Algebra 1parcial 13-05-16

(5 horas)

Ejercicio 1

Sea $X=\{n\in \mathbb {N} :n\leq 23\}$. En ${\mathcal {P}}(X)$ se define la relación ${\mathcal {R}}$ de la forma:

$A{\mathcal {R}}B\Longleftrightarrow A\triangle B$ no contiene números impares.

a)Probar que ${\mathcal {R}}$ es una relación de equivalencia.

b)¿Cuántos elementos tiene la clase de $A=\{n\in \mathbb {N} :n\leq 10\}$

Ejercicio 2

Probar que

$\sum _{i=1}^{2^{n}}{\frac {1}{i}}\geq 1+{\frac {n}{2}}$ para todo $n\in \mathbb {N}$.

Ejercicio 3

En un tablero de 3 filas y 5 columnas se desea pintar 9 casillas de rojo y las restantes 6 casillas de azul, de manera que ninguna fila quede completamente roja (es decir, en cada fila debe haber al menos una casilla pintada de azul). ¿De cuántas maneras distintas se lo puede hacer?

Ejercicio 4

Calcular el resto de la división de $\sum _{i=0}^{99}2^{i^{2}}$ por 7. El cociente de dicha división, ¿es par o impar?

Ejercicio 5

Para cada $a\in \mathbb {Z}$ calcular $(3a^{4}+3a^{2}-2:a^{2}-1)$.