Final 28/12/2012 (Álgebra I)

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Ejercicio 1[editar]

Dado denotamos por al conjunto de las raíces n-ésimas de la unidad. Probar que si p y q son primos distintos positivos, la suma de las raíces primitivas de es 1.

Ejercicio 2[editar]

Sea un polinomio tal que al evaluarlo en cualquier numero entero a, resulta siempre un múltiplo de 101 o un múltiplo de 107 (ambos son primos). Probar entonces que o bien es siempre divisible por 101 para todos los valores de a, o bien es divisible por 107 para todos los valores de a.

Ejercicio 3[editar]

Dado un número natural n, determinar el resto de dividir por 5 a en términos de una congruencia adecuada para n.

Ejercicio 4[editar]

Decir si una relación en un conjunto A puede ser:

(a) simétrica, antisimétrica y transitiva.

(b) simétrica, antisimétrica, y no transitiva

(c) simétrica, no antisimétrica y transitiva

(d) simétrica, no antisimétrica y no transitiva

(e) no simétrica, antisimétrica y transitiva

(f) no simétrica, antisimétrica y no transitiva

(g) no simétrica, no antisimétrica y transitiva

(h) no simétrica, no antisimétrica y no transitiva.


Ejercicio 5[editar]

Hallar todos los para los cuales al menos una de las raíces de sea una raíz sexta primitiva de la unidad. Para cada valor de a hallado, factorizar en Q, R y C[x].