Aproximación (Métodos Numéricos)

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La aproximación mediante cuadrados mínimos lineales es un método que permite obtener, dada una serie de valores, la curva que mejor los aproxime. En otras palabras, aquella curva que minimice el error entre los valores dato y la curva generada.

Matricialmente hablando, si se desea resolver el sistema , y no existe una solución, entonces se busca una solución (los estimadores de cuadrados mínimos lineales) resolviendo o lo que es lo mismo .

Por ejemplo, si se tienen n pares (x,y) y se los desea aproximar por una recta de la forma , las incógnitas a averiguar son a y b. Para eso, se plantea el sistema

En caso de que se desee aproximar por una curva no polinomial, primero es necesario linealizar la expresión dada. Por ejemplo, si se tiene , se la convierte a y el sistema a plantear es

La fórmula resulta de buscar el x tal que minimice la expresión , es decir, minimice el cuadrado de la norma dos de la diferencia entre los generados por Ax y los reales que pertenecen a b.

Notar que la norma dos, multiplicada por un cierto factor, acota tanto superior como inferormente al norma de Frobenius. Se se desarrolla la norma de Frobenius, se obtiene , es decir, el error cuadrático medio multiplicado por la cantidad de términos.

También es útil el hecho de que como los estimadores de cuadrados mínimos minimizan la expresión , entonces la derivada (si existe) del error es igual a cero.

La solución a este método es única si y solo si el núcleo de la matriz A es cero.