Final 01/03/2011 (Análisis II)

Ejercicio 1

Sea $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ una función continua que satisface que $f(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt$. Probar que f es idénticamente cero. Sugerencia: considerar la función $g(x)=f(x)e^{-x}$

Ejercicio 2

Sea $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ dada por $f(x,y)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}}&(x,y)\neq (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{matrix}}\right.$

a) Probar que para cada $v\in \mathbb {R} ^{2}$ con $||v||=1$ existe la derivada direccional y calcularla.

b) ¿Es diferenciable en $(0,0)$?

Ejercicio 3

Decir si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

a) Sea $f:\mathbb {R} -\{0\}\to \mathbb {R}$ derivable tal que $f'(x)$ es idénticamente nula. Entonces f es constante.

b) Sea $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ de clase $C^{2}$. Si f tiene un mínimo local en $(1,3)$ entonces la matriz $Hf(1,3)$ es definida positiva.

c) Sea $f:\mathbb {R} _{>0}\rightarrow \mathbb {R}$ derivable tal que $f'(x)>0$ para todo $x\in \mathbb {R}$ y además $\lim _{x\to +\infty }f'(x)=0$. Entonces f está acotada superiormente en $[1;+\infty )$

Ejercicio 4

Sea $u:\mathbb {R} _{>0}\rightarrow \mathbb {R}$ de clase $C^{2}$. Consideramos la función $v:\mathbb {R} ^{2}-\{(0,0)\}\rightarrow \mathbb {R}$ dada por $v(x,y)=u\left(sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$. Encontrar una expresión para el Laplaciano de v (definido como $\Delta v=v_{xx}+v_{yy}$) en la que aparezcan las derivadas de u hasta el orden 2.

Ejercicio 5

Calcular la integral $\iint _{R}^{\,}(x-y)^{2}dxdy$ donde R es el paralelogramo con vértices $(0,0)$, $(1,1)$, $(2,0)$, $(1,-1)$ aplicando el cambio de variables $u=x-y$, $v=x+y$