tal que A = QR,
a) En particular utilizar el metodo de Householder para encontrar la factorizacion QR de A =
b) Repetir el procedimiento utilizando el metodo de Givens.

a) Construyo u tal que y que .
Como se quiere dejar un 0 en usamos el vector x=(3,4). Luego .


Como es ortogonal (y Q tambien), QR = A, es decir

b) Quiero un W que anule el usando rotaciones. Para esto construyo la matriz de rotacion W,
En este caso y

.


Ejercicio 5[editar]

Sea una matriz con autovalores y tales que . Supongamos que no es autovalor de A. Sea I la identidad de . Probar
a) es autovalor de .
b) , donde denota cualquier norma matricial inducida.
c) es inversible.
d) , siendo k el numero de condicion asociado a cualquier norma matricial inducida.

a) es autovalor de A si v para alg'un v, entonces si es autovalor de


Como es autovalor de A, , entonces


se cumple siempre es autovalor de .
b)
.
c) Como no es autovalor de A, entonces su polinomio caracteristico es distinto de cero, es decir, inversible.
d) Por a) se que es autovalor de . Idem con ya que vale para cualquier autovalor, es decir, es autovalor de . Notar que si x es un autovalor de A, es autovalor de .


(la primera desigualdad es por el ej b y la segunda es por el ej b y ej a).