Práctica 2 (Métodos Numéricos)

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Ejercicio 6[editar]

Sea y sea la matriz que se obtiene a partir de A por el método de eliminación Gaussiana cuando las primeras k columnas ya han sido trianguladas.


b) Usando propiedades de determinantes, probar que A es no singular si y solo si es no singular.

Nota: es la matriz identidad con los coeficientes que se usaron en la eliminacion gaussiana para poner un 0 en la posicion i,j.
Por ejemplo para una matriz de 4x4.
Asi,

Volviendo al ejercicio

Ejercicio 7[editar]

Probar que si tiene todas sus submatrices principales no singulares entonces A tiene factorizacion LU sin pivoteo. Ademas esa factorización es única.

Por induccion en n.
Casos base:
n=1,
n=2, como entonces puedo hacer gauss sin intercambio de filas en entonces se que existen unicos tal que

Paso inductivo:
Supongo que vale
donde son matrices de n-1 x n-1, columnas de n-1 elementos asi como son filas de n-1 elementos.
Quiero ver que vale
Es decir que mis incógnitas son
Como los bloques son del mismo tamaño puedo multiplicar por bloques y queda
i) Despejo haciendo: .
ii) Despejo haciendo: .
iii) Despejo haciendo:.
i) y ii) tiene soluciones únicas porque y son inversibles.

Ejercicio 8[editar]

Supongamos que una matriz tiene factorizacion A = LU y que L y U son conocidas. Dar una algoritmo que calcule el elemento (i,j) de en aproximadamente flops. (Un flop es una operacion de punto flotante)

Si A = LU entonces y por lo tanto .
Calcular nos lleva O() porque se puede plantear directamente el sistema donde es el canonico con 1 en la posicion j y nos daría la columna j de . Se puede llevar a O() ya que se sabe de antemano que la columna j de tiene j ceros, es decir no es necesario calcularlos. Idem con .

Ejercicio 9[editar]

Sea inversible tal que A = TS donde es triangular inferior y es triangular superior. Probar:

a) T y S son inversibles, usando propiedades de determinantes.

b) A tiene factorización LU (con unos en la diagonal de L).

a)

A es inversible sii det(A) != 0

det(A) = det(TS) = det(T) * det(S) entonces det(T) != 0, det(S) != 0 sii T, S son inversibles.

b)

A se puede reducir por filas aplicando operaciones de eliminación (operaciones del tipo aFi + Fj) a una matriz triangular superior U.

Ek*E(k-1)*...*E2*E1*A = U entonces A= E1(-1)*E2(-1)*...*Ek(-1)*U

Por construcción, cada matriz elemental E1,...,Ek es triangular inferior y tiene unos en la diagonal principal, por consiguiente sus inversas E1(-1),...,Ek(-1) y la matriz L = E1(-1)*E2(-1)*...*Ek(-1) tienen las mismas características por lo que obtuvimos A = LU con unos en la diagonal.

Ejercicio 21[editar]

Sea tal que , siendo cualquier norma consistente.
b) Probar que .
c) Sea una matriz inversible y tal que . Probar que es inversible y vale


b) No se si el enunciado supone que (I+R) es inversible o hay que demostrarlo, por las dudas es asi:

entonces . Si I+R es inversible entonces Nu(I+R) = {0}
Sea .
Da que para que exista un x tal que y entonces lo cual ya sabemos que no pasa. Como cualquier vector se puede llevar a vector de norma 1 el unico x que cumple es 0 entonces es inversible.

Volviendo al ejercicio, por inspiracion divina se me ocurre que

Meto norma en los 2 lados


porque ya que es consistente. El unico numero que cumple esto es 1.

Entonces,

asi que no se puede pasar dividiendo.


c)
i) es inversible. Primero pruebo que es inversible por lo hecho en b). Para eso veo que :
inversible.
Pero entonces porque A es inversible, entonces es inversible.

ii)

en el último paso usé que (por enunciado) y asi aseguro que no divide por 0.


Ejercicio 22)a)[editar]

Sea x la solucion del sistema Ax = b.

A)Sea la solución del sistema Ax = b + . Acotar la norma de ||x||.

paso restando A.x

luego com A.x = b

se anula b

supongo q A es INVERSIBLE ==>

tomo norma de ambos lados

que por C-S-B es...


Listo !!