Práctica 2 (Métodos Numéricos)

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Ejercicio 6[editar]

Sea Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A \in R^{nxn}} y sea Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A^{k}} la matriz que se obtiene a partir de A por el método de eliminación Gaussiana cuando las primeras k columnas ya han sido trianguladas.


b) Usando propiedades de determinantes, probar que A es no singular si y solo si Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A^{k}} es no singular.

Nota: Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L_i} es la matriz identidad con los coeficientes Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_{i,j}=\frac{a_{i,j}}{a_{j,j}}} que se usaron en la eliminacion gaussiana para poner un 0 en la posicion i,j.
Por ejemplo Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ -m_{21} & 1 & 0 & 0 \\ -m_{31} & 0 & 1 & 0 \\ -m_{41} & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}} para una matriz de 4x4.
Asi, Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A^{k} = L_k * L_{k-1} * \ldots * L_1 * A }

Volviendo al ejercicio Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A^{k}\ inversible \leftrightarrow det(A^{k}) \neq 0 \leftrightarrow det(L_k * L_{k-1} * \ldots * L_1 * A) \neq 0 } Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \leftrightarrow det(L_k) * det(L_{k-1}) * \ldots * det(L_1) * det(A) \neq 0 \leftrightarrow det(A) \neq 0 \leftrightarrow A \ inversible}

Ejercicio 7[editar]

Probar que si Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A \in R^{nxn}} tiene todas sus submatrices principales no singulares entonces A tiene factorizacion LU sin pivoteo. Ademas esa factorización es única.

Por induccion en n.
Casos base:
n=1, Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A_1 = \begin{bmatrix} a_{11} \end{bmatrix} = 1\ a_{11}}
n=2, Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A_2 = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} } como Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle det(A_1) \neq 0 \leftrightarrow a_{11} \neq 0} entonces puedo hacer gauss sin intercambio de filas en Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A_2} entonces se que existen unicos Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_2, L_2 } tal que Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A_2 = U_2 L_2}

Paso inductivo:
Supongo que vale Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A_n = \begin{bmatrix} A_{n-1} & c_{n} \\ \ & \ \\ \ & \ \\ f_{n} & a_{n,n} \end{bmatrix} = L_n U_n = \begin{bmatrix} L_{n-1} & \ & 0 \\ \ & \ & 0 \\ \ & \ & \vdots \\ l_{n} & \ & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} U_{n-1} & u_n \\ \ & \ \\ \ & \ \\ 0 \ldots 0 & u_{n,n} \end{bmatrix}}
donde Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A_{n-1}, L_{n-1} y U_{n-1}} son matrices de n-1 x n-1, Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c_n y u_n} columnas de n-1 elementos asi como Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f_n y l_n} son filas de n-1 elementos.
Quiero ver que vale Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A_{n+1} = \begin{bmatrix} A_{n} & c_{n+1} \\ \ & \ \\ \ & \ \\ f_{n+1} & a_{n+1,n+1} \end{bmatrix} = L_{n+1} U_{n+1} = \begin{bmatrix} L_{n} & \ & 0 \\ \ & \ & 0 \\ \ & \ & \vdots \\ l_{n+1} & \ & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} U_{n} & u_{n+1} \\ \ & \ \\ \ & \ \\ 0 \ldots 0 & u_{n+1,n+1} \end{bmatrix}}
Es decir que mis incógnitas son Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l_{n+1}, u_{n+1}\ y\ u_{n+1,n+1}}
Como los bloques son del mismo tamaño puedo multiplicar por bloques y queda
i) Despejo Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l_{n+1}} haciendo: Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l_{n+1} U_n = f_{n+1}} .
ii) Despejo Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle u_{n+1}} haciendo: Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c_{n+1} = L_n U_{n+1}} .
iii) Despejo Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle u_{n+1,n+1}} haciendo:Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l_{n+1} u_{n+1} + u_{n+1,n+1} = a_{n+1,n+1}} .
i) y ii) tiene soluciones únicas porque Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_n} y Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L_n} son inversibles.

Ejercicio 8[editar]

Supongamos que una matriz Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A \in R^{nxn}} tiene factorizacion A = LU y que L y U son conocidas. Dar una algoritmo que calcule el elemento (i,j) de Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A^{-1}} en aproximadamente Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (n-j)^2 + (n-i)^2} flops. (Un flop es una operacion de punto flotante)

Si A = LU entonces Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A^{-1} = U^{-1} L^{-1}} y por lo tanto Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A^{-1}_{i,j} = fila_i U^{-1} \times col_j L^{-1}} .
Calcular Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle col_j L^{-1}} nos lleva O(Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n^2} ) porque se puede plantear directamente el sistema Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L x = e_j} donde Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e_j} es el canonico con 1 en la posicion j y Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} nos daría la columna j de Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L^{-1}} . Se puede llevar a O(Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (n-j)^2} ) ya que se sabe de antemano que la columna j de Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L^{-1}} tiene j ceros, es decir no es necesario calcularlos. Idem con Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle fila_i U^{-1}} .

Ejercicio 9[editar]

Sea Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A \in R^{nxn}} inversible tal que A = TS donde Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T \in R^{nxn}} es triangular inferior y Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S \in R^{nxn}} es triangular superior. Probar:

a) T y S son inversibles, usando propiedades de determinantes.

b) A tiene factorización LU (con unos en la diagonal de L).

a)

A es inversible sii det(A) != 0

det(A) = det(TS) = det(T) * det(S) entonces det(T) != 0, det(S) != 0 sii T, S son inversibles.

b)

A se puede reducir por filas aplicando operaciones de eliminación (operaciones del tipo aFi + Fj) a una matriz triangular superior U.

Ek*E(k-1)*...*E2*E1*A = U entonces A= E1(-1)*E2(-1)*...*Ek(-1)*U

Por construcción, cada matriz elemental E1,...,Ek es triangular inferior y tiene unos en la diagonal principal, por consiguiente sus inversas E1(-1),...,Ek(-1) y la matriz L = E1(-1)*E2(-1)*...*Ek(-1) tienen las mismas características por lo que obtuvimos A = LU con unos en la diagonal.

Ejercicio 21[editar]

Sea Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R \in R^{nxn}} tal que Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ||R|| < 1 } , siendo Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle || \bullet ||} cualquier norma consistente.
b) Probar que .
c) Sea una matriz inversible y tal que . Probar que es inversible y vale


b) No se si el enunciado supone que (I+R) es inversible o hay que demostrarlo, por las dudas es asi:

entonces . Si I+R es inversible entonces Nu(I+R) = {0}
Sea .
Da que para que exista un x tal que y entonces lo cual ya sabemos que no pasa. Como cualquier vector se puede llevar a vector de norma 1 el unico x que cumple es 0 entonces es inversible.

Volviendo al ejercicio, por inspiracion divina se me ocurre que

Meto norma en los 2 lados


porque ya que es consistente. El unico numero que cumple esto es 1.

Entonces,

asi que no se puede pasar dividiendo.


c)
i) es inversible. Primero pruebo que es inversible por lo hecho en b). Para eso veo que :
inversible.
Pero entonces porque A es inversible, entonces es inversible.

ii)

en el último paso usé que (por enunciado) y asi aseguro que no divide por 0.


Ejercicio 22)a)[editar]

Sea x la solucion del sistema Ax = b.

A)Sea la solución del sistema Ax = b + . Acotar la norma de ||x||.

paso restando A.x

luego com A.x = b

se anula b

supongo q A es INVERSIBLE ==>

tomo norma de ambos lados

que por C-S-B es...


Listo !!