https://www.cubawiki.com.ar/api.php?action=feedcontributions&user=201.216.244.41&feedformat=atomCuba-Wiki - Contribuciones del usuario [es]2024-03-28T15:32:33ZContribuciones del usuarioMediaWiki 1.39.2https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Apunte_de_Dise%C3%B1o_(Ingenier%C3%ADa_I)&diff=4807Apunte de Diseño (Ingeniería I)2007-11-19T13:05:54Z<p>201.216.244.41: /* Estructura */</p>
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<div><div style="border: 1px solid #CECEFF; padding: 5px; background-color: #EEEEFF; margin: 0px 0px 15px 0px;">[[Image:Back.png|14px|]] [[Ingeniería de Software I|Volver a la página de la materia]]</div><br />
<br />
La idea del diseño es en primer lugar generar los diagramas de secuencia para distintas funcionalidades y escenarios, generar el diagrama de clase a partir de lo obtenido y refinarlo aplicando distintas técnicas de diseño.<br />
<br />
= Diagramas de Secuencia =<br />
<br />
Cada diagrama de secuencia se corresponde uno a uno con un determinado escenario. Un escenario es una situación concreta, con objetos concretos, sobre una determinada funcionalidad del sistema. <br />
<br />
== Estructura ==<br />
<br />
El diagrama de secuencias tiene instanciaciones de objetos, que pueden pertenecer o no a ciertas clases. Para notar que un objeto esta vivo, se traza una linea punteada debajo de el. Cuando un objeto inicia la ejecucion de un método, se nota con una barra sobre la línea punteada. Una vez termina la ejecución, se vuelve a la punteada.<br />
<br />
El diagrama de secuencias busca representar una determinada funcionalidad, un metodo en particular, que es el que se ejecuta inicialmente. Todos los metodos tienen un objeto (una instancia particular de un objeto) que los llama, excepto el primero que da inicio al diagrama. Los metodos se notan con flechas que van de un objeto a otro, y los resultados con flechas punteadas que vuelven.<br />
<br />
Los resultados pueden ser de cualquier tipo, o incluso omitirse si la respuesta no es importante y no afecta a la claridad del diagrama.<br />
<br />
Puede suceder que un objeto invoque un metodo de un objeto que ya estaba ejecutando, en ese caso se agrega una nueva barra de ejecucion para indicar que es otro contexto. Lo mismo sucede cuando un objeto ejecuta un metodo de si mismo, se tira una flecha de la barra principal a otra nueva, y el retorno se hace de la misma forma.<br />
<br />
== Referencias a objetos ==<br />
<br />
Es '''muy''' importante conocer un objeto antes de poder invocar su método. Hay tres maneras posibles de obtener una referencia a un objeto:<br />
* En el diagrama de clases existe una asociación directa entre ellos, que se crea en algún momento previo a la ejecución del método que está representando el diagrama.<br />
* El objeto llamador recibió una referencia a ese objeto como parámetro del método que inició el contexto de ejecución actual.<br />
* El llamador ejecutó un getter de otro objeto conocido que le devolvió la referencia al buscado; esto solo sirve si el objeto al que se le ejecutó el getter conoce al buscado.<br />
<br />
Notar que en los dos últimos casos la referencia al objeto se guarda solamente por el contexto de ejecución, sea en parámetros o variables locales. Cuando se termina la ejecución estas referencias se pierden. Lo mismo si se inicia un nuevo contexto de ejecución, por más que sea dentro del que posee las referencias, el nuevo no las conoce.<br />
<br />
== Constructores y destructores ==<br />
<br />
Para notar que un objeto construye a otro (y no que el objeto estaba vivo desde antes y el llamador simplemente lo activa, que es lo que representa la notacion anterior), se traza una flecha con el método ''new()'' desde el contexto de ejecución del creador directamente hacia la caja con el nombre del creado.<br />
<br />
Si se quieren ejecutar métodos dentro del constructor de un objeto, en lugar de dibujar una linea punteada a continuacion de la caja (que contiene el nombre del objeto) recien creada, se dibuja una barra de ejecucion.<br />
<br />
El destructor es un metodo ''delete()'', que termina la vida de otro objeto con una cruz. Un objeto también puede destruirse a si mismo (salir de scope, por ejemplo), terminando su barra de ejecución con una cruz y sin prolongar la línea punteada.<br />
<br />
== Estructuras de control ==<br />
<br />
Si bien el diagrama de secuencias está construido sobre un escenario, o sea, una instancia concreta del mundo, en ciertos casos para evitar la reescritura de gran parte de los diagramas y facilitar su comprension se utilizan estructuras de control.<br />
<br />
Para los bucles se encierra la sección a repetir en un frame, agregando arriba a la izquierda la palabra reservada ''loop'', e indicando la guarda de ejecución. El esquema típico para un bucle es:<br />
* Ejecutar método que obtiene la condición una primer vez<br />
* Ejecutar el cuerpo del bucle<br />
* Ejecutar nuevamente el método que obtiene la condición<br />
* Encerrar las dos ultimas dentro del bucle<br />
<br />
Para los condicionales, se usa un frame dividido en dos con la palabra ''alt'', y se coloca en la parte superior la rama true, y en la inferior la false.<br />
<br />
Notar que teniendo muy pocas estructuras anidadas el diagrama se vuelve incomprensible, esto es porque los frames no estan pensados para ser usados intensivamente en secuencias; sino que se supone que los valores del mundo están fijos y se estructura el flujo de acuerdo a ello.<br />
<br />
= Diagramas de Clases =<br />
<br />
A partir de la construcción de muchos diagramas de secuencia se puede realizar el proceso de inferir un diagrama de clases, el cual representa el diseño en sí del sistema. Una vez generado el diagrama, se busca refinarlo mediante la aplicación de técnicas de diseño.<br />
<br />
== Estructura ==<br />
<br />
El diagrama de clases tiene la misma estructura que el modelo conceptual, pero sin la notación molesta de ''<<Clase Conceptual>>'' sobre cada una de las clases. Las clases tiene atributos y métodos como antes.<br />
<br />
Las asociaciones de las clases resultan de lo observado en los diagramas de secuencia para resolver el ''conocimiento'' entre objetos. Ahora las asociaciones pueden ser unidireccionales, es decir, un objeto conoce al otro pero no al revés.<br />
<br />
Respecto de los métodos y atributos, se agregan los modificadores de visibilidad propios del diseño orientado a objetos:<br />
* Público +<br />
* Privado -<br />
* Protegido #<br />
* Estático (subrayado)<br />
* Abstracto (itálica)<br />
* Final (constante)<br />
<br />
== Dependencias ==<br />
<br />
Una métrica importante a tener en cuenta en los diseños son las dependencias entre clases. Estas se notan con una flecha punteada y la palabra ''<<usa>>''.<br />
<br />
Se busca evitar dependencias circulares, el fan-in (un objeto del que dependen muchos otros) y el fan-out (un objeto que depende de muchos otros). La dependencia da idea de la cohesión y el acoplamiento del modelo.<br />
<br />
También pueden notarse otros tipos de dependencia, usando la misma flecha punteada, pero con otra palabra reservada, como por ejemplo ''<<crea>>''. Notar que en el diagrama se dibujan solamente las dependencias más significativas por temas de legibilidad.<br />
<br />
== Interfaces ==<br />
<br />
Una interfaz busca representar comportamiento común a distintas clases. Puede poseer solamente métodos abstractos o atributos finales estáticos (constantes).<br />
<br />
La implementación de interfaces busca evitar la utilización de herencia múltiple, poco soportada en los lenguajes actuales, y que posee otra semántica.<br />
<br />
Para notar que una clase implementa una interfaz, se dibuja una flecha punteada hacia la interfaz con la keyword ''<<realizes>>''.<br />
<br />
[[Category:Apuntes]]</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Lista_de_materias_de_computaci%C3%B3n&diff=138Lista de materias de computación2007-03-15T15:14:56Z<p>201.216.244.41: /* Materias Optativas */</p>
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<div>[[Image:Correlativas.jpg|thumb|right|Gráfico de las materias de la carrera diagramando las correlatividades necesarias para cada una]]<br />
== Materias del CBC ==<br />
*[[Análisis I]]<br />
*[[Álgebra Lineal (CBC)|Álgebra Lineal]]<br />
*[[Química]]<br />
*[[Física]]<br />
*[[Pensamiento Científico]]<br />
*[[Sociedad y Estado]]<br />
<br />
== Materias obligatorias ==<br />
*[[Álgebra I]] (*)(#)<br />
*[[Algoritmos y Estructuras de Datos I]] (*)(#)<br />
*[[Algoritmos y Estructuras de Datos II]] (*)(#)<br />
*[[Algoritmos y Estructuras de Datos III]] (*)<br />
*[[Análisis II]] (*)(#)<br />
*[[Bases de Datos]] (*)<br />
*[[Lógica y Computabilidad]]<br />
*[[Métodos Numéricos]] (*)<br />
*[[Organización del Computador I]] (*)(#)<br />
*[[Organización del Computador II]] (*)<br />
*[[Paradigmas de Lenguajes de Programación]]<br />
*[[Probabilidades y Estadística]] (*)(#)<br />
*[[Sistemas Operativos]] (*)(#)<br />
*[[Teoría de las Comunicaciones]] (*)<br />
*[[Teoría de Lenguajes]]<br />
*[[Ingeniería del Software I]] (*)(#)<br />
*[[Ingeniería del Software II]]<br />
<br />
Aclaraciones:<br />
* Las materias con (*) son necesarias para el título de Analista Universitario<br />
* Las materias con (#) son necesarias para el título de Profesorado<br />
* ...Y todas (sí, todas) son necesarias para el título de Licenciatura (pero no suficientes...)<br />
<i>Fuente: [http://www.fcen.uba.ar Pagina de FCEN]</i><br />
<br />
== Materias Optativas ==<br />
Las que se dictaran el <b> 1er Cuatrimestre de 2007 </b> son las siguientes:<br />
<br />
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<br />
!Materia!!Pts Grado!!Pts Doctorado<br />
|-<br />
!Aplicaciones Escalables en Redes Globales || 3 || 4<br />
|-<br />
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!Estadística y Data Mining <br />
|-<br />
!Física 1 || 3 <br />
|-<br />
!Historia de la Ciencia || 2 <br />
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|-<br />
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|-<br />
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!Simulación de Eventos Discretos || 3 || 3 <br />
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<i>Fuente: [http://www.dc.uba.ar Departamento de Computación]</i></div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Lista_de_materias_de_computaci%C3%B3n&diff=137Lista de materias de computación2007-03-15T15:14:02Z<p>201.216.244.41: /* Materias Optativas */</p>
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== Materias del CBC ==<br />
*[[Análisis I]]<br />
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== Materias obligatorias ==<br />
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Aclaraciones:<br />
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* Las materias con (#) son necesarias para el título de Profesorado<br />
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== Materias Optativas ==<br />
Las que se dictaran el <b> 1er Cuatrimestre de 2007 </b> son las siguientes:<br />
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== Materias del CBC ==<br />
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== Materias obligatorias ==<br />
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Fuente: [http://www.dc.uba.ar Departamento de Computación]</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Lista_de_materias_de_computaci%C3%B3n&diff=135Lista de materias de computación2007-03-15T14:50:17Z<p>201.216.244.41: </p>
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<div>[[Image:Correlativas.jpg|thumb|right|Gráfico de las materias de la carrera diagramando las correlatividades necesarias para cada una]]<br />
== Materias del CBC ==<br />
*[[Análisis I]]<br />
*[[Álgebra Lineal (CBC)|Álgebra Lineal]]<br />
*[[Química]]<br />
*[[Física]]<br />
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<br />
== Materias obligatorias ==<br />
*[[Álgebra I]] (*)(#)<br />
*[[Algoritmos y Estructuras de Datos I]] (*)(#)<br />
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*[[Organización del Computador II]] (*)<br />
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<br />
Aclaraciones:<br />
* Las materias con (*) son necesarias para el título de Analista Universitario<br />
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<br />
== Materias Optativas ==</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_4_(LyC_Verano)&diff=3365Práctica 4 (LyC Verano)2007-03-06T14:09:29Z<p>201.216.244.41: /* b) */</p>
<hr />
<div>== Ejercicio 01 ==<br />
<br>a) v(α) = v(¬p1) = 1<br />
<br>b) v(α) = v( (p5 ٧ 0) → 0 ) = v(p5 → 0) = v(p5) = ?<br />
<br>c) v(α) = v( (0 ٧ 0) → 0 ) = v(0 → 0) = 1<br />
<br>d) v(α) = v(¬p4) = ?<br />
<br>e) v(α) = v( (p8 → p5)→(p8 ٨ p0) ) = ?<br />
<br />
== Ejercicio 02 ==<br />
===a)===<br />
<br>1) v(α1) = 1 ↔ p1=0 ٧ p3=1 ٧ p4=1<br />
<br>2) v(α2) = 1 ↔ p2=1 ٧ (p3=0 ٧ p1=0)<br />
<br>3) v(α3) = 1 ↔ (p2=0 ٨ p3=0) ٧ (p2=1) ٧ (p5=0 ٧ p3=1)<br />
<br />
===b)===<br />
<br>1) Esto vale si pasa a.1) ٨ <br />
<math> (\forall j) pj \notin Var(\alpha1) \rightarrow pj=0 </math><br />
<br>2) Idem 1) para α2<br />
<br>3) Idem 1) para α3<br />
<br />
== Ejercicio 03 ==<br />
(Para simplificar, T=tautologia, F=contradiccion, C=contingencia)<br />
<br>a) v(α٨β)=1 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=1 ↔ α T y β T<br />
<br>b) v(α٧β)=0 ↔ ¬v(α)=1 ٨ ¬v(β)=1 ↔ v(α)=0 ٨ v(β)=0 ↔ α F y β F<br />
<br>c) v(α→β)=0 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=0 ↔ α T y β F<br />
<br>d)<br />
<br> ←) Si v(α)=0 ٧ v(β)=1 → v(α→β)=1<br />
<br> →) Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β F → v(α→β)=0 (ABS)<br />
*α T y β C → si v(β)=0 → v(α→β)=0 (ABS)<br />
*α C y β F → si v(α)=1 → v(α→β)=0 (ABS)<br />
*α C y β C → Sea el caso α=β → v(α→β)=1, pero <math> Var(\alpha) \cap Var(\beta) \neq \empty </math> (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 04 ==<br />
===a)===<br />
Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β T → v(α٨β)=1<br />
*α T y β F → v(α٨β)=0<br />
*α F y β T → v(α٨β)=0<br />
*α F y β F → v(α٨β)=0<br />
→ α٨β nunca es C (ABS)<br />
===b)===<br />
Sup que no. Hay 2 casos:<br />
*α٨β T → α T y β T<br />
*α٨β F → α F o β F<br />
→ α y β nunca son ambas C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 05 ==<br />
Pueden pasar 2 cosas: v(α)=0 ٨ v(pi)=1 o v(α)=1 ٨ v(pi)=0 → Vale si α=¬pi<br />
<br />
== Ejercicio 06 ==<br />
===a)===<br />
*Reflexiva:<br />
*Antisimetrica:<br />
*Transitiva:<br />
===b)===<br />
===c)===<br />
<br />
== Ejercicio 07 ==<br />
===a)===<br />
Definimos todos los conectivos en funcion a los elementos para cada conjunto:<br />
<br>1) {¬,٨,٧}<br />
* ¬p, p٨q, p٧q ya estan definidos<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>2) {¬,٨}<br />
* ¬p, p٨q ya estan definidos<br />
* p٧q = ¬(¬p ٨ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>3) {¬,٧}<br />
* ¬p, p٧q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(¬p ٧ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>4) {¬,→}<br />
* ¬p, p→q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(p → ¬q)<br />
* p٧q = ¬p → q<br />
===b)===<br />
<br> 1) {¬} Como α solo usa el ¬, α siempre sera contingencia<br />
<br> 2) {٧,٨} Sup que lo es. Sea f | f(p)=1 para toda variable p, y vf la valuacion que extiende a f. Usando induccion en complejidad de α:<br />
*Si α=p → vf(α)=vf(p)=1<br />
*Si α=p٧q → vf(α)=vf(p٧q)=max{vf(p),vf(q)}=max{1,1}=1<br />
*Si α=p٨q → vf(α)=vf(p٨q)=min{vf(p),vf(q)}=min{1,1}=1<br />
→ No es posible construir un α tq α=¬p, por lo que no hay un v | v(α)=0 → No es adecuado (ABS)<br />
<br> 3) {٧,→} Sale muy similar a 2), si tomamos<br />
*Si α=p→q → vf(α)=vf(p→q)=max{1-vf(p),vf(q)}=max{0,1}=1<br />
→ Volvemos a obtener un ABS<br />
<br />
== Ejercicio 08 ==<br />
===a)===<br />
<pre><br />
α β α|β α↓β<br />
1 1 0 0<br />
1 0 1 0<br />
0 1 1 0<br />
0 0 1 1<br />
</pre><br />
Como se puede ver, α|β equivale a NAND y α↓β a NOR.<br />
===b)===<br />
Sabemos que {¬,٨} es un conjunto de conectivos adecuado demostrado en 7a, tratemos de armar sus equivalentes <br />
<br />
<br>Para {|}:<br />
*¬p = p|p<br />
*p٨q = (p|p)|(q|q)<br />
<br />
Por lo tanto {|} es adecuado <br />
<br />
<br>Para {↓}:<br />
*¬p = p↓p<br />
*p٧q = (p↓p)↓(q↓q)<br />
<br />
Por lo tanto {↓} es adecuado<br />
<br />
===c)===<br />
Sup. que hay otro conectivo adecuado (Sea * ese conectivo). Entonces ese conectivo no puede cumplir (1*1)=1 o (0*0)=0 (sino no podria construirse la negacion). Tomando eso en cuenta, de todas las posibilidades quedan los siguientes 4 casos:<br />
<pre><br />
α β ↓ *1 *2 | <br />
1 1 0 0 0 0<br />
1 0 0 0 1 1<br />
0 1 0 1 0 1<br />
0 0 1 1 1 1<br />
</pre><br />
Como se ve, entre esos conectivos estan ↓ y |, que por a) son adecuados. Vemos los otros 2:<br />
<br> α *1 β = (¬α٨β)٧(¬α٨¬β) = ¬α<br />
<br> α *2 β = (α٨¬β)٧(¬α٨¬β) = ¬β<br />
<br> Es decir, ambos usan el conjunto {¬} que no era adecuado, con lo cual no hay otros conectivos adecuados ademas de ↓ y | (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 09 ==<br />
===a)===<br />
*¬p = *1(p,p,p) = (p→(¬p ٨ p)) = p→0 = ¬p<br />
*p→q = *1(p,¬p,q) = (p→(¬¬p ٨ q)) = (p→(p ٨ q)) = p→q<br />
*El resto sale ya que {¬,→} es adecuado<br />
→ *1 es adecuado<br />
<br />
===b)===<br />
No es adecuado, ya que utiliza el conjunto {٨,→}, que tampoco lo es<br />
<br />
== Ejercicio 10 ==<br />
===a)===<br />
*p→q ya esta definido<br />
*¬p = p→F = ¬p<br />
*El resto sale ya que {¬,→} es adecuado<br />
→ {F,→} es adecuado<br />
<br />
===b)===<br />
No es adecuado. Solo se pueden dar 2 casos:<br />
* p→T = T<br />
* T→p = p<br />
Claramente no puede construirse la negacion → {T,→} no es adecuado<br />
<br />
== Ejercicio 11 ==<br />
===a)===<br />
Γ satisfacible <math>\rightarrow (\exists v)(\forall p \in \Gamma) v(p)=1 \rightarrow (\forall p \in \Gamma') v(p)=1 \rightarrow</math> Γ' satisfacible<br />
<br />
===b)===<br />
<br> ←) Con(Γ) es satisfacible y Γ <math>\subseteq</math> Con(Γ) ( ver 12.a ) → por a) Γ es satisfacible<br />
<br> →) Sea v valuacion que satisface Γ → por def. de Con(), v(α)=1 <math>\forall</math> α Є Con(Γ) → Con(Γ) es satisfacible<br />
<br />
== Ejercicio 12 ==<br />
===a)===<br />
Sea α Є Γ. Si v satisface a Γ, tambien satisface a α → α Є Con(Γ). Por lo tanto Γ <math>\subseteq</math> Con(Γ)<br />
===b)===<br />
Sea α Є Con(Γ1). Si v satisface a Γ2, tambien satisface a Γ1, luego a α → α Є Con(Γ2). Por lo tanto, Con(Γ1) <math>\subseteq</math> Con(Γ2)<br />
===c)===<br />
Sea α Є Con(Γ1)<br />
Como Γ1 <math>\subseteq</math> Con(Γ2) luego si v(Con(Γ2))=1 → v(Γ1)=1.<br />
Como Γ2 <math>\subseteq</math> Con(Γ3) luego si v(Con(Γ3))=1 → v(Γ2)=1.<br />
Entonces si v(Con(Γ3)) = 1 → v(Con(Γ2)) = 1 → v(Γ1)=1.<br />
Luego v(Con(Γ3)) = 1 → v(Γ1)=1.<br />
Por lo tanto vale que Γ1 <math>\subseteq</math> Con(Γ3)<br />
<br />
===d)===<br />
<br><math>\subseteq</math>) Sea α Є Con(Con(Γ)). Si v satisface a Con(Γ), tambien satisface a α. Si w satisface a Γ, tambien satisface a Con(Γ), luego a α → α Є Con(Γ). Por lo tanto Con(Con(Γ)) <math>\subseteq</math> Con(Γ)<br />
<br><math>\supseteq</math>) Vale usando a)<br />
<br>→ Con(Con(Γ))=Con(Γ)<br />
<br />
== Ejercicio 13 ==<br />
<br />
===a)===<br />
<br />
<br> →) supongamos que no. Vale Con({β})<math>\subseteq</math> Con({α}) y v(α→β)=0<br />
<br />
Existe una v valuacion tal que v(α→β)=0. v(α)=1 y v(β)=0 entonces v(Con({α}))=1 y v(Con({β}))=0 pero esto es abusurdo.<br />
<br />
<br> ←)<br />
importa ver que cuando v(α)=1 obliga a v(β)=1 para ser tautologia entonces cuando v(Con({α}))=1 obliga v(Con({β}))=1 entonces Con({β}) <math>\subseteq</math> Con({α})<br />
<br />
===b)===<br />
<br> 1. F<br />
<br> 2. F <br />
<br> 3. V<br />
<br />
== Ejercicio 14 ==<br />
<br />
== Ejercicio 15 ==<br />
===a)===<br />
===b)===<br />
<br />
== Ejercicio 16 ==<br />
<br />
== Ejercicio 17 ==<br />
<br />
<br />
[[Category:Lógica y Computabilidad]]</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_5_(LyC_Verano)&diff=3426Práctica 5 (LyC Verano)2007-03-06T13:37:34Z<p>201.216.244.41: /* c) */</p>
<hr />
<div>==Ejercicio 01==<br />
<pre><br />
SP3 = (¬φ → ¬ψ) → [ (¬φ → ψ) → φ ] = 1 <=><br />
(¬φ → ¬ψ) = 0 ٧ [ (¬φ → ψ) → φ ] = 1<br />
¬φ = 0 ٧ ¬ψ = 1 (¬φ → ψ) = 0 ٧ φ = 1<br />
φ = 1 ٧ ψ = 0 ¬φ = 0 ٧ ψ = 1<br />
φ = 1 ٧ ψ = 1<br />
</pre><br />
Con lo cual, SP3 vale si<br />
<br>(φ=1 ٧ ψ=0) ٧ (φ=1 ٧ ψ=1) ٧ (φ=1), que equivale a<br />
<br>(φ=1) ٧ (ψ=0 ٧ ψ=1), que equivale a<br />
<br>(φ=1) ٧ T = tautologia<br />
<br> -> SP3 es tautologia<br />
<br />
==Ejercicio 02==<br />
===a)===<br />
*1.SP3: (¬φ → ¬<font color=red>φ</font>) → [ (¬φ → <font color=red>φ</font>) → φ ]<br />
*2.VALE: (¬φ → ¬φ) (ya que p → p es tautologia)<br />
*3.MP 1 y 2: (¬φ → φ) → φ<br />
→ (¬φ → φ) → φ es tautologia<br />
<br />
===b)===<br />
*1.SP1: <font color=red>(ψ→θ)</font>→( φ→<font color=red>(ψ→θ)</font> )<br />
*2.AXb: ψ→θ<br />
*3.MP 1 y 2: φ→(ψ→θ)<br />
*4.SP2: ( φ→(ψ→θ) ) → ( (φ→ψ)→(φ→θ) )<br />
*5.MP 3 y 4: (φ→ψ)→(φ→θ)<br />
*6.AXb: φ→ψ<br />
*7.MP 5 y 6: φ→θ<br />
→ {φ→ψ,ψ→θ} infiere φ→θ<br />
<br />
===c)===<br />
(Falta revisar)<br />
<br>Si (¬φ → ¬ψ) es F, la formula es tautologia.<br />
<br>Si (¬φ → ¬ψ) es T, entonces hay que probar que vale (ψ→φ). Usando b), {ψ→p,p→φ}→(ψ→φ). Entonces:<br />
*1.SP2: ( ψ→(p→φ) ) → ( (ψ→p)→(ψ→φ) )<br />
*2.VALE: ψ→(p→φ) ya que (p→φ) es axioma<br />
*3.MP 1 y 2: (ψ→p)→(ψ→φ)<br />
*4.VALE: (ψ→p) ya que es axioma<br />
*5.MP 3 y 4: (ψ→φ)<br />
<br>→Vale (ψ→φ)<br />
<br>→(¬φ→¬ψ)→(ψ→φ) es tautologia<br />
<br />
==Ejercicio 03==<br />
==Ejercicio 04==<br />
===a)===<br />
===b)===<br />
===c)===<br />
===d)===<br />
<br />
==Ejercicio 05==<br />
===a)===<br />
<pre><br />
¬(¬(p1 ٧ p2) → ((p3 ٨ p1) ٧ (p2 → p3)))<br />
¬(p1 ٧ p2)<br />
¬((p3 ٨ p1) ٧ (p2 → p3))<br />
¬p1<br />
¬p2<br />
¬(p3 ٨ p1)<br />
¬(p2 → p3)<br />
¬p3 ¬p1<br />
p2 p2<br />
¬p3 ¬p3<br />
x x<br />
</pre><br />
→ P es tautologia<br />
<br />
===b)===<br />
<pre><br />
((p1 → p3) → ((p2 → p3) → ((p1 ٧ p2) → p3)))<br />
¬(p1 → p3) (p2 → p3) → ((p1 ٧ p2) → p3))<br />
p1 ¬(p2 → p3) ¬((p1 ٧ p2) → p3)<br />
¬p3 p2 (p1 ٧ p2) <br />
¬p3 ¬p3<br />
</pre><br />
<br />
¬P = (p1 ٨ ¬p3) ٧ (p2 ٨ ¬p3) ٧ ¬p3 = (p1 ٧ p2 ٧ T) ٨ ¬p3 = ¬p3. Es una contingencia<br />
<br />
Nota: NO es una contingencia. Este árbol sólo logra probar que la fórmula NO ES TAUTOLOGÍA. Ahora habría que agregar el árbol para la fórmula sin negar y ver si se cierran o no todas sus ramas. Si se cierran todas, es una contradicción (en este caso ocurre eso), si queda alguna abierta, entonces sí, es una contingencia.<br />
<br />
===c)===<br />
<pre><br />
¬((¬¬¬(p1 ٨ p2) ٧ p3) → p4)<br />
(¬¬¬(p1 ٨ p2) ٧ p3)<br />
¬p4<br />
¬¬¬(p1 ٨ p2) p3<br />
¬(p1 ٨ p2)<br />
¬p1 ¬p2<br />
</pre><br />
¬P = ((¬p1 ٧ ¬p2) ٧ p3) ٨ ¬p4. Como cada variable aparece 1 vez, ¬P es contingencia<br />
<br />
==Ejercicio 06==<br />
===a)===<br />
<pre><br />
(((p0 ٨ ¬p0) ٨ p1) ٨ ¬(p1 ٨ (p1 → p0)))<br />
((p0 ٨ ¬p0) ٨ p1)<br />
¬(p1 ٨ (p1 → p0))<br />
(p0 ٨ ¬p0)<br />
p1<br />
¬p1 ¬(p1 → p0)<br />
¬p0 p0<br />
¬p0 ¬p0<br />
x p1<br />
¬p0<br />
x<br />
</pre><br />
<br />
===b)===<br />
<pre><br />
((p1 ٨ (p1 → ¬p0)) ٨ ¬(p1 → p0))<br />
(p1 ٨ (p1 → ¬p0))<br />
¬(p1 → p0)<br />
p1<br />
(p1 → ¬p0)<br />
p1 <br />
¬p0<br />
¬p1 ¬p0<br />
x<br />
</pre><br />
===c)===<br />
<pre><br />
(((p1 ٨ (p2 ٧ p0)) ٨ (p1 ٨ p0)) ٨ ¬((p1 ٨ p2) → p0))<br />
((p1 ٨ (p2 ٧ p0)) ٨ (p1 ٨ p0))<br />
¬((p1 ٨ p2) → p0)<br />
(p1 ٨ (p2 ٧ p0))<br />
(p1 ٨ p0)<br />
(p1 ٨ p2)<br />
¬p0<br />
p1<br />
(p2 ٧ p0)<br />
p1<br />
p0<br />
p1<br />
p2<br />
p2 p0<br />
x x<br />
</pre><br />
<br />
==Ejercicio 07==<br />
===a)===<br />
===b)===<br />
<br />
==Ejercicio 08==<br />
<br>a) F El unico arbol de la formula p1 es ella misma, que es un arbol abierto. Sin embargo, la formula no es una tautologia.<br />
<br>b) F El arbol (p1 ٨ ¬p1) para esa misma formula no es cerrado, pero la formula es una contradiccion. El asunto es que el arbol no esta completo.<br />
<br>c) V (Esta demostrada en algun lado, pero no me acuerdo donde)<br />
<br />
==Ejercicio 09==<br />
<br />
==Ejercicio 10==<br />
Como Γ1∪Γ2 es insatisfacible, por compacidad existe Γ0 <math>\subseteq</math> Γ1∪Γ2 finito e insatisfacible. Este conjunto tiene que tener por lo menos una formula de Γ1 y una de Γ2. Si no, serıa satisfacible. Si llamamos α1,..,αn a las formulas de Γ1 ∩ Γ0 y β1,..,βm a las de Γ1 ∩ Γ0, podemos hacer α = α1 ٨..٨ αn y β = β1 ٨..٨ βm. Es claro que α ε C(Γ1) y que β ε C(Γ2). Ademas, α ٨ β es una contradiccion. Pero α ٨ β ≡ ¬(¬α ٧ ¬β) ≡ ¬(α → ¬β), de lo cual podemos concluir que (α → ¬β) es una tautologia<br />
<br />
==Ejercicio 11==<br />
<br>Sea Γ' <math>\subseteq</math> Γ finito. Veamos por induccion en su cantidad de elementos que es satisfacible. Si #Γ' = 1, sabemos que es satisfacible pues consta de una sola contingencia. Supongamos que todo Γ' de menos de n elementos es satisfacible. Sea Γ' con n elementos. Entonces, Γ' = {α} U Γ" (con α <math>\notin</math> Γ"). Sea v una valuacion que satisface a Γ" (existe por HI). Sea w una valuacion que satisface a α. Construimos v' como sigue. En las variables de α, da lo mismo que w. En las demas variables, da lo mismo que v. Esta valuacion satisface a Γ'. Entonces, como todo subconjunto finito es satisfacible, Γ es satisfacible (por compacidad). <br />
<br />
<br>Si no queremos usar compacidad, vemos directamente que Γ es satisfacible. Para cada elemento αi hay una valuacion vi. Construimos la valuacion v que es igual a cada vi en las variables de αi, y 0 en las variables que no aparezcan en Γ. Esta bien definida por las intersecciones vacias. v satisface a Γ.<br />
<br />
==Ejercicio 12==<br />
Supongamos que ninguna formula de la forma α1 ٧...٧ αn sea tautologia. Esto es lo mismo que decir que ninguna formula de la forma ¬α1 ٨ ... ٨ ¬αn no es contradiccion. Pero esto ultimo es lo mismo que decir que todo subconjunto finito de negaciones de formulas de Γ es satisfacible. Entonces ¬Γ = {¬α, α ε Γ} es satisfacible. Entonces, existe v valuacion tal que v(¬α) = 1 para todo α en Γ. Esto contradice la hipotesis de que v satisface al menos una formula de Γ. Entonces, tienen que existir finitas formulas α1, ... , αn tales que su disyuncion es una tautologia.<br />
<br />
==Ejercicio 13==<br />
Recordemos que {P} |= Q sii (P → Q) es una tautologia. Y esto tambien es equivalente a que [P] <= [Q]. Con esto en mente, supongamos que Γ |= γ. Entonces, por compacidad, existe un subconjunto finito Γ0 = {α1, ... , αn} de Γ tal que {α1, ... , αn} |= γ . Miremos el cociente finito Γ0/ ≡. La hipotesis de que α → β es tautologia o β → α es tautologia se puede traducir en que este cociente se puede ordenar totalmente. Sea [α] su primer elemento. Es claro que todos los elementos de [α] son consecuencia de α. Los elementos de clases mayores tambien, pues se tiene que α → β es tautologia para toda β que este en una clase [P] tal que [α] <= [P]. Entonces, todo Γ0 es consecuencia de α. Luego, {α} |= γ . <br />
<br />
[[Category:Lógica y Computabilidad]]</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_5_(LyC_Verano)&diff=3425Práctica 5 (LyC Verano)2007-03-06T13:33:17Z<p>201.216.244.41: /* c) */</p>
<hr />
<div>==Ejercicio 01==<br />
<pre><br />
SP3 = (¬φ → ¬ψ) → [ (¬φ → ψ) → φ ] = 1 <=><br />
(¬φ → ¬ψ) = 0 ٧ [ (¬φ → ψ) → φ ] = 1<br />
¬φ = 0 ٧ ¬ψ = 1 (¬φ → ψ) = 0 ٧ φ = 1<br />
φ = 1 ٧ ψ = 0 ¬φ = 0 ٧ ψ = 1<br />
φ = 1 ٧ ψ = 1<br />
</pre><br />
Con lo cual, SP3 vale si<br />
<br>(φ=1 ٧ ψ=0) ٧ (φ=1 ٧ ψ=1) ٧ (φ=1), que equivale a<br />
<br>(φ=1) ٧ (ψ=0 ٧ ψ=1), que equivale a<br />
<br>(φ=1) ٧ T = tautologia<br />
<br> -> SP3 es tautologia<br />
<br />
==Ejercicio 02==<br />
===a)===<br />
*1.SP3: (¬φ → ¬<font color=red>φ</font>) → [ (¬φ → <font color=red>φ</font>) → φ ]<br />
*2.VALE: (¬φ → ¬φ) (ya que p → p es tautologia)<br />
*3.MP 1 y 2: (¬φ → φ) → φ<br />
→ (¬φ → φ) → φ es tautologia<br />
<br />
===b)===<br />
*1.SP1: <font color=red>(ψ→θ)</font>→( φ→<font color=red>(ψ→θ)</font> )<br />
*2.AXb: ψ→θ<br />
*3.MP 1 y 2: φ→(ψ→θ)<br />
*4.SP2: ( φ→(ψ→θ) ) → ( (φ→ψ)→(φ→θ) )<br />
*5.MP 3 y 4: (φ→ψ)→(φ→θ)<br />
*6.AXb: φ→ψ<br />
*7.MP 5 y 6: φ→θ<br />
→ {φ→ψ,ψ→θ} infiere φ→θ<br />
<br />
===c)===<br />
<br>Si (¬φ → ¬ψ) es F, la formula es tautologia.<br />
<br>Si (¬φ → ¬ψ) es T, entonces hay que probar que vale (ψ→φ). Usando b), {ψ→p,p→φ}→(ψ→φ). Entonces:<br />
*1.SP2: ( ψ→(p→φ) ) → ( (ψ→p)→(ψ→φ) )<br />
*2.VALE: ψ→(p→φ) ya que (p→φ) es axioma<br />
*3.MP 1 y 2: (ψ→p)→(ψ→φ)<br />
*4.VALE: (ψ→p) ya que es axioma<br />
*5.MP 3 y 4: (ψ→φ)<br />
<br>→Vale (ψ→φ)<br />
<br>→(¬φ→¬ψ)→(ψ→φ) es tautologia<br />
<br />
==Ejercicio 03==<br />
==Ejercicio 04==<br />
===a)===<br />
===b)===<br />
===c)===<br />
===d)===<br />
<br />
==Ejercicio 05==<br />
===a)===<br />
<pre><br />
¬(¬(p1 ٧ p2) → ((p3 ٨ p1) ٧ (p2 → p3)))<br />
¬(p1 ٧ p2)<br />
¬((p3 ٨ p1) ٧ (p2 → p3))<br />
¬p1<br />
¬p2<br />
¬(p3 ٨ p1)<br />
¬(p2 → p3)<br />
¬p3 ¬p1<br />
p2 p2<br />
¬p3 ¬p3<br />
x x<br />
</pre><br />
→ P es tautologia<br />
<br />
===b)===<br />
<pre><br />
((p1 → p3) → ((p2 → p3) → ((p1 ٧ p2) → p3)))<br />
¬(p1 → p3) (p2 → p3) → ((p1 ٧ p2) → p3))<br />
p1 ¬(p2 → p3) ¬((p1 ٧ p2) → p3)<br />
¬p3 p2 (p1 ٧ p2) <br />
¬p3 ¬p3<br />
</pre><br />
<br />
¬P = (p1 ٨ ¬p3) ٧ (p2 ٨ ¬p3) ٧ ¬p3 = (p1 ٧ p2 ٧ T) ٨ ¬p3 = ¬p3. Es una contingencia<br />
<br />
Nota: NO es una contingencia. Este árbol sólo logra probar que la fórmula NO ES TAUTOLOGÍA. Ahora habría que agregar el árbol para la fórmula sin negar y ver si se cierran o no todas sus ramas. Si se cierran todas, es una contradicción (en este caso ocurre eso), si queda alguna abierta, entonces sí, es una contingencia.<br />
<br />
===c)===<br />
<pre><br />
¬((¬¬¬(p1 ٨ p2) ٧ p3) → p4)<br />
(¬¬¬(p1 ٨ p2) ٧ p3)<br />
¬p4<br />
¬¬¬(p1 ٨ p2) p3<br />
¬(p1 ٨ p2)<br />
¬p1 ¬p2<br />
</pre><br />
¬P = ((¬p1 ٧ ¬p2) ٧ p3) ٨ ¬p4. Como cada variable aparece 1 vez, ¬P es contingencia<br />
<br />
==Ejercicio 06==<br />
===a)===<br />
<pre><br />
(((p0 ٨ ¬p0) ٨ p1) ٨ ¬(p1 ٨ (p1 → p0)))<br />
((p0 ٨ ¬p0) ٨ p1)<br />
¬(p1 ٨ (p1 → p0))<br />
(p0 ٨ ¬p0)<br />
p1<br />
¬p1 ¬(p1 → p0)<br />
¬p0 p0<br />
¬p0 ¬p0<br />
x p1<br />
¬p0<br />
x<br />
</pre><br />
<br />
===b)===<br />
<pre><br />
((p1 ٨ (p1 → ¬p0)) ٨ ¬(p1 → p0))<br />
(p1 ٨ (p1 → ¬p0))<br />
¬(p1 → p0)<br />
p1<br />
(p1 → ¬p0)<br />
p1 <br />
¬p0<br />
¬p1 ¬p0<br />
x<br />
</pre><br />
===c)===<br />
<pre><br />
(((p1 ٨ (p2 ٧ p0)) ٨ (p1 ٨ p0)) ٨ ¬((p1 ٨ p2) → p0))<br />
((p1 ٨ (p2 ٧ p0)) ٨ (p1 ٨ p0))<br />
¬((p1 ٨ p2) → p0)<br />
(p1 ٨ (p2 ٧ p0))<br />
(p1 ٨ p0)<br />
(p1 ٨ p2)<br />
¬p0<br />
p1<br />
(p2 ٧ p0)<br />
p1<br />
p0<br />
p1<br />
p2<br />
p2 p0<br />
x x<br />
</pre><br />
<br />
==Ejercicio 07==<br />
===a)===<br />
===b)===<br />
<br />
==Ejercicio 08==<br />
<br>a) F El unico arbol de la formula p1 es ella misma, que es un arbol abierto. Sin embargo, la formula no es una tautologia.<br />
<br>b) F El arbol (p1 ٨ ¬p1) para esa misma formula no es cerrado, pero la formula es una contradiccion. El asunto es que el arbol no esta completo.<br />
<br>c) V (Esta demostrada en algun lado, pero no me acuerdo donde)<br />
<br />
==Ejercicio 09==<br />
<br />
==Ejercicio 10==<br />
Como Γ1∪Γ2 es insatisfacible, por compacidad existe Γ0 <math>\subseteq</math> Γ1∪Γ2 finito e insatisfacible. Este conjunto tiene que tener por lo menos una formula de Γ1 y una de Γ2. Si no, serıa satisfacible. Si llamamos α1,..,αn a las formulas de Γ1 ∩ Γ0 y β1,..,βm a las de Γ1 ∩ Γ0, podemos hacer α = α1 ٨..٨ αn y β = β1 ٨..٨ βm. Es claro que α ε C(Γ1) y que β ε C(Γ2). Ademas, α ٨ β es una contradiccion. Pero α ٨ β ≡ ¬(¬α ٧ ¬β) ≡ ¬(α → ¬β), de lo cual podemos concluir que (α → ¬β) es una tautologia<br />
<br />
==Ejercicio 11==<br />
<br>Sea Γ' <math>\subseteq</math> Γ finito. Veamos por induccion en su cantidad de elementos que es satisfacible. Si #Γ' = 1, sabemos que es satisfacible pues consta de una sola contingencia. Supongamos que todo Γ' de menos de n elementos es satisfacible. Sea Γ' con n elementos. Entonces, Γ' = {α} U Γ" (con α <math>\notin</math> Γ"). Sea v una valuacion que satisface a Γ" (existe por HI). Sea w una valuacion que satisface a α. Construimos v' como sigue. En las variables de α, da lo mismo que w. En las demas variables, da lo mismo que v. Esta valuacion satisface a Γ'. Entonces, como todo subconjunto finito es satisfacible, Γ es satisfacible (por compacidad). <br />
<br />
<br>Si no queremos usar compacidad, vemos directamente que Γ es satisfacible. Para cada elemento αi hay una valuacion vi. Construimos la valuacion v que es igual a cada vi en las variables de αi, y 0 en las variables que no aparezcan en Γ. Esta bien definida por las intersecciones vacias. v satisface a Γ.<br />
<br />
==Ejercicio 12==<br />
Supongamos que ninguna formula de la forma α1 ٧...٧ αn sea tautologia. Esto es lo mismo que decir que ninguna formula de la forma ¬α1 ٨ ... ٨ ¬αn no es contradiccion. Pero esto ultimo es lo mismo que decir que todo subconjunto finito de negaciones de formulas de Γ es satisfacible. Entonces ¬Γ = {¬α, α ε Γ} es satisfacible. Entonces, existe v valuacion tal que v(¬α) = 1 para todo α en Γ. Esto contradice la hipotesis de que v satisface al menos una formula de Γ. Entonces, tienen que existir finitas formulas α1, ... , αn tales que su disyuncion es una tautologia.<br />
<br />
==Ejercicio 13==<br />
Recordemos que {P} |= Q sii (P → Q) es una tautologia. Y esto tambien es equivalente a que [P] <= [Q]. Con esto en mente, supongamos que Γ |= γ. Entonces, por compacidad, existe un subconjunto finito Γ0 = {α1, ... , αn} de Γ tal que {α1, ... , αn} |= γ . Miremos el cociente finito Γ0/ ≡. La hipotesis de que α → β es tautologia o β → α es tautologia se puede traducir en que este cociente se puede ordenar totalmente. Sea [α] su primer elemento. Es claro que todos los elementos de [α] son consecuencia de α. Los elementos de clases mayores tambien, pues se tiene que α → β es tautologia para toda β que este en una clase [P] tal que [α] <= [P]. Entonces, todo Γ0 es consecuencia de α. Luego, {α} |= γ . <br />
<br />
[[Category:Lógica y Computabilidad]]</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_5_(LyC_Verano)&diff=3395Práctica 5 (LyC Verano)2007-03-02T18:08:31Z<p>201.216.244.41: /* b) */</p>
<hr />
<div>==Ejercicio 01==<br />
==Ejercicio 02==<br />
===a)===<br />
*1.SP3: (¬φ → ¬<font color=red>φ</font>) → [ (¬φ → <font color=red>φ</font>) → φ ]<br />
*2.VALE: (¬φ → ¬φ) (ya que p → p es tautologia)<br />
*3.MP 1 y 2: (¬φ → φ) → φ<br />
→ (¬φ → φ) → φ es tautologia<br />
<br />
===b)===<br />
*1.SP1: <font color=red>(ψ→θ)</font>→( φ→<font color=red>(ψ→θ)</font> )<br />
*2.AXb: ψ→θ<br />
*3.MP 1 y 2: φ→(ψ→θ)<br />
*4.SP2: ( φ→(ψ→θ) ) → ( (φ→ψ)→(φ→θ) )<br />
*5.MP 3 y 4: (φ→ψ)→(φ→θ)<br />
*6.AXb: φ→ψ<br />
*7.MP 5 y 6: φ→θ<br />
→ {φ→ψ,ψ→θ} infiere φ→θ<br />
<br />
===c)===<br />
<br />
==Ejercicio 03==<br />
==Ejercicio 04==<br />
==Ejercicio 05==<br />
<font color=white>code0314</font><br />
==Ejercicio 06==<br />
<font color=white>code0316</font><br />
==Ejercicio 07==<br />
==Ejercicio 08==<br />
<font color=white>code0317</font><br />
==Ejercicio 09==<br />
==Ejercicio 10==<br />
<font color=white>code0401</font><br />
==Ejercicio 11==<br />
<font color=white>code0403</font><br />
==Ejercicio 12==<br />
==Ejercicio 13==<br />
<font color=white>code0406</font><br />
<br />
[[Category:Lógica y Computabilidad]]</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_5_(LyC_Verano)&diff=3394Práctica 5 (LyC Verano)2007-03-02T18:07:45Z<p>201.216.244.41: /* b) */</p>
<hr />
<div>==Ejercicio 01==<br />
==Ejercicio 02==<br />
===a)===<br />
*1.SP3: (¬φ → ¬<font color=red>φ</font>) → [ (¬φ → <font color=red>φ</font>) → φ ]<br />
*2.VALE: (¬φ → ¬φ) (ya que p → p es tautologia)<br />
*3.MP 1 y 2: (¬φ → φ) → φ<br />
→ (¬φ → φ) → φ es tautologia<br />
<br />
===b)===<br />
*1.SP1: <font color=red>(ψ→θ)</font>→( φ→<font color=red>(ψ→θ)</font> )<br />
*2.AXb: ψ→θ<br />
*3.MP 1 y 2: φ→(ψ→θ)<br />
*4.SP2: ( φ→(ψ→θ) ) → ( (φ→ψ)→(φ→θ) )<br />
*5.MP 3 y 4: (φ→ψ)→(φ→θ)<br />
*6.AXb: φ→ψ<br />
*7.MP 5 y 6: φ→θ<br />
→ {φ→ψ,φ→θ} infiere φ→θ<br />
<br />
===c)===<br />
<br />
==Ejercicio 03==<br />
==Ejercicio 04==<br />
==Ejercicio 05==<br />
<font color=white>code0314</font><br />
==Ejercicio 06==<br />
<font color=white>code0316</font><br />
==Ejercicio 07==<br />
==Ejercicio 08==<br />
<font color=white>code0317</font><br />
==Ejercicio 09==<br />
==Ejercicio 10==<br />
<font color=white>code0401</font><br />
==Ejercicio 11==<br />
<font color=white>code0403</font><br />
==Ejercicio 12==<br />
==Ejercicio 13==<br />
<font color=white>code0406</font><br />
<br />
[[Category:Lógica y Computabilidad]]</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_7_(LyC_Verano)&diff=3484Práctica 7 (LyC Verano)2007-03-02T17:45:12Z<p>201.216.244.41: </p>
<hr />
<div>==Ejercicio 01==<br />
==Ejercicio 02==<br />
==Ejercicio 03==<br />
==Ejercicio 04==<br />
==Ejercicio 05==<br />
==Ejercicio 06==<br />
==Ejercicio 07==<br />
==Ejercicio 08==<br />
==Ejercicio 09==<br />
<font color=white>code0602</font><br />
==Ejercicio 10==<br />
<font color=white>code0606</font><br />
==Ejercicio 11==<br />
<font color=white>code0605</font><br />
==Ejercicio 12==<br />
<font color=white>code0608</font><br />
==Ejercicio 13==<br />
<font color=white>code0610</font><br />
<br />
[[Category:Lógica y Computabilidad]]</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_6_(LyC_Verano)&diff=3450Práctica 6 (LyC Verano)2007-03-02T17:34:19Z<p>201.216.244.41: </p>
<hr />
<div>==Ejercicio 01==<br />
==Ejercicio 02==<br />
==Ejercicio 03==<br />
==Ejercicio 04==<br />
<font color=white>code0504</font><br />
==Ejercicio 05==<br />
==Ejercicio 06==<br />
<font color=white>code0505</font><br />
==Ejercicio 07==<br />
==Ejercicio 08==<br />
==Ejercicio 09==<br />
<font color=white>code0510</font><br />
==Ejercicio 10==<br />
<font color=white>code0511</font><br />
==Ejercicio 11==<br />
<br />
[[Category:Lógica y Computabilidad]]</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_5_(LyC_Verano)&diff=3393Práctica 5 (LyC Verano)2007-03-02T17:33:17Z<p>201.216.244.41: </p>
<hr />
<div>==Ejercicio 01==<br />
==Ejercicio 02==<br />
===a)===<br />
*1.SP3: (¬φ → ¬<font color=red>φ</font>) → [ (¬φ → <font color=red>φ</font>) → φ ]<br />
*2.VALE: (¬φ → ¬φ) (ya que p → p es tautologia)<br />
*3.MP 1 y 2: (¬φ → φ) → φ<br />
→ (¬φ → φ) → φ es tautologia<br />
<br />
===b)===<br />
*1.SP1: <font color=red>(ψ→θ)</font>→( φ→<font color=red>(ψ→θ)</font> )<br />
*2.AXb: ψ→θ<br />
*3.MP 1 y 2: φ→(ψ→θ)<br />
*4.SP2: ( φ→(ψ→θ) ) → ( (φ→ψ)→(φ→θ) )<br />
*5.MP 3 y 4: (φ→ψ)→(φ→θ)<br />
*6.AXb: φ→ψ<br />
*7.MP 5 y 6: φ→θ<br />
→ φ→θ es tautologia<br />
<br />
===c)===<br />
<br />
==Ejercicio 03==<br />
==Ejercicio 04==<br />
==Ejercicio 05==<br />
<font color=white>code0314</font><br />
==Ejercicio 06==<br />
<font color=white>code0316</font><br />
==Ejercicio 07==<br />
==Ejercicio 08==<br />
<font color=white>code0317</font><br />
==Ejercicio 09==<br />
==Ejercicio 10==<br />
<font color=white>code0401</font><br />
==Ejercicio 11==<br />
<font color=white>code0403</font><br />
==Ejercicio 12==<br />
==Ejercicio 13==<br />
<font color=white>code0406</font><br />
<br />
[[Category:Lógica y Computabilidad]]</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_5_(LyC_Verano)&diff=3392Práctica 5 (LyC Verano)2007-03-02T17:31:59Z<p>201.216.244.41: </p>
<hr />
<div>==Ejercicio 01==<br />
==Ejercicio 02==<br />
===a)===<br />
*1.SP3: (¬φ → ¬<font color=red>φ</font>) → [ (¬φ → <font color=red>φ</font>) → φ ]<br />
*2.VALE: (¬φ → ¬φ) (ya que p → p es tautologia)<br />
*3.MP 1 y 2: (¬φ → φ) → φ<br />
→ (¬φ → φ) → φ es tautologia<br />
<br />
===b)===<br />
*1.SP1: <font color=red>(ψ→θ)</font>→( φ→<font color=red>(ψ→θ)</font> )<br />
*2.AXb: ψ→θ<br />
*3.MP 1 y 2: φ→(ψ→θ)<br />
*4.SP2: ( φ→(ψ→θ) ) → ( (φ→ψ)→(φ→θ) )<br />
*5.MP 3 y 4: (φ→ψ)→(φ→θ)<br />
*6.AXb: φ→ψ<br />
*7.MP 5 y 6: φ→θ<br />
→ φ→θ es tautologia<br />
<br />
===c)===<br />
<br />
==Ejercicio 03==<br />
==Ejercicio 04==<br />
==Ejercicio 05==<br />
<font color=white>3.14</font><br />
==Ejercicio 06==<br />
<font color=white>3.16</font><br />
==Ejercicio 07==<br />
==Ejercicio 08==<br />
<font color=white>3.17</font><br />
==Ejercicio 09==<br />
==Ejercicio 10==<br />
<font color=white>4.1</font><br />
==Ejercicio 11==<br />
<font color=white>4.3</font><br />
==Ejercicio 12==<br />
==Ejercicio 13==<br />
<font color=white>4.6</font><br />
<br />
[[Category:Lógica y Computabilidad]]</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_7_(LyC_Verano)&diff=3483Práctica 7 (LyC Verano)2007-03-02T14:15:09Z<p>201.216.244.41: </p>
<hr />
<div>==Ejercicio 01==<br />
==Ejercicio 02==<br />
==Ejercicio 03==<br />
==Ejercicio 04==<br />
==Ejercicio 05==<br />
==Ejercicio 06==<br />
==Ejercicio 07==<br />
==Ejercicio 08==<br />
==Ejercicio 09==<br />
==Ejercicio 10==<br />
==Ejercicio 11==<br />
==Ejercicio 12==<br />
==Ejercicio 13==<br />
<br />
[[Category:Lógica y Computabilidad]]</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Categor%C3%ADa:L%C3%B3gica_y_Computabilidad&diff=3268Categoría:Lógica y Computabilidad2007-03-02T14:14:15Z<p>201.216.244.41: /* Prácticas (Verano) */</p>
<hr />
<div>'''Lógica y Computabilidad''' es una materia que estudia formalmente la Lógica Proposicional y la Lógica de Primer Orden e introduce la Teoría de la Computabilidad. Pertenece al [http://www.dm.uba.ar Departamento de Matemática] y, según el Plan de la Carrera, es una materia a ser cursada en [[Plan de la Carrera#Tercer año|Tercer año]]. Es correlativa de [[Algoritmos y Estructuras de Datos II]], y es requerida para cursar [[Paradigmas de Lenguajes de Programación]] y [[Teoría de Lenguajes]].<br />
<br />
Esta materia se cursa los Miércoles y Viernes a partir de las 17 hs (durante el verano, de Lunes a Jueves)<br />
<br />
== Programa ==<br />
Abarca los temas de los capítulos 1 al 4 del libro "Computability, Complexity, and Languages" de Davis, Sigal y Weyuker<br />
<br />
<b><i>Temario Verano 2007:</i></b><br />
* <b>Computabilidad</b>: Lenguajes de programación. Macros. Recursión. Funciones primitivas recursivas. Predicados, operadores lógicos. Minimización. Codificación de Godel. Halting Problem, universalidad. Conjuntos recursivamente enumerables. Teoremas de la recursión, del punto fijo y de Rice.<br />
<br />
* <b>Lógica Proposicional </b>: Lenguaje. Semántica. Mecanismo Deductivo. Metateoremas para SP. Tableaux. Compacidad.<br />
<br />
* <b>Lógica de Primer Orden</b>: Lenguaje. Semántica. Sistema axiomático. Metateoremas. Indecidibilidad.<br />
<br />
== Contenidos ==<br />
Algunos teoremas vistos en la primera parte de la materia: (de logica)<br />
* [[Teorema de Completitud]]<br />
* [[Teorema de Compacidad]]<br />
* [[Teorema de la Deducción (semántico)]]<br />
<br />
== Prácticas (Verano) ==<br />
<b>Computabilidad</b><br />
* [[Práctica 1 (Computabilidad) | Práctica 1 - Funciones computables]]<br />
* [[Práctica 2 (Computabilidad) | Práctica 2 - Funciones primitivas recursivas]]<br />
* [[Práctica 3 (Computabilidad) | Práctica 3 - Teoría de Computabilidad]]<br />
<br />
<b>Logica</b><br />
* [[Práctica 4 (Logica) | Práctica 4 - Logica Proposicional]]<br />
* [[Práctica 5 (Logica) | Práctica 5 - Sistemas Deductivos y Compacidad]]<br />
* [[Práctica 6 (Logica) | Práctica 6 - Logica de Primer Orden]]<br />
* [[Práctica 7 (Logica) | Práctica 7 - Sistemas Deductivos, Completitud y Compacidad (1º Orden)]]<br />
<br />
== Prácticas (Cuatrimestre) ==<br />
<br />
<b>Logica</b><br />
* [[Práctica 1 (Lógica y Computabilidad) | Práctica 1 - Lógica Proposicional]]<br />
* [[Práctica 2 (Lógica y Computabilidad) | Práctica 2 - Semantica del Cálculo Proposicional]]<br />
* [[Práctica 3 (Lógica y Computabilidad) | Práctica 3 - Consecuencia Lógica y Árboles]]<br />
* [[Práctica 4 (Lógica y Computabilidad) | Práctica 4 - Compacidad]]<br />
* [[Práctica 5 (Lógica y Computabilidad) | Práctica 5 - Cálculo de Predicados]]<br />
* [[Práctica 6 (Lógica y Computabilidad) | Práctica 6 - Árboles del Cálculo de Predicados]]<br />
<br />
<b>Computabilidad</b><br />
* [[Práctica 7 (Lógica y Computabilidad) | Práctica 7 - Computabilidad y Programas]]<br />
* [[Práctica 8 (Lógica y Computabilidad) | Práctica 8 - Funciones Primitivas Recursivas]]<br />
* [[Práctica 9 (Lógica y Computabilidad) | Práctica 9 - Recursividad]]<br />
<br />
== Parciales ==<br />
* [[Lógica y Computabilidad - Primer Parcial - 13.10.06 | Primer Parcial (13/10/06)]]<br />
<br />
== Bibliografía Recomendada ==<br />
*Davis, Martin D.; Sigal, Ron y Weyuker, Elaine J., ''Computability, complexity and languages: fundamentals of theoretical computer science'', San Diego: Academic Press, 1994 ('''Circulante 681 334 Davis''' en la [[Biblioteca Central]])<br />
*Mendelson, Elliot, ''Introduction to mathematical logic'', Princeton, N.J.: Van Nostrand, c1964 ('''Circulante 510 600 Mendelson''' en la [[Biblioteca Central]])<br />
<br />
== Enlaces externos ==<br />
*[http://www.dc.uba.ar/lyc/ Pagina Oficial de la Materia (Verano 2007)]<br />
*[http://cuba.exp.dc.uba.ar/files/Varios_Logica_Verano_2006.zip Apuntes y teóricas del curso de Verano 06, por Enrique Tobis]<br />
*[http://www.filefactory.com/file/57a2b1/ Bibliografía del curso de verano 2007 - ''Martin Davis - Computability, Complexity and Languages'']<br />
<br />
[[Category:Materias]]<br />
[[Category:Matemática]]<br />
[[Category:Computación]]</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=L%C3%B3gica_y_Computabilidad&diff=578Lógica y Computabilidad2007-03-02T14:14:15Z<p>201.216.244.41: /* Prácticas (Verano) */</p>
<hr />
<div>'''Lógica y Computabilidad''' es una materia que estudia formalmente la Lógica Proposicional y la Lógica de Primer Orden e introduce la Teoría de la Computabilidad. Pertenece al [http://www.dm.uba.ar Departamento de Matemática] y, según el Plan de la Carrera, es una materia a ser cursada en [[Plan de la Carrera#Tercer año|Tercer año]]. Es correlativa de [[Algoritmos y Estructuras de Datos II]], y es requerida para cursar [[Paradigmas de Lenguajes de Programación]] y [[Teoría de Lenguajes]].<br />
<br />
Esta materia se cursa los Miércoles y Viernes a partir de las 17 hs (durante el verano, de Lunes a Jueves)<br />
<br />
== Programa ==<br />
Abarca los temas de los capítulos 1 al 4 del libro "Computability, Complexity, and Languages" de Davis, Sigal y Weyuker<br />
<br />
<b><i>Temario Verano 2007:</i></b><br />
* <b>Computabilidad</b>: Lenguajes de programación. Macros. Recursión. Funciones primitivas recursivas. Predicados, operadores lógicos. Minimización. Codificación de Godel. Halting Problem, universalidad. Conjuntos recursivamente enumerables. Teoremas de la recursión, del punto fijo y de Rice.<br />
<br />
* <b>Lógica Proposicional </b>: Lenguaje. Semántica. Mecanismo Deductivo. Metateoremas para SP. Tableaux. Compacidad.<br />
<br />
* <b>Lógica de Primer Orden</b>: Lenguaje. Semántica. Sistema axiomático. Metateoremas. Indecidibilidad.<br />
<br />
== Contenidos ==<br />
Algunos teoremas vistos en la primera parte de la materia: (de logica)<br />
* [[Teorema de Completitud]]<br />
* [[Teorema de Compacidad]]<br />
* [[Teorema de la Deducción (semántico)]]<br />
<br />
== Prácticas (Verano) ==<br />
<b>Computabilidad</b><br />
* [[Práctica 1 (Computabilidad) | Práctica 1 - Funciones computables]]<br />
* [[Práctica 2 (Computabilidad) | Práctica 2 - Funciones primitivas recursivas]]<br />
* [[Práctica 3 (Computabilidad) | Práctica 3 - Teoría de Computabilidad]]<br />
<br />
<b>Logica</b><br />
* [[Práctica 4 (Logica) | Práctica 4 - Logica Proposicional]]<br />
* [[Práctica 5 (Logica) | Práctica 5 - Sistemas Deductivos y Compacidad]]<br />
* [[Práctica 6 (Logica) | Práctica 6 - Logica de Primer Orden]]<br />
* [[Práctica 7 (Logica) | Práctica 7 - Sistemas Deductivos, Completitud y Compacidad (1º Orden)]]<br />
<br />
== Prácticas (Cuatrimestre) ==<br />
<br />
<b>Logica</b><br />
* [[Práctica 1 (Lógica y Computabilidad) | Práctica 1 - Lógica Proposicional]]<br />
* [[Práctica 2 (Lógica y Computabilidad) | Práctica 2 - Semantica del Cálculo Proposicional]]<br />
* [[Práctica 3 (Lógica y Computabilidad) | Práctica 3 - Consecuencia Lógica y Árboles]]<br />
* [[Práctica 4 (Lógica y Computabilidad) | Práctica 4 - Compacidad]]<br />
* [[Práctica 5 (Lógica y Computabilidad) | Práctica 5 - Cálculo de Predicados]]<br />
* [[Práctica 6 (Lógica y Computabilidad) | Práctica 6 - Árboles del Cálculo de Predicados]]<br />
<br />
<b>Computabilidad</b><br />
* [[Práctica 7 (Lógica y Computabilidad) | Práctica 7 - Computabilidad y Programas]]<br />
* [[Práctica 8 (Lógica y Computabilidad) | Práctica 8 - Funciones Primitivas Recursivas]]<br />
* [[Práctica 9 (Lógica y Computabilidad) | Práctica 9 - Recursividad]]<br />
<br />
== Parciales ==<br />
* [[Lógica y Computabilidad - Primer Parcial - 13.10.06 | Primer Parcial (13/10/06)]]<br />
<br />
== Bibliografía Recomendada ==<br />
*Davis, Martin D.; Sigal, Ron y Weyuker, Elaine J., ''Computability, complexity and languages: fundamentals of theoretical computer science'', San Diego: Academic Press, 1994 ('''Circulante 681 334 Davis''' en la [[Biblioteca Central]])<br />
*Mendelson, Elliot, ''Introduction to mathematical logic'', Princeton, N.J.: Van Nostrand, c1964 ('''Circulante 510 600 Mendelson''' en la [[Biblioteca Central]])<br />
<br />
== Enlaces externos ==<br />
*[http://www.dc.uba.ar/lyc/ Pagina Oficial de la Materia (Verano 2007)]<br />
*[http://cuba.exp.dc.uba.ar/files/Varios_Logica_Verano_2006.zip Apuntes y teóricas del curso de Verano 06, por Enrique Tobis]<br />
*[http://www.filefactory.com/file/57a2b1/ Bibliografía del curso de verano 2007 - ''Martin Davis - Computability, Complexity and Languages'']<br />
<br />
[[Category:Materias]]<br />
[[Category:Matemática]]<br />
[[Category:Computación]]</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Categor%C3%ADa:L%C3%B3gica_y_Computabilidad&diff=3267Categoría:Lógica y Computabilidad2007-03-02T14:13:05Z<p>201.216.244.41: /* Prácticas (Verano) */</p>
<hr />
<div>'''Lógica y Computabilidad''' es una materia que estudia formalmente la Lógica Proposicional y la Lógica de Primer Orden e introduce la Teoría de la Computabilidad. Pertenece al [http://www.dm.uba.ar Departamento de Matemática] y, según el Plan de la Carrera, es una materia a ser cursada en [[Plan de la Carrera#Tercer año|Tercer año]]. Es correlativa de [[Algoritmos y Estructuras de Datos II]], y es requerida para cursar [[Paradigmas de Lenguajes de Programación]] y [[Teoría de Lenguajes]].<br />
<br />
Esta materia se cursa los Miércoles y Viernes a partir de las 17 hs (durante el verano, de Lunes a Jueves)<br />
<br />
== Programa ==<br />
Abarca los temas de los capítulos 1 al 4 del libro "Computability, Complexity, and Languages" de Davis, Sigal y Weyuker<br />
<br />
<b><i>Temario Verano 2007:</i></b><br />
* <b>Computabilidad</b>: Lenguajes de programación. Macros. Recursión. Funciones primitivas recursivas. Predicados, operadores lógicos. Minimización. Codificación de Godel. Halting Problem, universalidad. Conjuntos recursivamente enumerables. Teoremas de la recursión, del punto fijo y de Rice.<br />
<br />
* <b>Lógica Proposicional </b>: Lenguaje. Semántica. Mecanismo Deductivo. Metateoremas para SP. Tableaux. Compacidad.<br />
<br />
* <b>Lógica de Primer Orden</b>: Lenguaje. Semántica. Sistema axiomático. Metateoremas. Indecidibilidad.<br />
<br />
== Contenidos ==<br />
Algunos teoremas vistos en la primera parte de la materia: (de logica)<br />
* [[Teorema de Completitud]]<br />
* [[Teorema de Compacidad]]<br />
* [[Teorema de la Deducción (semántico)]]<br />
<br />
== Prácticas (Verano) ==<br />
<b>Computabilidad</b><br />
* [[Práctica 1 (Computabilidad) | Práctica 1 - Funciones computables]]<br />
* [[Práctica 2 (Computabilidad) | Práctica 2 - Funciones primitivas recursivas]]<br />
* [[Práctica 3 (Computabilidad) | Práctica 3 - Teoría de Computabilidad]]<br />
<br />
<b>Logica</b><br />
* [[Práctica 4 (Logica) | Práctica 4 - Logica Proposicional]]<br />
* [[Práctica 5 (Logica) | Práctica 5 - Sistemas Deductivos y Compacidad]]<br />
* [[Práctica 6 (Logica) | Práctica 6 - Logica de Primer Orden]]<br />
* [[Práctica 7 (Logica) | Práctica 7 - Sistemas Deductivos, Completitud y Compacidad (1º Orden)]<br />
<br />
== Prácticas (Cuatrimestre) ==<br />
<br />
<b>Logica</b><br />
* [[Práctica 1 (Lógica y Computabilidad) | Práctica 1 - Lógica Proposicional]]<br />
* [[Práctica 2 (Lógica y Computabilidad) | Práctica 2 - Semantica del Cálculo Proposicional]]<br />
* [[Práctica 3 (Lógica y Computabilidad) | Práctica 3 - Consecuencia Lógica y Árboles]]<br />
* [[Práctica 4 (Lógica y Computabilidad) | Práctica 4 - Compacidad]]<br />
* [[Práctica 5 (Lógica y Computabilidad) | Práctica 5 - Cálculo de Predicados]]<br />
* [[Práctica 6 (Lógica y Computabilidad) | Práctica 6 - Árboles del Cálculo de Predicados]]<br />
<br />
<b>Computabilidad</b><br />
* [[Práctica 7 (Lógica y Computabilidad) | Práctica 7 - Computabilidad y Programas]]<br />
* [[Práctica 8 (Lógica y Computabilidad) | Práctica 8 - Funciones Primitivas Recursivas]]<br />
* [[Práctica 9 (Lógica y Computabilidad) | Práctica 9 - Recursividad]]<br />
<br />
== Parciales ==<br />
* [[Lógica y Computabilidad - Primer Parcial - 13.10.06 | Primer Parcial (13/10/06)]]<br />
<br />
== Bibliografía Recomendada ==<br />
*Davis, Martin D.; Sigal, Ron y Weyuker, Elaine J., ''Computability, complexity and languages: fundamentals of theoretical computer science'', San Diego: Academic Press, 1994 ('''Circulante 681 334 Davis''' en la [[Biblioteca Central]])<br />
*Mendelson, Elliot, ''Introduction to mathematical logic'', Princeton, N.J.: Van Nostrand, c1964 ('''Circulante 510 600 Mendelson''' en la [[Biblioteca Central]])<br />
<br />
== Enlaces externos ==<br />
*[http://www.dc.uba.ar/lyc/ Pagina Oficial de la Materia (Verano 2007)]<br />
*[http://cuba.exp.dc.uba.ar/files/Varios_Logica_Verano_2006.zip Apuntes y teóricas del curso de Verano 06, por Enrique Tobis]<br />
*[http://www.filefactory.com/file/57a2b1/ Bibliografía del curso de verano 2007 - ''Martin Davis - Computability, Complexity and Languages'']<br />
<br />
[[Category:Materias]]<br />
[[Category:Matemática]]<br />
[[Category:Computación]]</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=L%C3%B3gica_y_Computabilidad&diff=577Lógica y Computabilidad2007-03-02T14:13:05Z<p>201.216.244.41: /* Prácticas (Verano) */</p>
<hr />
<div>'''Lógica y Computabilidad''' es una materia que estudia formalmente la Lógica Proposicional y la Lógica de Primer Orden e introduce la Teoría de la Computabilidad. Pertenece al [http://www.dm.uba.ar Departamento de Matemática] y, según el Plan de la Carrera, es una materia a ser cursada en [[Plan de la Carrera#Tercer año|Tercer año]]. Es correlativa de [[Algoritmos y Estructuras de Datos II]], y es requerida para cursar [[Paradigmas de Lenguajes de Programación]] y [[Teoría de Lenguajes]].<br />
<br />
Esta materia se cursa los Miércoles y Viernes a partir de las 17 hs (durante el verano, de Lunes a Jueves)<br />
<br />
== Programa ==<br />
Abarca los temas de los capítulos 1 al 4 del libro "Computability, Complexity, and Languages" de Davis, Sigal y Weyuker<br />
<br />
<b><i>Temario Verano 2007:</i></b><br />
* <b>Computabilidad</b>: Lenguajes de programación. Macros. Recursión. Funciones primitivas recursivas. Predicados, operadores lógicos. Minimización. Codificación de Godel. Halting Problem, universalidad. Conjuntos recursivamente enumerables. Teoremas de la recursión, del punto fijo y de Rice.<br />
<br />
* <b>Lógica Proposicional </b>: Lenguaje. Semántica. Mecanismo Deductivo. Metateoremas para SP. Tableaux. Compacidad.<br />
<br />
* <b>Lógica de Primer Orden</b>: Lenguaje. Semántica. Sistema axiomático. Metateoremas. Indecidibilidad.<br />
<br />
== Contenidos ==<br />
Algunos teoremas vistos en la primera parte de la materia: (de logica)<br />
* [[Teorema de Completitud]]<br />
* [[Teorema de Compacidad]]<br />
* [[Teorema de la Deducción (semántico)]]<br />
<br />
== Prácticas (Verano) ==<br />
<b>Computabilidad</b><br />
* [[Práctica 1 (Computabilidad) | Práctica 1 - Funciones computables]]<br />
* [[Práctica 2 (Computabilidad) | Práctica 2 - Funciones primitivas recursivas]]<br />
* [[Práctica 3 (Computabilidad) | Práctica 3 - Teoría de Computabilidad]]<br />
<br />
<b>Logica</b><br />
* [[Práctica 4 (Logica) | Práctica 4 - Logica Proposicional]]<br />
* [[Práctica 5 (Logica) | Práctica 5 - Sistemas Deductivos y Compacidad]]<br />
* [[Práctica 6 (Logica) | Práctica 6 - Logica de Primer Orden]]<br />
* [[Práctica 7 (Logica) | Práctica 7 - Sistemas Deductivos, Completitud y Compacidad (1º Orden)]<br />
<br />
== Prácticas (Cuatrimestre) ==<br />
<br />
<b>Logica</b><br />
* [[Práctica 1 (Lógica y Computabilidad) | Práctica 1 - Lógica Proposicional]]<br />
* [[Práctica 2 (Lógica y Computabilidad) | Práctica 2 - Semantica del Cálculo Proposicional]]<br />
* [[Práctica 3 (Lógica y Computabilidad) | Práctica 3 - Consecuencia Lógica y Árboles]]<br />
* [[Práctica 4 (Lógica y Computabilidad) | Práctica 4 - Compacidad]]<br />
* [[Práctica 5 (Lógica y Computabilidad) | Práctica 5 - Cálculo de Predicados]]<br />
* [[Práctica 6 (Lógica y Computabilidad) | Práctica 6 - Árboles del Cálculo de Predicados]]<br />
<br />
<b>Computabilidad</b><br />
* [[Práctica 7 (Lógica y Computabilidad) | Práctica 7 - Computabilidad y Programas]]<br />
* [[Práctica 8 (Lógica y Computabilidad) | Práctica 8 - Funciones Primitivas Recursivas]]<br />
* [[Práctica 9 (Lógica y Computabilidad) | Práctica 9 - Recursividad]]<br />
<br />
== Parciales ==<br />
* [[Lógica y Computabilidad - Primer Parcial - 13.10.06 | Primer Parcial (13/10/06)]]<br />
<br />
== Bibliografía Recomendada ==<br />
*Davis, Martin D.; Sigal, Ron y Weyuker, Elaine J., ''Computability, complexity and languages: fundamentals of theoretical computer science'', San Diego: Academic Press, 1994 ('''Circulante 681 334 Davis''' en la [[Biblioteca Central]])<br />
*Mendelson, Elliot, ''Introduction to mathematical logic'', Princeton, N.J.: Van Nostrand, c1964 ('''Circulante 510 600 Mendelson''' en la [[Biblioteca Central]])<br />
<br />
== Enlaces externos ==<br />
*[http://www.dc.uba.ar/lyc/ Pagina Oficial de la Materia (Verano 2007)]<br />
*[http://cuba.exp.dc.uba.ar/files/Varios_Logica_Verano_2006.zip Apuntes y teóricas del curso de Verano 06, por Enrique Tobis]<br />
*[http://www.filefactory.com/file/57a2b1/ Bibliografía del curso de verano 2007 - ''Martin Davis - Computability, Complexity and Languages'']<br />
<br />
[[Category:Materias]]<br />
[[Category:Matemática]]<br />
[[Category:Computación]]</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_4_(LyC_Verano)&diff=3340Práctica 4 (LyC Verano)2007-02-26T17:17:25Z<p>201.216.244.41: /* Ejercicio 03 */</p>
<hr />
<div>== Ejercicio 01 ==<br />
<br>a) v(α) = v(¬p1) = 1<br />
<br>b) v(α) = v( (p5 ٧ 0) → 0 ) = v(p5 → 0) = v(p5) = ?<br />
<br>c) v(α) = v( (0 ٧ 0) → 0 ) = v(0 → 0) = 1<br />
<br>d) v(α) = v(¬p4) = ?<br />
<br>e) v(α) = v( (p8 → p5)→(p8 ٨ p0) ) = ?<br />
<br />
== Ejercicio 02 ==<br />
===a)===<br />
<br>1) v(α1) = 1 ↔ p1=0 ٧ p3=1 ٧ p1=1<br />
<br>2) v(α2) = 1 ↔ p2=1 ٧ (p3=0 ٨ p1=0)<br />
<br>3) v(α3) = 1 ↔ (p2=0 ٨ p3=0) ٧ (p2=1) ٧ (p5=0 ٧ p3=1)<br />
===b)===<br />
<br>1) Esto vale si pasa a.1) ٨ <br />
<math> (\forall j) pj \notin Var(\alpha1) \rightarrow pj=0 </math><br />
<br>2) Idem 1) para α2<br />
<br>3) Idem 1) para α3<br />
<br />
== Ejercicio 03 ==<br />
(Para simplificar, T=tautologia, F=contradiccion, C=contingencia)<br />
<br>a) v(α٨β)=1 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=1 ↔ α T y β T<br />
<br>b) v(α٧β)=0 ↔ ¬v(α)=1 ٨ ¬v(β)=1 ↔ v(α)=0 ٨ v(β)=0 ↔ α F y β F<br />
<br>c) v(α→β)=0 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=0 ↔ α T y β F<br />
<br>d)<br />
<br> ←) Si v(α)=0 ٧ v(β)=1 → v(α→β)=1<br />
<br> →) Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β F → v(α→β)=0 (ABS)<br />
*α T y β C → si v(β)=0 → v(α→β)=0 (ABS)<br />
*α C y β F → si v(α)=1 → v(α→β)=0 (ABS)<br />
*α C y β C → Sea el caso α=β → v(α→β)=1, pero <math> Var(\alpha) \cap Var(\beta) \neq \empty </math> (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 04 ==<br />
===a)===<br />
Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β T → v(α٨β)=1<br />
*α T y β F → v(α٨β)=0<br />
*α F y β T → v(α٨β)=0<br />
*α F y β F → v(α٨β)=0<br />
→ α٨β nunca es C (ABS)<br />
===b)===<br />
Sup que no. Hay 2 casos:<br />
*α٨β T → α T y β T<br />
*α٨β F → α F o β F<br />
→ α y β nunca son ambas C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 05 ==<br />
Pueden pasar 2 cosas: v(α)=0 ٨ v(pi)=1 o v(α)=1 ٨ v(pi)=0 → Vale si α=¬pi<br />
<br />
== Ejercicio 06 ==<br />
===a)===<br />
===b)===<br />
===c)===<br />
<br />
== Ejercicio 07 ==<br />
===a)===<br />
Definimos todos los conectivos en funcion a los elementos para cada conjunto:<br />
<br>1) {¬,٨,٧}<br />
* ¬p, p٨q, p٧q ya estan definidos<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>2) {¬,٨}<br />
* ¬p, p٨q ya estan definidos<br />
* p٧q = ¬(¬p ٨ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>3) {¬,٧}<br />
* ¬p, p٧q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(¬p ٧ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>4) {¬,→}<br />
* ¬p, p→q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(p → ¬q)<br />
* p٧q = ¬p → q<br />
===b)===<br />
<br> 1) {¬} Como α solo usa el ¬, α siempre sera contingencia<br />
<br> 2) {٧,٨} Sup que lo es. Sea f | f(p)=1 para todo p, y vf la valuacion que extiende a f. Usando induccion en complejidad de α:<br />
*Si α=p → vf(α)=vf(p)=1<br />
*Si α=p٧q → vf(α)=vf(p٧q)=max{vf(p),vf(q)}=max{1,1}=1<br />
*Si α=p٨q → vf(α)=vf(p٨q)=min{vf(p),vf(q)}=min{1,1}=1<br />
→ No es posible construir un α tq α=¬p, por lo que no hay un v | v(α)=0 → No es adecuado (ABS)<br />
<br> 3) {٧,→} Sale muy similar a 2), si tomamos<br />
*Si α=p→q → vf(α)=vf(p→q)=max{1-vf(p),vf(q)}=max{0,1}=1<br />
→ Volvemos a obtener un ABS<br />
<br />
== Ejercicio 08 ==<br />
===a)===<br />
<pre><br />
α β α|β α↓β<br />
1 1 0 0<br />
1 0 1 0<br />
0 1 1 0<br />
0 0 1 1<br />
</pre><br />
Como se puede ver, α|β equivale a NAND y α↓β a NOR.<br />
===b)===<br />
Definimos los conectivos:<br />
<br>Para {|}:<br />
*¬p = p|p<br />
*p٨q = ¬(p|q)<br />
*El resto sale ya que {¬,٨} es adecuado<br />
<br>Para {↓}:<br />
*¬p = p↓p<br />
*p٧q = ¬(p↓q)<br />
*El resto sale ya que {¬,٧} es adecuado<br />
<br />
===c)===<br />
<br />
== Ejercicio 09 ==<br />
===a)===<br />
*¬p = *1(p,p,p) = (p→(¬p ٨ p)) = p→0 = ¬p<br />
*p→q = *1(p,¬p,q) = (p→(¬¬p ٨ q)) = (p→(p ٨ q)) = p→q<br />
*El resto sale ya que {¬,→} es adecuado<br />
→ *1 es adecuado<br />
<br />
===b)===<br />
No es adecuado, ya que utiliza el conjunto {٨,→}, que tampoco lo es<br />
<br />
== Ejercicio 10 ==<br />
===a)===<br />
*p→q ya esta definido<br />
*¬p = p→F = ¬p<br />
*El resto sale ya que {¬,→} es adecuado<br />
→ {F,→} es adecuado<br />
<br />
===b)===<br />
No es adecuado (se prueba similar al ej. 7)<br />
<br />
== Ejercicio 11 ==<br />
===a)===<br />
<math><br />
\Gamma satisfacible \rightarrow (\exists v)(\forall p \in \Gamma) v(p)=1 \rightarrow (\forall p \in \Gamma') v(p)=1 \rightarrow \Gamma' satisfacible<br />
</math><br />
===b)===<br />
<br> ←) Con(Γ) es satisfacible y Γ <math>\subseteq</math> Con(Γ) ( ver 12.a ) → por a) Γ es satisfacible<br />
<br> →) Sea v valuacion que satisface Γ → por def. de Con(), v(α)=1 <math>\forall</math> α Є Con(Γ) → Con(Γ) es satisfacible<br />
<br />
== Ejercicio 12 ==<br />
===a)===<br />
Sea α Є Γ. Si v satisface a Γ, tambien satisface a α → α Є Con(Γ). Por lo tanto Γ <math>\subseteq</math> Con(Γ)<br />
===b)===<br />
Sea α Є Con(Γ1). Si v satisface a Γ2, tambien satisface a Γ1, luego a α → α Є Con(Γ2). Por lo tanto, Con(Γ1) <math>\subseteq</math> Con(Γ2)<br />
===c)===<br />
<br />
===d)===<br />
<br><math>\subseteq</math>) Sea α Є Con(Con(Γ)). Si v satisface a Con(Γ), tambien satisface a α. Si w satisface a Γ, tambien satisface a Con(Γ), luego a α → α Є Con(Γ). Por lo tanto Con(Con(Γ)) <math>\subseteq</math> Con(Γ)<br />
<br><math>\supseteq</math>) Vale usando a)<br />
<br>→ Con(Con(Γ))=Con(Γ)<br />
<br />
== Ejercicio 13 ==<br />
===a)===<br />
===b)===<br />
<br />
== Ejercicio 14 ==<br />
===a)===<br />
===b)===<br />
===c)===<br />
===d)===<br />
<br />
== Ejercicio 15 ==<br />
===a)===<br />
===b)===<br />
<br />
== Ejercicio 16 ==<br />
<br />
== Ejercicio 17 ==</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_4_(LyC_Verano)&diff=3339Práctica 4 (LyC Verano)2007-02-26T16:27:30Z<p>201.216.244.41: /* Ejercicio 06 */</p>
<hr />
<div>== Ejercicio 01 ==<br />
<br>a) v(α) = v(¬p1) = 1<br />
<br>b) v(α) = v( (p5 ٧ 0) → 0 ) = v(p5 → 0) = v(p5) = ?<br />
<br>c) v(α) = v( (0 ٧ 0) → 0 ) = v(0 → 0) = 1<br />
<br>d) v(α) = v(¬p4) = ?<br />
<br>e) v(α) = v( (p8 → p5)→(p8 ٨ p0) ) = ?<br />
<br />
== Ejercicio 02 ==<br />
===a)===<br />
<br>1) v(α1) = 1 ↔ p1=0 ٧ p3=1 ٧ p1=1<br />
<br>2) v(α2) = 1 ↔ p2=1 ٧ (p3=0 ٨ p1=0)<br />
<br>3) v(α3) = 1 ↔ (p2=0 ٨ p3=0) ٧ (p2=1) ٧ (p5=0 ٧ p3=1)<br />
===b)===<br />
<br>1) Esto vale si pasa a.1) ٨ <br />
<math> (\forall j) pj \notin Var(\alpha1) \rightarrow pj=0 </math><br />
<br>2) Idem 1) para α2<br />
<br>3) Idem 1) para α3<br />
<br />
== Ejercicio 03 ==<br />
(Para simplificar, T=tautologia, F=contradiccion, C=contingencia)<br />
<br>a) v(α٨β)=1 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=1 ↔ α T y β T<br />
<br>b) v(α٧β)=0 ↔ ¬v(α)=1 ٨ ¬v(β)=1 ↔ v(α)=0 ٨ v(β)=0 ↔ α F y β F<br />
<br>c) v(α→β)=0 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=0 ↔ α T y β F<br />
<br>d)<br />
<br> ←) Si v(α)=0 ٧ v(β)=1 → v(α→β)=1<br />
<br> →) Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β F → v(α→β)=0<br />
*α T y β C → si v(β)=0 → v(α→β)=0<br />
*α C y β F → si v(α)=1 → v(α→β)=0<br />
*α C y β C → Sea el caso α=β → v(α→β)=1, pero <math> Var(\alpha) \cap Var(\beta) \neq \empty </math> (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 04 ==<br />
===a)===<br />
Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β T → v(α٨β)=1<br />
*α T y β F → v(α٨β)=0<br />
*α F y β T → v(α٨β)=0<br />
*α F y β F → v(α٨β)=0<br />
→ α٨β nunca es C (ABS)<br />
===b)===<br />
Sup que no. Hay 2 casos:<br />
*α٨β T → α T y β T<br />
*α٨β F → α F o β F<br />
→ α y β nunca son ambas C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 05 ==<br />
Pueden pasar 2 cosas: v(α)=0 ٨ v(pi)=1 o v(α)=1 ٨ v(pi)=0 → Vale si α=¬pi<br />
<br />
== Ejercicio 06 ==<br />
===a)===<br />
===b)===<br />
===c)===<br />
<br />
== Ejercicio 07 ==<br />
===a)===<br />
Definimos todos los conectivos en funcion a los elementos para cada conjunto:<br />
<br>1) {¬,٨,٧}<br />
* ¬p, p٨q, p٧q ya estan definidos<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>2) {¬,٨}<br />
* ¬p, p٨q ya estan definidos<br />
* p٧q = ¬(¬p ٨ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>3) {¬,٧}<br />
* ¬p, p٧q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(¬p ٧ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>4) {¬,→}<br />
* ¬p, p→q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(p → ¬q)<br />
* p٧q = ¬p → q<br />
===b)===<br />
<br> 1) {¬} Como α solo usa el ¬, α siempre sera contingencia<br />
<br> 2) {٧,٨} Sup que lo es. Sea f | f(p)=1 para todo p, y vf la valuacion que extiende a f. Usando induccion en complejidad de α:<br />
*Si α=p → vf(α)=vf(p)=1<br />
*Si α=p٧q → vf(α)=vf(p٧q)=max{vf(p),vf(q)}=max{1,1}=1<br />
*Si α=p٨q → vf(α)=vf(p٨q)=min{vf(p),vf(q)}=min{1,1}=1<br />
→ No es posible construir un α tq α=¬p, por lo que no hay un v | v(α)=0 → No es adecuado (ABS)<br />
<br> 3) {٧,→} Sale muy similar a 2), si tomamos<br />
*Si α=p→q → vf(α)=vf(p→q)=max{1-vf(p),vf(q)}=max{0,1}=1<br />
→ Volvemos a obtener un ABS<br />
<br />
== Ejercicio 08 ==<br />
===a)===<br />
<pre><br />
α β α|β α↓β<br />
1 1 0 0<br />
1 0 1 0<br />
0 1 1 0<br />
0 0 1 1<br />
</pre><br />
Como se puede ver, α|β equivale a NAND y α↓β a NOR.<br />
===b)===<br />
Definimos los conectivos:<br />
<br>Para {|}:<br />
*¬p = p|p<br />
*p٨q = ¬(p|q)<br />
*El resto sale ya que {¬,٨} es adecuado<br />
<br>Para {↓}:<br />
*¬p = p↓p<br />
*p٧q = ¬(p↓q)<br />
*El resto sale ya que {¬,٧} es adecuado<br />
<br />
===c)===<br />
<br />
== Ejercicio 09 ==<br />
===a)===<br />
*¬p = *1(p,p,p) = (p→(¬p ٨ p)) = p→0 = ¬p<br />
*p→q = *1(p,¬p,q) = (p→(¬¬p ٨ q)) = (p→(p ٨ q)) = p→q<br />
*El resto sale ya que {¬,→} es adecuado<br />
→ *1 es adecuado<br />
<br />
===b)===<br />
No es adecuado, ya que utiliza el conjunto {٨,→}, que tampoco lo es<br />
<br />
== Ejercicio 10 ==<br />
===a)===<br />
*p→q ya esta definido<br />
*¬p = p→F = ¬p<br />
*El resto sale ya que {¬,→} es adecuado<br />
→ {F,→} es adecuado<br />
<br />
===b)===<br />
No es adecuado (se prueba similar al ej. 7)<br />
<br />
== Ejercicio 11 ==<br />
===a)===<br />
<math><br />
\Gamma satisfacible \rightarrow (\exists v)(\forall p \in \Gamma) v(p)=1 \rightarrow (\forall p \in \Gamma') v(p)=1 \rightarrow \Gamma' satisfacible<br />
</math><br />
===b)===<br />
<br> ←) Con(Γ) es satisfacible y Γ <math>\subseteq</math> Con(Γ) ( ver 12.a ) → por a) Γ es satisfacible<br />
<br> →) Sea v valuacion que satisface Γ → por def. de Con(), v(α)=1 <math>\forall</math> α Є Con(Γ) → Con(Γ) es satisfacible<br />
<br />
== Ejercicio 12 ==<br />
===a)===<br />
Sea α Є Γ. Si v satisface a Γ, tambien satisface a α → α Є Con(Γ). Por lo tanto Γ <math>\subseteq</math> Con(Γ)<br />
===b)===<br />
Sea α Є Con(Γ1). Si v satisface a Γ2, tambien satisface a Γ1, luego a α → α Є Con(Γ2). Por lo tanto, Con(Γ1) <math>\subseteq</math> Con(Γ2)<br />
===c)===<br />
<br />
===d)===<br />
<br><math>\subseteq</math>) Sea α Є Con(Con(Γ)). Si v satisface a Con(Γ), tambien satisface a α. Si w satisface a Γ, tambien satisface a Con(Γ), luego a α → α Є Con(Γ). Por lo tanto Con(Con(Γ)) <math>\subseteq</math> Con(Γ)<br />
<br><math>\supseteq</math>) Vale usando a)<br />
<br>→ Con(Con(Γ))=Con(Γ)<br />
<br />
== Ejercicio 13 ==<br />
===a)===<br />
===b)===<br />
<br />
== Ejercicio 14 ==<br />
===a)===<br />
===b)===<br />
===c)===<br />
===d)===<br />
<br />
== Ejercicio 15 ==<br />
===a)===<br />
===b)===<br />
<br />
== Ejercicio 16 ==<br />
<br />
== Ejercicio 17 ==</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_4_(LyC_Verano)&diff=3338Práctica 4 (LyC Verano)2007-02-26T16:25:53Z<p>201.216.244.41: </p>
<hr />
<div>== Ejercicio 01 ==<br />
<br>a) v(α) = v(¬p1) = 1<br />
<br>b) v(α) = v( (p5 ٧ 0) → 0 ) = v(p5 → 0) = v(p5) = ?<br />
<br>c) v(α) = v( (0 ٧ 0) → 0 ) = v(0 → 0) = 1<br />
<br>d) v(α) = v(¬p4) = ?<br />
<br>e) v(α) = v( (p8 → p5)→(p8 ٨ p0) ) = ?<br />
<br />
== Ejercicio 02 ==<br />
===a)===<br />
<br>1) v(α1) = 1 ↔ p1=0 ٧ p3=1 ٧ p1=1<br />
<br>2) v(α2) = 1 ↔ p2=1 ٧ (p3=0 ٨ p1=0)<br />
<br>3) v(α3) = 1 ↔ (p2=0 ٨ p3=0) ٧ (p2=1) ٧ (p5=0 ٧ p3=1)<br />
===b)===<br />
<br>1) Esto vale si pasa a.1) ٨ <br />
<math> (\forall j) pj \notin Var(\alpha1) \rightarrow pj=0 </math><br />
<br>2) Idem 1) para α2<br />
<br>3) Idem 1) para α3<br />
<br />
== Ejercicio 03 ==<br />
(Para simplificar, T=tautologia, F=contradiccion, C=contingencia)<br />
<br>a) v(α٨β)=1 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=1 ↔ α T y β T<br />
<br>b) v(α٧β)=0 ↔ ¬v(α)=1 ٨ ¬v(β)=1 ↔ v(α)=0 ٨ v(β)=0 ↔ α F y β F<br />
<br>c) v(α→β)=0 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=0 ↔ α T y β F<br />
<br>d)<br />
<br> ←) Si v(α)=0 ٧ v(β)=1 → v(α→β)=1<br />
<br> →) Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β F → v(α→β)=0<br />
*α T y β C → si v(β)=0 → v(α→β)=0<br />
*α C y β F → si v(α)=1 → v(α→β)=0<br />
*α C y β C → Sea el caso α=β → v(α→β)=1, pero <math> Var(\alpha) \cap Var(\beta) \neq \empty </math> (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 04 ==<br />
===a)===<br />
Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β T → v(α٨β)=1<br />
*α T y β F → v(α٨β)=0<br />
*α F y β T → v(α٨β)=0<br />
*α F y β F → v(α٨β)=0<br />
→ α٨β nunca es C (ABS)<br />
===b)===<br />
Sup que no. Hay 2 casos:<br />
*α٨β T → α T y β T<br />
*α٨β F → α F o β F<br />
→ α y β nunca son ambas C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 05 ==<br />
Pueden pasar 2 cosas: v(α)=0 ٨ v(pi)=1 o v(α)=1 ٨ v(pi)=0 → Vale si α=¬pi<br />
<br />
== Ejercicio 06 ==<br />
== Ejercicio 07 ==<br />
===a)===<br />
Definimos todos los conectivos en funcion a los elementos para cada conjunto:<br />
<br>1) {¬,٨,٧}<br />
* ¬p, p٨q, p٧q ya estan definidos<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>2) {¬,٨}<br />
* ¬p, p٨q ya estan definidos<br />
* p٧q = ¬(¬p ٨ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>3) {¬,٧}<br />
* ¬p, p٧q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(¬p ٧ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>4) {¬,→}<br />
* ¬p, p→q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(p → ¬q)<br />
* p٧q = ¬p → q<br />
===b)===<br />
<br> 1) {¬} Como α solo usa el ¬, α siempre sera contingencia<br />
<br> 2) {٧,٨} Sup que lo es. Sea f | f(p)=1 para todo p, y vf la valuacion que extiende a f. Usando induccion en complejidad de α:<br />
*Si α=p → vf(α)=vf(p)=1<br />
*Si α=p٧q → vf(α)=vf(p٧q)=max{vf(p),vf(q)}=max{1,1}=1<br />
*Si α=p٨q → vf(α)=vf(p٨q)=min{vf(p),vf(q)}=min{1,1}=1<br />
→ No es posible construir un α tq α=¬p, por lo que no hay un v | v(α)=0 → No es adecuado (ABS)<br />
<br> 3) {٧,→} Sale muy similar a 2), si tomamos<br />
*Si α=p→q → vf(α)=vf(p→q)=max{1-vf(p),vf(q)}=max{0,1}=1<br />
→ Volvemos a obtener un ABS<br />
<br />
== Ejercicio 08 ==<br />
===a)===<br />
<pre><br />
α β α|β α↓β<br />
1 1 0 0<br />
1 0 1 0<br />
0 1 1 0<br />
0 0 1 1<br />
</pre><br />
Como se puede ver, α|β equivale a NAND y α↓β a NOR.<br />
===b)===<br />
Definimos los conectivos:<br />
<br>Para {|}:<br />
*¬p = p|p<br />
*p٨q = ¬(p|q)<br />
*El resto sale ya que {¬,٨} es adecuado<br />
<br>Para {↓}:<br />
*¬p = p↓p<br />
*p٧q = ¬(p↓q)<br />
*El resto sale ya que {¬,٧} es adecuado<br />
<br />
===c)===<br />
<br />
== Ejercicio 09 ==<br />
===a)===<br />
*¬p = *1(p,p,p) = (p→(¬p ٨ p)) = p→0 = ¬p<br />
*p→q = *1(p,¬p,q) = (p→(¬¬p ٨ q)) = (p→(p ٨ q)) = p→q<br />
*El resto sale ya que {¬,→} es adecuado<br />
→ *1 es adecuado<br />
<br />
===b)===<br />
No es adecuado, ya que utiliza el conjunto {٨,→}, que tampoco lo es<br />
<br />
== Ejercicio 10 ==<br />
===a)===<br />
*p→q ya esta definido<br />
*¬p = p→F = ¬p<br />
*El resto sale ya que {¬,→} es adecuado<br />
→ {F,→} es adecuado<br />
<br />
===b)===<br />
No es adecuado (se prueba similar al ej. 7)<br />
<br />
== Ejercicio 11 ==<br />
===a)===<br />
<math><br />
\Gamma satisfacible \rightarrow (\exists v)(\forall p \in \Gamma) v(p)=1 \rightarrow (\forall p \in \Gamma') v(p)=1 \rightarrow \Gamma' satisfacible<br />
</math><br />
===b)===<br />
<br> ←) Con(Γ) es satisfacible y Γ <math>\subseteq</math> Con(Γ) ( ver 12.a ) → por a) Γ es satisfacible<br />
<br> →) Sea v valuacion que satisface Γ → por def. de Con(), v(α)=1 <math>\forall</math> α Є Con(Γ) → Con(Γ) es satisfacible<br />
<br />
== Ejercicio 12 ==<br />
===a)===<br />
Sea α Є Γ. Si v satisface a Γ, tambien satisface a α → α Є Con(Γ). Por lo tanto Γ <math>\subseteq</math> Con(Γ)<br />
===b)===<br />
Sea α Є Con(Γ1). Si v satisface a Γ2, tambien satisface a Γ1, luego a α → α Є Con(Γ2). Por lo tanto, Con(Γ1) <math>\subseteq</math> Con(Γ2)<br />
===c)===<br />
<br />
===d)===<br />
<br><math>\subseteq</math>) Sea α Є Con(Con(Γ)). Si v satisface a Con(Γ), tambien satisface a α. Si w satisface a Γ, tambien satisface a Con(Γ), luego a α → α Є Con(Γ). Por lo tanto Con(Con(Γ)) <math>\subseteq</math> Con(Γ)<br />
<br><math>\supseteq</math>) Vale usando a)<br />
<br>→ Con(Con(Γ))=Con(Γ)<br />
<br />
== Ejercicio 13 ==<br />
===a)===<br />
===b)===<br />
<br />
== Ejercicio 14 ==<br />
===a)===<br />
===b)===<br />
===c)===<br />
===d)===<br />
<br />
== Ejercicio 15 ==<br />
===a)===<br />
===b)===<br />
<br />
== Ejercicio 16 ==<br />
<br />
== Ejercicio 17 ==</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_4_(LyC_Verano)&diff=3337Práctica 4 (LyC Verano)2007-02-26T16:24:10Z<p>201.216.244.41: </p>
<hr />
<div><p class="unicode"><br />
== Ejercicio 01 ==<br />
<br>a) v(α) = v(¬p1) = 1<br />
<br>b) v(α) = v( (p5 ٧ 0) → 0 ) = v(p5 → 0) = v(p5) = ?<br />
<br>c) v(α) = v( (0 ٧ 0) → 0 ) = v(0 → 0) = 1<br />
<br>d) v(α) = v(¬p4) = ?<br />
<br>e) v(α) = v( (p8 → p5)→(p8 ٨ p0) ) = ?<br />
<br />
== Ejercicio 02 ==<br />
===a)===<br />
<br>1) v(α1) = 1 ↔ p1=0 ٧ p3=1 ٧ p1=1<br />
<br>2) v(α2) = 1 ↔ p2=1 ٧ (p3=0 ٨ p1=0)<br />
<br>3) v(α3) = 1 ↔ (p2=0 ٨ p3=0) ٧ (p2=1) ٧ (p5=0 ٧ p3=1)<br />
===b)===<br />
<br>1) Esto vale si pasa a.1) ٨ <br />
<math> (\forall j) pj \notin Var(\alpha1) \rightarrow pj=0 </math><br />
<br>2) Idem 1) para α2<br />
<br>3) Idem 1) para α3<br />
<br />
== Ejercicio 03 ==<br />
(Para simplificar, T=tautologia, F=contradiccion, C=contingencia)<br />
<br>a) v(α٨β)=1 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=1 ↔ α T y β T<br />
<br>b) v(α٧β)=0 ↔ ¬v(α)=1 ٨ ¬v(β)=1 ↔ v(α)=0 ٨ v(β)=0 ↔ α F y β F<br />
<br>c) v(α→β)=0 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=0 ↔ α T y β F<br />
<br>d)<br />
<br> ←) Si v(α)=0 ٧ v(β)=1 → v(α→β)=1<br />
<br> →) Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β F → v(α→β)=0<br />
*α T y β C → si v(β)=0 → v(α→β)=0<br />
*α C y β F → si v(α)=1 → v(α→β)=0<br />
*α C y β C → Sea el caso α=β → v(α→β)=1, pero <math> Var(\alpha) \cap Var(\beta) \neq \empty </math> (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 04 ==<br />
===a)===<br />
Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β T → v(α٨β)=1<br />
*α T y β F → v(α٨β)=0<br />
*α F y β T → v(α٨β)=0<br />
*α F y β F → v(α٨β)=0<br />
→ α٨β nunca es C (ABS)<br />
===b)===<br />
Sup que no. Hay 2 casos:<br />
*α٨β T → α T y β T<br />
*α٨β F → α F o β F<br />
→ α y β nunca son ambas C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 05 ==<br />
Pueden pasar 2 cosas: v(α)=0 ٨ v(pi)=1 o v(α)=1 ٨ v(pi)=0 → Vale si α=¬pi<br />
<br />
== Ejercicio 06 ==<br />
== Ejercicio 07 ==<br />
===a)===<br />
Definimos todos los conectivos en funcion a los elementos para cada conjunto:<br />
<br>1) {¬,٨,٧}<br />
* ¬p, p٨q, p٧q ya estan definidos<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>2) {¬,٨}<br />
* ¬p, p٨q ya estan definidos<br />
* p٧q = ¬(¬p ٨ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>3) {¬,٧}<br />
* ¬p, p٧q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(¬p ٧ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>4) {¬,→}<br />
* ¬p, p→q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(p → ¬q)<br />
* p٧q = ¬p → q<br />
===b)===<br />
<br> 1) {¬} Como α solo usa el ¬, α siempre sera contingencia<br />
<br> 2) {٧,٨} Sup que lo es. Sea f | f(p)=1 para todo p, y vf la valuacion que extiende a f. Usando induccion en complejidad de α:<br />
*Si α=p → vf(α)=vf(p)=1<br />
*Si α=p٧q → vf(α)=vf(p٧q)=max{vf(p),vf(q)}=max{1,1}=1<br />
*Si α=p٨q → vf(α)=vf(p٨q)=min{vf(p),vf(q)}=min{1,1}=1<br />
→ No es posible construir un α tq α=¬p, por lo que no hay un v | v(α)=0 → No es adecuado (ABS)<br />
<br> 3) {٧,→} Sale muy similar a 2), si tomamos<br />
*Si α=p→q → vf(α)=vf(p→q)=max{1-vf(p),vf(q)}=max{0,1}=1<br />
→ Volvemos a obtener un ABS<br />
<br />
== Ejercicio 08 ==<br />
===a)===<br />
<pre><br />
α β α|β α↓β<br />
1 1 0 0<br />
1 0 1 0<br />
0 1 1 0<br />
0 0 1 1<br />
</pre><br />
Como se puede ver, α|β equivale a NAND y α↓β a NOR.<br />
===b)===<br />
Definimos los conectivos:<br />
<br>Para {|}:<br />
*¬p = p|p<br />
*p٨q = ¬(p|q)<br />
*El resto sale ya que {¬,٨} es adecuado<br />
<br>Para {↓}:<br />
*¬p = p↓p<br />
*p٧q = ¬(p↓q)<br />
*El resto sale ya que {¬,٧} es adecuado<br />
<br />
===c)===<br />
<br />
== Ejercicio 09 ==<br />
===a)===<br />
*¬p = *1(p,p,p) = (p→(¬p ٨ p)) = p→0 = ¬p<br />
*p→q = *1(p,¬p,q) = (p→(¬¬p ٨ q)) = (p→(p ٨ q)) = p→q<br />
*El resto sale ya que {¬,→} es adecuado<br />
→ *1 es adecuado<br />
<br />
===b)===<br />
No es adecuado, ya que utiliza el conjunto {٨,→}, que tampoco lo es<br />
<br />
== Ejercicio 10 ==<br />
===a)===<br />
*p→q ya esta definido<br />
*¬p = p→F = ¬p<br />
*El resto sale ya que {¬,→} es adecuado<br />
→ {F,→} es adecuado<br />
<br />
===b)===<br />
No es adecuado (se prueba similar al ej. 7)<br />
<br />
== Ejercicio 11 ==<br />
===a)===<br />
<math><br />
\Gamma satisfacible \rightarrow (\exists v)(\forall p \in \Gamma) v(p)=1 \rightarrow (\forall p \in \Gamma') v(p)=1 \rightarrow \Gamma' satisfacible<br />
</math><br />
===b)===<br />
<br> ←) Con(Γ) es satisfacible y Γ <math>\subseteq</math> Con(Γ) ( ver 12.a ) → por a) Γ es satisfacible<br />
<br> →) Sea v valuacion que satisface Γ → por def. de Con(), v(α)=1 <math>\forall</math> α Є Con(Γ) → Con(Γ) es satisfacible<br />
<br />
== Ejercicio 12 ==<br />
===a)===<br />
Sea α Є Γ. Si v satisface a Γ, tambien satisface a α → α Є Con(Γ). Por lo tanto Γ <math>\subseteq</math> Con(Γ)<br />
===b)===<br />
Sea α Є Con(Γ1). Si v satisface a Γ2, tambien satisface a Γ1, luego a α → α Є Con(Γ2). Por lo tanto, Con(Γ1) <math>\subseteq</math> Con(Γ2)<br />
===c)===<br />
<br />
===d)===<br />
<br><math>\subseteq</math>) Sea α Є Con(Con(Γ)). Si v satisface a Con(Γ), tambien satisface a α. Si w satisface a Γ, tambien satisface a Con(Γ), luego a α → α Є Con(Γ). Por lo tanto Con(Con(Γ)) <math>\subseteq</math> Con(Γ)<br />
<br><math>\supseteq</math>) Vale usando a)<br />
<br>→ Con(Con(Γ))=Con(Γ)<br />
<br />
== Ejercicio 13 ==<br />
===a)===<br />
===b)===<br />
<br />
== Ejercicio 14 ==<br />
===a)===<br />
===b)===<br />
===c)===<br />
===d)===<br />
<br />
== Ejercicio 15 ==<br />
===a)===<br />
===b)===<br />
<br />
== Ejercicio 16 ==<br />
<br />
== Ejercicio 17 ==</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_4_(LyC_Verano)&diff=3336Práctica 4 (LyC Verano)2007-02-26T16:15:46Z<p>201.216.244.41: /* Ejercicio 12 */</p>
<hr />
<div>== Ejercicio 01 ==<br />
<br>a) v(α) = v(¬p1) = 1<br />
<br>b) v(α) = v( (p5 ٧ 0) → 0 ) = v(p5 → 0) = v(p5) = ?<br />
<br>c) v(α) = v( (0 ٧ 0) → 0 ) = v(0 → 0) = 1<br />
<br>d) v(α) = v(¬p4) = ?<br />
<br>e) v(α) = v( (p8 → p5)→(p8 ٨ p0) ) = ?<br />
<br />
== Ejercicio 02 ==<br />
===a)===<br />
<br>1) v(α1) = 1 ↔ p1=0 ٧ p3=1 ٧ p1=1<br />
<br>2) v(α2) = 1 ↔ p2=1 ٧ (p3=0 ٨ p1=0)<br />
<br>3) v(α3) = 1 ↔ (p2=0 ٨ p3=0) ٧ (p2=1) ٧ (p5=0 ٧ p3=1)<br />
===b)===<br />
<br>1) Esto vale si pasa a.1) ٨ <br />
<math> (\forall j) pj \notin Var(\alpha1) \rightarrow pj=0 </math><br />
<br>2) Idem 1) para α2<br />
<br>3) Idem 1) para α3<br />
<br />
== Ejercicio 03 ==<br />
(Para simplificar, T=tautologia, F=contradiccion, C=contingencia)<br />
<br>a) v(α٨β)=1 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=1 ↔ α T y β T<br />
<br>b) v(α٧β)=0 ↔ ¬v(α)=1 ٨ ¬v(β)=1 ↔ v(α)=0 ٨ v(β)=0 ↔ α F y β F<br />
<br>c) v(α→β)=0 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=0 ↔ α T y β F<br />
<br>d)<br />
<br> ←) Si v(α)=0 ٧ v(β)=1 → v(α→β)=1<br />
<br> →) Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β F → v(α→β)=0<br />
*α T y β C → si v(β)=0 → v(α→β)=0<br />
*α C y β F → si v(α)=1 → v(α→β)=0<br />
*α C y β C → Sea el caso α=β → v(α→β)=1, pero <math> Var(\alpha) \cap Var(\beta) \neq \empty </math> (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 04 ==<br />
===a)===<br />
Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β T → v(α٨β)=1<br />
*α T y β F → v(α٨β)=0<br />
*α F y β T → v(α٨β)=0<br />
*α F y β F → v(α٨β)=0<br />
→ α٨β nunca es C (ABS)<br />
===b)===<br />
Sup que no. Hay 2 casos:<br />
*α٨β T → α T y β T<br />
*α٨β F → α F o β F<br />
→ α y β nunca son ambas C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 05 ==<br />
Pueden pasar 2 cosas: v(α)=0 ٨ v(pi)=1 o v(α)=1 ٨ v(pi)=0 → Vale si α=¬pi<br />
<br />
== Ejercicio 06 ==<br />
== Ejercicio 07 ==<br />
===a)===<br />
Definimos todos los conectivos en funcion a los elementos para cada conjunto:<br />
<br>1) {¬,٨,٧}<br />
* ¬p, p٨q, p٧q ya estan definidos<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>2) {¬,٨}<br />
* ¬p, p٨q ya estan definidos<br />
* p٧q = ¬(¬p ٨ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>3) {¬,٧}<br />
* ¬p, p٧q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(¬p ٧ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>4) {¬,→}<br />
* ¬p, p→q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(p → ¬q)<br />
* p٧q = ¬p → q<br />
===b)===<br />
<br> 1) {¬} Como α solo usa el ¬, α siempre sera contingencia<br />
<br> 2) {٧,٨} Sup que lo es. Sea f | f(p)=1 para todo p, y vf la valuacion que extiende a f. Usando induccion en complejidad de α:<br />
*Si α=p → vf(α)=vf(p)=1<br />
*Si α=p٧q → vf(α)=vf(p٧q)=max{vf(p),vf(q)}=max{1,1}=1<br />
*Si α=p٨q → vf(α)=vf(p٨q)=min{vf(p),vf(q)}=min{1,1}=1<br />
→ No es posible construir un α tq α=¬p, por lo que no hay un v | v(α)=0 → No es adecuado (ABS)<br />
<br> 3) {٧,→} Sale muy similar a 2), si tomamos<br />
*Si α=p→q → vf(α)=vf(p→q)=max{1-vf(p),vf(q)}=max{0,1}=1<br />
→ Volvemos a obtener un ABS<br />
<br />
== Ejercicio 08 ==<br />
===a)===<br />
<pre><br />
α β α|β α↓β<br />
1 1 0 0<br />
1 0 1 0<br />
0 1 1 0<br />
0 0 1 1<br />
</pre><br />
Como se puede ver, α|β equivale a NAND y α↓β a NOR.<br />
===b)===<br />
Definimos los conectivos:<br />
<br>Para {|}:<br />
*¬p = p|p<br />
*p٨q = ¬(p|q)<br />
*El resto sale ya que {¬,٨} es adecuado<br />
<br>Para {↓}:<br />
*¬p = p↓p<br />
*p٧q = ¬(p↓q)<br />
*El resto sale ya que {¬,٧} es adecuado<br />
<br />
===c)===<br />
<br />
== Ejercicio 09 ==<br />
===a)===<br />
*¬p = *1(p,p,p) = (p→(¬p ٨ p)) = p→0 = ¬p<br />
*p→q = *1(p,¬p,q) = (p→(¬¬p ٨ q)) = (p→(p ٨ q)) = p→q<br />
*El resto sale ya que {¬,→} es adecuado<br />
→ *1 es adecuado<br />
<br />
===b)===<br />
No es adecuado, ya que utiliza el conjunto {٨,→}, que tampoco lo es<br />
<br />
== Ejercicio 10 ==<br />
===a)===<br />
*p→q ya esta definido<br />
*¬p = p→F = ¬p<br />
*El resto sale ya que {¬,→} es adecuado<br />
→ {F,→} es adecuado<br />
<br />
===b)===<br />
No es adecuado (se prueba similar al ej. 7)<br />
<br />
== Ejercicio 11 ==<br />
===a)===<br />
<math><br />
\Gamma satisfacible \rightarrow (\exists v)(\forall p \in \Gamma) v(p)=1 \rightarrow (\forall p \in \Gamma') v(p)=1 \rightarrow \Gamma' satisfacible<br />
</math><br />
===b)===<br />
<br> ←) Con(Γ) es satisfacible y Γ <math>\subseteq</math> Con(Γ) ( ver 12.a ) → por a) Γ es satisfacible<br />
<br> →) Sea v valuacion que satisface Γ → por def. de Con(), v(α)=1 <math>\forall</math> α Є Con(Γ) → Con(Γ) es satisfacible<br />
<br />
== Ejercicio 12 ==<br />
===a)===<br />
Sea α Є Γ. Si v satisface a Γ, tambien satisface a α → α Є Con(Γ). Por lo tanto Γ <math>\subseteq</math> Con(Γ)<br />
===b)===<br />
Sea α Є Con(Γ1). Si v satisface a Γ2, tambien satisface a Γ1, luego a α → α Є Con(Γ2). Por lo tanto, Con(Γ1) <math>\subseteq</math> Con(Γ2)<br />
===c)===<br />
<br />
===d)===<br />
<br><math>\subseteq</math>) Sea α Є Con(Con(Γ)). Si v satisface a Con(Γ), tambien satisface a α. Si w satisface a Γ, tambien satisface a Con(Γ), luego a α → α Є Con(Γ). Por lo tanto Con(Con(Γ)) <math>\subseteq</math> Con(Γ)<br />
<br><math>\supseteq</math>) Vale usando a)<br />
<br>→ Con(Con(Γ))=Con(Γ)<br />
<br />
== Ejercicio 13 ==<br />
===a)===<br />
===b)===<br />
<br />
== Ejercicio 14 ==<br />
===a)===<br />
===b)===<br />
===c)===<br />
===d)===<br />
<br />
== Ejercicio 15 ==<br />
===a)===<br />
===b)===<br />
<br />
== Ejercicio 16 ==<br />
<br />
== Ejercicio 17 ==</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_4_(LyC_Verano)&diff=3335Práctica 4 (LyC Verano)2007-02-26T16:12:59Z<p>201.216.244.41: /* b) */</p>
<hr />
<div>== Ejercicio 01 ==<br />
<br>a) v(α) = v(¬p1) = 1<br />
<br>b) v(α) = v( (p5 ٧ 0) → 0 ) = v(p5 → 0) = v(p5) = ?<br />
<br>c) v(α) = v( (0 ٧ 0) → 0 ) = v(0 → 0) = 1<br />
<br>d) v(α) = v(¬p4) = ?<br />
<br>e) v(α) = v( (p8 → p5)→(p8 ٨ p0) ) = ?<br />
<br />
== Ejercicio 02 ==<br />
===a)===<br />
<br>1) v(α1) = 1 ↔ p1=0 ٧ p3=1 ٧ p1=1<br />
<br>2) v(α2) = 1 ↔ p2=1 ٧ (p3=0 ٨ p1=0)<br />
<br>3) v(α3) = 1 ↔ (p2=0 ٨ p3=0) ٧ (p2=1) ٧ (p5=0 ٧ p3=1)<br />
===b)===<br />
<br>1) Esto vale si pasa a.1) ٨ <br />
<math> (\forall j) pj \notin Var(\alpha1) \rightarrow pj=0 </math><br />
<br>2) Idem 1) para α2<br />
<br>3) Idem 1) para α3<br />
<br />
== Ejercicio 03 ==<br />
(Para simplificar, T=tautologia, F=contradiccion, C=contingencia)<br />
<br>a) v(α٨β)=1 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=1 ↔ α T y β T<br />
<br>b) v(α٧β)=0 ↔ ¬v(α)=1 ٨ ¬v(β)=1 ↔ v(α)=0 ٨ v(β)=0 ↔ α F y β F<br />
<br>c) v(α→β)=0 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=0 ↔ α T y β F<br />
<br>d)<br />
<br> ←) Si v(α)=0 ٧ v(β)=1 → v(α→β)=1<br />
<br> →) Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β F → v(α→β)=0<br />
*α T y β C → si v(β)=0 → v(α→β)=0<br />
*α C y β F → si v(α)=1 → v(α→β)=0<br />
*α C y β C → Sea el caso α=β → v(α→β)=1, pero <math> Var(\alpha) \cap Var(\beta) \neq \empty </math> (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 04 ==<br />
===a)===<br />
Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β T → v(α٨β)=1<br />
*α T y β F → v(α٨β)=0<br />
*α F y β T → v(α٨β)=0<br />
*α F y β F → v(α٨β)=0<br />
→ α٨β nunca es C (ABS)<br />
===b)===<br />
Sup que no. Hay 2 casos:<br />
*α٨β T → α T y β T<br />
*α٨β F → α F o β F<br />
→ α y β nunca son ambas C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 05 ==<br />
Pueden pasar 2 cosas: v(α)=0 ٨ v(pi)=1 o v(α)=1 ٨ v(pi)=0 → Vale si α=¬pi<br />
<br />
== Ejercicio 06 ==<br />
== Ejercicio 07 ==<br />
===a)===<br />
Definimos todos los conectivos en funcion a los elementos para cada conjunto:<br />
<br>1) {¬,٨,٧}<br />
* ¬p, p٨q, p٧q ya estan definidos<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>2) {¬,٨}<br />
* ¬p, p٨q ya estan definidos<br />
* p٧q = ¬(¬p ٨ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>3) {¬,٧}<br />
* ¬p, p٧q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(¬p ٧ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>4) {¬,→}<br />
* ¬p, p→q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(p → ¬q)<br />
* p٧q = ¬p → q<br />
===b)===<br />
<br> 1) {¬} Como α solo usa el ¬, α siempre sera contingencia<br />
<br> 2) {٧,٨} Sup que lo es. Sea f | f(p)=1 para todo p, y vf la valuacion que extiende a f. Usando induccion en complejidad de α:<br />
*Si α=p → vf(α)=vf(p)=1<br />
*Si α=p٧q → vf(α)=vf(p٧q)=max{vf(p),vf(q)}=max{1,1}=1<br />
*Si α=p٨q → vf(α)=vf(p٨q)=min{vf(p),vf(q)}=min{1,1}=1<br />
→ No es posible construir un α tq α=¬p, por lo que no hay un v | v(α)=0 → No es adecuado (ABS)<br />
<br> 3) {٧,→} Sale muy similar a 2), si tomamos<br />
*Si α=p→q → vf(α)=vf(p→q)=max{1-vf(p),vf(q)}=max{0,1}=1<br />
→ Volvemos a obtener un ABS<br />
<br />
== Ejercicio 08 ==<br />
===a)===<br />
<pre><br />
α β α|β α↓β<br />
1 1 0 0<br />
1 0 1 0<br />
0 1 1 0<br />
0 0 1 1<br />
</pre><br />
Como se puede ver, α|β equivale a NAND y α↓β a NOR.<br />
===b)===<br />
Definimos los conectivos:<br />
<br>Para {|}:<br />
*¬p = p|p<br />
*p٨q = ¬(p|q)<br />
*El resto sale ya que {¬,٨} es adecuado<br />
<br>Para {↓}:<br />
*¬p = p↓p<br />
*p٧q = ¬(p↓q)<br />
*El resto sale ya que {¬,٧} es adecuado<br />
<br />
===c)===<br />
<br />
== Ejercicio 09 ==<br />
===a)===<br />
*¬p = *1(p,p,p) = (p→(¬p ٨ p)) = p→0 = ¬p<br />
*p→q = *1(p,¬p,q) = (p→(¬¬p ٨ q)) = (p→(p ٨ q)) = p→q<br />
*El resto sale ya que {¬,→} es adecuado<br />
→ *1 es adecuado<br />
<br />
===b)===<br />
No es adecuado, ya que utiliza el conjunto {٨,→}, que tampoco lo es<br />
<br />
== Ejercicio 10 ==<br />
===a)===<br />
*p→q ya esta definido<br />
*¬p = p→F = ¬p<br />
*El resto sale ya que {¬,→} es adecuado<br />
→ {F,→} es adecuado<br />
<br />
===b)===<br />
No es adecuado (se prueba similar al ej. 7)<br />
<br />
== Ejercicio 11 ==<br />
===a)===<br />
<math><br />
\Gamma satisfacible \rightarrow (\exists v)(\forall p \in \Gamma) v(p)=1 \rightarrow (\forall p \in \Gamma') v(p)=1 \rightarrow \Gamma' satisfacible<br />
</math><br />
===b)===<br />
<br> ←) Con(Γ) es satisfacible y Γ <math>\subseteq</math> Con(Γ) ( ver 12.a ) → por a) Γ es satisfacible<br />
<br> →) Sea v valuacion que satisface Γ → por def. de Con(), v(α)=1 <math>\forall</math> α Є Con(Γ) → Con(Γ) es satisfacible<br />
<br />
== Ejercicio 12 ==<br />
===a)===<br />
Sea α Є Γ. Si v satisface a Γ, tambien satisface a α → α Є Con(Γ). Por lo tanto Γ ≤ Con(Γ)<br />
===b)===<br />
Sea α Є Con(Γ1). Si v satisface a Γ2, tambien satisface a Γ1, luego a α → α Є Con(Γ2). Por lo tanto, Con(Γ1) ≤ Con(Γ2)<br />
===c)===<br />
<br />
===d)===<br />
<br>≤) Sea α Є Con(Con(Γ)). Si v satisface a Con(Γ), tambien satisface a α. Si w satisface a Γ, tambien satisface a Con(Γ), luego a α → α Є Con(Γ). Por lo tanto Con(Con(Γ)) ≤ Con(Γ)<br />
<br>≥) Vale usando a)<br />
<br>→ Con(Con(Γ))=Con(Γ)<br />
<br />
== Ejercicio 13 ==<br />
===a)===<br />
===b)===<br />
<br />
== Ejercicio 14 ==<br />
===a)===<br />
===b)===<br />
===c)===<br />
===d)===<br />
<br />
== Ejercicio 15 ==<br />
===a)===<br />
===b)===<br />
<br />
== Ejercicio 16 ==<br />
<br />
== Ejercicio 17 ==</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_4_(LyC_Verano)&diff=3334Práctica 4 (LyC Verano)2007-02-26T14:59:47Z<p>201.216.244.41: /* Ejercicio 12 */</p>
<hr />
<div>== Ejercicio 01 ==<br />
<br>a) v(α) = v(¬p1) = 1<br />
<br>b) v(α) = v( (p5 ٧ 0) → 0 ) = v(p5 → 0) = v(p5) = ?<br />
<br>c) v(α) = v( (0 ٧ 0) → 0 ) = v(0 → 0) = 1<br />
<br>d) v(α) = v(¬p4) = ?<br />
<br>e) v(α) = v( (p8 → p5)→(p8 ٨ p0) ) = ?<br />
<br />
== Ejercicio 02 ==<br />
===a)===<br />
<br>1) v(α1) = 1 ↔ p1=0 ٧ p3=1 ٧ p1=1<br />
<br>2) v(α2) = 1 ↔ p2=1 ٧ (p3=0 ٨ p1=0)<br />
<br>3) v(α3) = 1 ↔ (p2=0 ٨ p3=0) ٧ (p2=1) ٧ (p5=0 ٧ p3=1)<br />
===b)===<br />
<br>1) Esto vale si pasa a.1) ٨ <br />
<math> (\forall j) pj \notin Var(\alpha1) \rightarrow pj=0 </math><br />
<br>2) Idem 1) para α2<br />
<br>3) Idem 1) para α3<br />
<br />
== Ejercicio 03 ==<br />
(Para simplificar, T=tautologia, F=contradiccion, C=contingencia)<br />
<br>a) v(α٨β)=1 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=1 ↔ α T y β T<br />
<br>b) v(α٧β)=0 ↔ ¬v(α)=1 ٨ ¬v(β)=1 ↔ v(α)=0 ٨ v(β)=0 ↔ α F y β F<br />
<br>c) v(α→β)=0 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=0 ↔ α T y β F<br />
<br>d)<br />
<br> ←) Si v(α)=0 ٧ v(β)=1 → v(α→β)=1<br />
<br> →) Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β F → v(α→β)=0<br />
*α T y β C → si v(β)=0 → v(α→β)=0<br />
*α C y β F → si v(α)=1 → v(α→β)=0<br />
*α C y β C → Sea el caso α=β → v(α→β)=1, pero <math> Var(\alpha) \cap Var(\beta) \neq \empty </math> (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 04 ==<br />
===a)===<br />
Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β T → v(α٨β)=1<br />
*α T y β F → v(α٨β)=0<br />
*α F y β T → v(α٨β)=0<br />
*α F y β F → v(α٨β)=0<br />
→ α٨β nunca es C (ABS)<br />
===b)===<br />
Sup que no. Hay 2 casos:<br />
*α٨β T → α T y β T<br />
*α٨β F → α F o β F<br />
→ α y β nunca son ambas C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 05 ==<br />
Pueden pasar 2 cosas: v(α)=0 ٨ v(pi)=1 o v(α)=1 ٨ v(pi)=0 → Vale si α=¬pi<br />
<br />
== Ejercicio 06 ==<br />
== Ejercicio 07 ==<br />
===a)===<br />
Definimos todos los conectivos en funcion a los elementos para cada conjunto:<br />
<br>1) {¬,٨,٧}<br />
* ¬p, p٨q, p٧q ya estan definidos<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>2) {¬,٨}<br />
* ¬p, p٨q ya estan definidos<br />
* p٧q = ¬(¬p ٨ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>3) {¬,٧}<br />
* ¬p, p٧q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(¬p ٧ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>4) {¬,→}<br />
* ¬p, p→q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(p → ¬q)<br />
* p٧q = ¬p → q<br />
===b)===<br />
<br> 1) {¬} Como α solo usa el ¬, α siempre sera contingencia<br />
<br> 2) {٧,٨} Sup que lo es. Sea f | f(p)=1 para todo p, y vf la valuacion que extiende a f. Usando induccion en complejidad de α:<br />
*Si α=p → vf(α)=vf(p)=1<br />
*Si α=p٧q → vf(α)=vf(p٧q)=max{vf(p),vf(q)}=max{1,1}=1<br />
*Si α=p٨q → vf(α)=vf(p٨q)=min{vf(p),vf(q)}=min{1,1}=1<br />
→ No es posible construir un α tq α=¬p, por lo que no hay un v | v(α)=0 → No es adecuado (ABS)<br />
<br> 3) {٧,→} Sale muy similar a 2), si tomamos<br />
*Si α=p→q → vf(α)=vf(p→q)=max{1-vf(p),vf(q)}=max{0,1}=1<br />
→ Volvemos a obtener un ABS<br />
<br />
== Ejercicio 08 ==<br />
===a)===<br />
<pre><br />
α β α|β α↓β<br />
1 1 0 0<br />
1 0 1 0<br />
0 1 1 0<br />
0 0 1 1<br />
</pre><br />
Como se puede ver, α|β equivale a NAND y α↓β a NOR.<br />
===b)===<br />
Definimos los conectivos:<br />
<br>Para {|}:<br />
*¬p = p|p<br />
*p٨q = ¬(p|q)<br />
*El resto sale ya que {¬,٨} es adecuado<br />
<br>Para {↓}:<br />
*¬p = p↓p<br />
*p٧q = ¬(p↓q)<br />
*El resto sale ya que {¬,٧} es adecuado<br />
<br />
===c)===<br />
<br />
== Ejercicio 09 ==<br />
===a)===<br />
*¬p = *1(p,p,p) = (p→(¬p ٨ p)) = p→0 = ¬p<br />
*p→q = *1(p,¬p,q) = (p→(¬¬p ٨ q)) = (p→(p ٨ q)) = p→q<br />
*El resto sale ya que {¬,→} es adecuado<br />
→ *1 es adecuado<br />
<br />
===b)===<br />
No es adecuado, ya que utiliza el conjunto {٨,→}, que tampoco lo es<br />
<br />
== Ejercicio 10 ==<br />
===a)===<br />
*p→q ya esta definido<br />
*¬p = p→F = ¬p<br />
*El resto sale ya que {¬,→} es adecuado<br />
→ {F,→} es adecuado<br />
<br />
===b)===<br />
No es adecuado (se prueba similar al ej. 7)<br />
<br />
== Ejercicio 11 ==<br />
===a)===<br />
<math><br />
\Gamma satisfacible \rightarrow (\exists v)(\forall p \in \Gamma) v(p)=1 \rightarrow (\forall p \in \Gamma') v(p)=1 \rightarrow \Gamma' satisfacible<br />
</math><br />
===b)===<br />
<br> ←) Con(Γ) es satisfacible y Γ <math>\subseteq</math> Con(Γ) (ver 12a) → por a) Γ es satisfacible<br />
<br> →) Sea v valuacion que satisface Γ → por def. de Con(), v(α)=1 <math>\forall</math> α Є Con(Γ) → Con(Γ) es satisfacible<br />
<br />
== Ejercicio 12 ==<br />
===a)===<br />
Sea α Є Γ. Si v satisface a Γ, tambien satisface a α → α Є Con(Γ). Por lo tanto Γ ≤ Con(Γ)<br />
===b)===<br />
Sea α Є Con(Γ1). Si v satisface a Γ2, tambien satisface a Γ1, luego a α → α Є Con(Γ2). Por lo tanto, Con(Γ1) ≤ Con(Γ2)<br />
===c)===<br />
<br />
===d)===<br />
<br>≤) Sea α Є Con(Con(Γ)). Si v satisface a Con(Γ), tambien satisface a α. Si w satisface a Γ, tambien satisface a Con(Γ), luego a α → α Є Con(Γ). Por lo tanto Con(Con(Γ)) ≤ Con(Γ)<br />
<br>≥) Vale usando a)<br />
<br>→ Con(Con(Γ))=Con(Γ)<br />
<br />
== Ejercicio 13 ==<br />
===a)===<br />
===b)===<br />
<br />
== Ejercicio 14 ==<br />
===a)===<br />
===b)===<br />
===c)===<br />
===d)===<br />
<br />
== Ejercicio 15 ==<br />
===a)===<br />
===b)===<br />
<br />
== Ejercicio 16 ==<br />
<br />
== Ejercicio 17 ==</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_4_(LyC_Verano)&diff=3333Práctica 4 (LyC Verano)2007-02-26T14:37:41Z<p>201.216.244.41: </p>
<hr />
<div>== Ejercicio 01 ==<br />
<br>a) v(α) = v(¬p1) = 1<br />
<br>b) v(α) = v( (p5 ٧ 0) → 0 ) = v(p5 → 0) = v(p5) = ?<br />
<br>c) v(α) = v( (0 ٧ 0) → 0 ) = v(0 → 0) = 1<br />
<br>d) v(α) = v(¬p4) = ?<br />
<br>e) v(α) = v( (p8 → p5)→(p8 ٨ p0) ) = ?<br />
<br />
== Ejercicio 02 ==<br />
===a)===<br />
<br>1) v(α1) = 1 ↔ p1=0 ٧ p3=1 ٧ p1=1<br />
<br>2) v(α2) = 1 ↔ p2=1 ٧ (p3=0 ٨ p1=0)<br />
<br>3) v(α3) = 1 ↔ (p2=0 ٨ p3=0) ٧ (p2=1) ٧ (p5=0 ٧ p3=1)<br />
===b)===<br />
<br>1) Esto vale si pasa a.1) ٨ <br />
<math> (\forall j) pj \notin Var(\alpha1) \rightarrow pj=0 </math><br />
<br>2) Idem 1) para α2<br />
<br>3) Idem 1) para α3<br />
<br />
== Ejercicio 03 ==<br />
(Para simplificar, T=tautologia, F=contradiccion, C=contingencia)<br />
<br>a) v(α٨β)=1 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=1 ↔ α T y β T<br />
<br>b) v(α٧β)=0 ↔ ¬v(α)=1 ٨ ¬v(β)=1 ↔ v(α)=0 ٨ v(β)=0 ↔ α F y β F<br />
<br>c) v(α→β)=0 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=0 ↔ α T y β F<br />
<br>d)<br />
<br> ←) Si v(α)=0 ٧ v(β)=1 → v(α→β)=1<br />
<br> →) Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β F → v(α→β)=0<br />
*α T y β C → si v(β)=0 → v(α→β)=0<br />
*α C y β F → si v(α)=1 → v(α→β)=0<br />
*α C y β C → Sea el caso α=β → v(α→β)=1, pero <math> Var(\alpha) \cap Var(\beta) \neq \empty </math> (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 04 ==<br />
===a)===<br />
Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β T → v(α٨β)=1<br />
*α T y β F → v(α٨β)=0<br />
*α F y β T → v(α٨β)=0<br />
*α F y β F → v(α٨β)=0<br />
→ α٨β nunca es C (ABS)<br />
===b)===<br />
Sup que no. Hay 2 casos:<br />
*α٨β T → α T y β T<br />
*α٨β F → α F o β F<br />
→ α y β nunca son ambas C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 05 ==<br />
Pueden pasar 2 cosas: v(α)=0 ٨ v(pi)=1 o v(α)=1 ٨ v(pi)=0 → Vale si α=¬pi<br />
<br />
== Ejercicio 06 ==<br />
== Ejercicio 07 ==<br />
===a)===<br />
Definimos todos los conectivos en funcion a los elementos para cada conjunto:<br />
<br>1) {¬,٨,٧}<br />
* ¬p, p٨q, p٧q ya estan definidos<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>2) {¬,٨}<br />
* ¬p, p٨q ya estan definidos<br />
* p٧q = ¬(¬p ٨ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>3) {¬,٧}<br />
* ¬p, p٧q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(¬p ٧ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>4) {¬,→}<br />
* ¬p, p→q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(p → ¬q)<br />
* p٧q = ¬p → q<br />
===b)===<br />
<br> 1) {¬} Como α solo usa el ¬, α siempre sera contingencia<br />
<br> 2) {٧,٨} Sup que lo es. Sea f | f(p)=1 para todo p, y vf la valuacion que extiende a f. Usando induccion en complejidad de α:<br />
*Si α=p → vf(α)=vf(p)=1<br />
*Si α=p٧q → vf(α)=vf(p٧q)=max{vf(p),vf(q)}=max{1,1}=1<br />
*Si α=p٨q → vf(α)=vf(p٨q)=min{vf(p),vf(q)}=min{1,1}=1<br />
→ No es posible construir un α tq α=¬p, por lo que no hay un v | v(α)=0 → No es adecuado (ABS)<br />
<br> 3) {٧,→} Sale muy similar a 2), si tomamos<br />
*Si α=p→q → vf(α)=vf(p→q)=max{1-vf(p),vf(q)}=max{0,1}=1<br />
→ Volvemos a obtener un ABS<br />
<br />
== Ejercicio 08 ==<br />
===a)===<br />
<pre><br />
α β α|β α↓β<br />
1 1 0 0<br />
1 0 1 0<br />
0 1 1 0<br />
0 0 1 1<br />
</pre><br />
Como se puede ver, α|β equivale a NAND y α↓β a NOR.<br />
===b)===<br />
Definimos los conectivos:<br />
<br>Para {|}:<br />
*¬p = p|p<br />
*p٨q = ¬(p|q)<br />
*El resto sale ya que {¬,٨} es adecuado<br />
<br>Para {↓}:<br />
*¬p = p↓p<br />
*p٧q = ¬(p↓q)<br />
*El resto sale ya que {¬,٧} es adecuado<br />
<br />
===c)===<br />
<br />
== Ejercicio 09 ==<br />
===a)===<br />
*¬p = *1(p,p,p) = (p→(¬p ٨ p)) = p→0 = ¬p<br />
*p→q = *1(p,¬p,q) = (p→(¬¬p ٨ q)) = (p→(p ٨ q)) = p→q<br />
*El resto sale ya que {¬,→} es adecuado<br />
→ *1 es adecuado<br />
<br />
===b)===<br />
No es adecuado, ya que utiliza el conjunto {٨,→}, que tampoco lo es<br />
<br />
== Ejercicio 10 ==<br />
===a)===<br />
*p→q ya esta definido<br />
*¬p = p→F = ¬p<br />
*El resto sale ya que {¬,→} es adecuado<br />
→ {F,→} es adecuado<br />
<br />
===b)===<br />
No es adecuado (se prueba similar al ej. 7)<br />
<br />
== Ejercicio 11 ==<br />
===a)===<br />
<math><br />
\Gamma satisfacible \rightarrow (\exists v)(\forall p \in \Gamma) v(p)=1 \rightarrow (\forall p \in \Gamma') v(p)=1 \rightarrow \Gamma' satisfacible<br />
</math><br />
===b)===<br />
<br> ←) Con(Γ) es satisfacible y Γ <math>\subseteq</math> Con(Γ) (ver 12a) → por a) Γ es satisfacible<br />
<br> →) Sea v valuacion que satisface Γ → por def. de Con(), v(α)=1 <math>\forall</math> α Є Con(Γ) → Con(Γ) es satisfacible<br />
<br />
== Ejercicio 12 ==<br />
===a)===<br />
===b)===<br />
===c)===<br />
===d)===<br />
<br />
== Ejercicio 13 ==<br />
===a)===<br />
===b)===<br />
<br />
== Ejercicio 14 ==<br />
===a)===<br />
===b)===<br />
===c)===<br />
===d)===<br />
<br />
== Ejercicio 15 ==<br />
===a)===<br />
===b)===<br />
<br />
== Ejercicio 16 ==<br />
<br />
== Ejercicio 17 ==</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_4_(LyC_Verano)&diff=3332Práctica 4 (LyC Verano)2007-02-26T14:36:04Z<p>201.216.244.41: /* a) */</p>
<hr />
<div>== Ejercicio 01 ==<br />
<br>a) v(α) = v(¬p1) = 1<br />
<br>b) v(α) = v( (p5 ٧ 0) → 0 ) = v(p5 → 0) = v(p5) = ?<br />
<br>c) v(α) = v( (0 ٧ 0) → 0 ) = v(0 → 0) = 1<br />
<br>d) v(α) = v(¬p4) = ?<br />
<br>e) v(α) = v( (p8 → p5)→(p8 ٨ p0) ) = ?<br />
<br />
== Ejercicio 02 ==<br />
===a)===<br />
<br>1) v(α1) = 1 ↔ p1=0 ٧ p3=1 ٧ p1=1<br />
<br>2) v(α2) = 1 ↔ p2=1 ٧ (p3=0 ٨ p1=0)<br />
<br>3) v(α3) = 1 ↔ (p2=0 ٨ p3=0) ٧ (p2=1) ٧ (p5=0 ٧ p3=1)<br />
===b)===<br />
<br>1) Esto vale si pasa a.1) ٨ <br />
<math> (\forall j) pj \notin Var(\alpha1) \rightarrow pj=0 </math><br />
<br>2) Idem 1) para α2<br />
<br>3) Idem 1) para α3<br />
<br />
== Ejercicio 03 ==<br />
(Para simplificar, T=tautologia, F=contradiccion, C=contingencia)<br />
<br>a) v(α٨β)=1 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=1 ↔ α T y β T<br />
<br>b) v(α٧β)=0 ↔ ¬v(α)=1 ٨ ¬v(β)=1 ↔ v(α)=0 ٨ v(β)=0 ↔ α F y β F<br />
<br>c) v(α→β)=0 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=0 ↔ α T y β F<br />
<br>d)<br />
<br> ←) Si v(α)=0 ٧ v(β)=1 → v(α→β)=1<br />
<br> →) Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β F → v(α→β)=0<br />
*α T y β C → si v(β)=0 → v(α→β)=0<br />
*α C y β F → si v(α)=1 → v(α→β)=0<br />
*α C y β C → Sea el caso α=β → v(α→β)=1, pero <math> Var(\alpha) \cap Var(\beta) \neq \empty </math> (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 04 ==<br />
===a)===<br />
Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β T → v(α٨β)=1<br />
*α T y β F → v(α٨β)=0<br />
*α F y β T → v(α٨β)=0<br />
*α F y β F → v(α٨β)=0<br />
→ α٨β nunca es C (ABS)<br />
===b)===<br />
Sup que no. Hay 2 casos:<br />
*α٨β T → α T y β T<br />
*α٨β F → α F o β F<br />
→ α y β nunca son ambas C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 05 ==<br />
Pueden pasar 2 cosas: v(α)=0 ٨ v(pi)=1 o v(α)=1 ٨ v(pi)=0 → Vale si α=¬pi<br />
<br />
== Ejercicio 06 ==<br />
== Ejercicio 07 ==<br />
===a)===<br />
Definimos todos los conectivos en funcion a los elementos para cada conjunto:<br />
<br>1) {¬,٨,٧}<br />
* ¬p, p٨q, p٧q ya estan definidos<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>2) {¬,٨}<br />
* ¬p, p٨q ya estan definidos<br />
* p٧q = ¬(¬p ٨ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>3) {¬,٧}<br />
* ¬p, p٧q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(¬p ٧ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>4) {¬,→}<br />
* ¬p, p→q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(p → ¬q)<br />
* p٧q = ¬p → q<br />
===b)===<br />
<br> 1) {¬} Como α solo usa el ¬, α siempre sera contingencia<br />
<br> 2) {٧,٨} Sup que lo es. Sea f | f(p)=1 para todo p, y vf la valuacion que extiende a f. Usando induccion en complejidad de α:<br />
*Si α=p → vf(α)=vf(p)=1<br />
*Si α=p٧q → vf(α)=vf(p٧q)=max{vf(p),vf(q)}=max{1,1}=1<br />
*Si α=p٨q → vf(α)=vf(p٨q)=min{vf(p),vf(q)}=min{1,1}=1<br />
→ No es posible construir un α tq α=¬p, por lo que no hay un v | v(α)=0 → No es adecuado (ABS)<br />
<br> 3) {٧,→} Sale muy similar a 2), si tomamos<br />
*Si α=p→q → vf(α)=vf(p→q)=max{1-vf(p),vf(q)}=max{0,1}=1<br />
→ Volvemos a obtener un ABS<br />
<br />
== Ejercicio 08 ==<br />
===a)===<br />
<pre><br />
α β α|β α↓β<br />
1 1 0 0<br />
1 0 1 0<br />
0 1 1 0<br />
0 0 1 1<br />
</pre><br />
Como se puede ver, α|β equivale a NAND y α↓β a NOR.<br />
===b)===<br />
Definimos los conectivos:<br />
<br>Para {|}:<br />
*¬p = p|p<br />
*p٨q = ¬(p|q)<br />
*El resto sale ya que {¬,٨} es adecuado<br />
<br>Para {↓}:<br />
*¬p = p↓p<br />
*p٧q = ¬(p↓q)<br />
*El resto sale ya que {¬,٧} es adecuado<br />
<br />
===c)===<br />
<br />
== Ejercicio 09 ==<br />
===a)===<br />
*¬p = *1(p,p,p) = (p→(¬p ٨ p)) = p→0 = ¬p<br />
*p→q = *1(p,¬p,q) = (p→(¬¬p ٨ q)) = (p→(p ٨ q)) = p→q<br />
*El resto sale ya que {¬,→} es adecuado<br />
→ *1 es adecuado<br />
<br />
===b)===<br />
No es adecuado, ya que utiliza el conjunto {٨,→}, que tampoco lo es<br />
<br />
== Ejercicio 10 ==<br />
===a)===<br />
*p→q ya esta definido<br />
*¬p = p→F = ¬p<br />
*El resto sale ya que {¬,→} es adecuado<br />
→ {F,→} es adecuado<br />
<br />
===b)===<br />
No es adecuado (se prueba similar al ej. 7)<br />
<br />
== Ejercicio 11 ==<br />
===a)===<br />
<math><br />
\Gamma satisfacible \rightarrow (\exists v)(\forall p \in \Gamma) v(p)=1 \rightarrow (\forall p \in \Gamma') v(p)=1 \rightarrow \Gamma' satisfacible<br />
</math><br />
===b)===<br />
<br> ←) Con(Γ) es satisfacible y Γ <math>\subseteq</math> Con(Γ) (ver 12a) → por a) Γ es satisfacible<br />
<br> →) Sea v valuacion que satisface Γ → por def. de Con(), v(α)=1 <math>\forall</math> α Є Con(Γ) → Con(Γ) es satisfacible<br />
<br />
== Ejercicio 12 ==<br />
===a)===<br />
===b)===<br />
===c)===<br />
===d)===<br />
<br />
== Ejercicio 13 ==<br />
== Ejercicio 14 ==<br />
== Ejercicio 15 ==<br />
== Ejercicio 16 ==<br />
== Ejercicio 17 ==</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_4_(LyC_Verano)&diff=3331Práctica 4 (LyC Verano)2007-02-26T14:35:33Z<p>201.216.244.41: /* Ejercicio 12 */</p>
<hr />
<div>== Ejercicio 01 ==<br />
<br>a) v(α) = v(¬p1) = 1<br />
<br>b) v(α) = v( (p5 ٧ 0) → 0 ) = v(p5 → 0) = v(p5) = ?<br />
<br>c) v(α) = v( (0 ٧ 0) → 0 ) = v(0 → 0) = 1<br />
<br>d) v(α) = v(¬p4) = ?<br />
<br>e) v(α) = v( (p8 → p5)→(p8 ٨ p0) ) = ?<br />
<br />
== Ejercicio 02 ==<br />
===a)===<br />
<br>1) v(α1) = 1 ↔ p1=0 ٧ p3=1 ٧ p1=1<br />
<br>2) v(α2) = 1 ↔ p2=1 ٧ (p3=0 ٨ p1=0)<br />
<br>3) v(α3) = 1 ↔ (p2=0 ٨ p3=0) ٧ (p2=1) ٧ (p5=0 ٧ p3=1)<br />
===b)===<br />
<br>1) Esto vale si pasa a.1) ٨ <br />
<math> (\forall j) pj \notin Var(\alpha1) \rightarrow pj=0 </math><br />
<br>2) Idem 1) para α2<br />
<br>3) Idem 1) para α3<br />
<br />
== Ejercicio 03 ==<br />
(Para simplificar, T=tautologia, F=contradiccion, C=contingencia)<br />
<br>a) v(α٨β)=1 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=1 ↔ α T y β T<br />
<br>b) v(α٧β)=0 ↔ ¬v(α)=1 ٨ ¬v(β)=1 ↔ v(α)=0 ٨ v(β)=0 ↔ α F y β F<br />
<br>c) v(α→β)=0 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=0 ↔ α T y β F<br />
<br>d)<br />
<br> ←) Si v(α)=0 ٧ v(β)=1 → v(α→β)=1<br />
<br> →) Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β F → v(α→β)=0<br />
*α T y β C → si v(β)=0 → v(α→β)=0<br />
*α C y β F → si v(α)=1 → v(α→β)=0<br />
*α C y β C → Sea el caso α=β → v(α→β)=1, pero <math> Var(\alpha) \cap Var(\beta) \neq \empty </math> (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 04 ==<br />
===a)===<br />
Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β T → v(α٨β)=1<br />
*α T y β F → v(α٨β)=0<br />
*α F y β T → v(α٨β)=0<br />
*α F y β F → v(α٨β)=0<br />
→ α٨β nunca es C (ABS)<br />
===b)===<br />
Sup que no. Hay 2 casos:<br />
*α٨β T → α T y β T<br />
*α٨β F → α F o β F<br />
→ α y β nunca son ambas C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 05 ==<br />
Pueden pasar 2 cosas: v(α)=0 ٨ v(pi)=1 o v(α)=1 ٨ v(pi)=0 → Vale si α=¬pi<br />
<br />
== Ejercicio 06 ==<br />
== Ejercicio 07 ==<br />
===a)===<br />
Definimos todos los conectivos en funcion a los elementos para cada conjunto:<br />
<br>1) {¬,٨,٧}<br />
* ¬p, p٨q, p٧q ya estan definidos<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>2) {¬,٨}<br />
* ¬p, p٨q ya estan definidos<br />
* p٧q = ¬(¬p ٨ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>3) {¬,٧}<br />
* ¬p, p٧q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(¬p ٧ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>4) {¬,→}<br />
* ¬p, p→q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(p → ¬q)<br />
* p٧q = ¬p → q<br />
===b)===<br />
<br> 1) {¬} Como α solo usa el ¬, α siempre sera contingencia<br />
<br> 2) {٧,٨} Sup que lo es. Sea f | f(p)=1 para todo p, y vf la valuacion que extiende a f. Usando induccion en complejidad de α:<br />
*Si α=p → vf(α)=vf(p)=1<br />
*Si α=p٧q → vf(α)=vf(p٧q)=max{vf(p),vf(q)}=max{1,1}=1<br />
*Si α=p٨q → vf(α)=vf(p٨q)=min{vf(p),vf(q)}=min{1,1}=1<br />
→ No es posible construir un α tq α=¬p, por lo que no hay un v | v(α)=0 → No es adecuado (ABS)<br />
<br> 3) {٧,→} Sale muy similar a 2), si tomamos<br />
*Si α=p→q → vf(α)=vf(p→q)=max{1-vf(p),vf(q)}=max{0,1}=1<br />
→ Volvemos a obtener un ABS<br />
<br />
== Ejercicio 08 ==<br />
===a)===<br />
<pre><br />
α β α|β α↓β<br />
1 1 0 0<br />
1 0 1 0<br />
0 1 1 0<br />
0 0 1 1<br />
</pre><br />
Como se puede ver, α|β equivale a NAND y α↓β a NOR.<br />
===b)===<br />
Definimos los conectivos:<br />
<br>Para {|}:<br />
*¬p = p|p<br />
*p٨q = ¬(p|q)<br />
*El resto sale ya que {¬,٨} es adecuado<br />
<br>Para {↓}:<br />
*¬p = p↓p<br />
*p٧q = ¬(p↓q)<br />
*El resto sale ya que {¬,٧} es adecuado<br />
<br />
===c)===<br />
<br />
== Ejercicio 09 ==<br />
===a)===<br />
*¬p = *1(p,p,p) = (p→(¬p ٨ p)) = p→0 = ¬p<br />
*p→q = *1(p,¬p,q) = (p→(¬¬p ٨ q)) = (p→(p ٨ q)) = p→q<br />
*El resto sale ya que {¬,→} es adecuado<br />
→ *1 es adecuado<br />
<br />
===b)===<br />
No es adecuado, ya que utiliza el conjunto {٨,→}, que tampoco lo es<br />
<br />
== Ejercicio 10 ==<br />
===a)===<br />
*p→q ya esta definido<br />
*¬p = p→F = ¬p<br />
*El resto sale ya que {¬,→} es adecuado<br />
→ {F,→} es adecuado<br />
<br />
===b)===<br />
No es adecuado (se prueba similar al ej. 7)<br />
<br />
== Ejercicio 11 ==<br />
===a)===<br />
<math><br />
\Gamma satisfacible \rightarrow (\exists v)(\forall p \in \Gamma) v(p)=1 \rightarrow (\forall p \in \Gamma') v(p)=1 \rightarrow \Gamma' satisfacible<br />
</math><br />
===b)===<br />
<br> ←) Con(Γ) es satisfacible y Γ <math>\subseteq</math> Con(Γ) (ver 12a) → por a) Γ es satisfacible<br />
<br> →) Sea v valuacion que satisface Γ → por def. de Con(), v(α)=1 <math>\forall</math> α Є Con(Γ) → Con(Γ) es satisfacible<br />
<br />
== Ejercicio 12 ==<br />
===a)===<br />
<br />
== Ejercicio 13 ==<br />
== Ejercicio 14 ==<br />
== Ejercicio 15 ==<br />
== Ejercicio 16 ==<br />
== Ejercicio 17 ==</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_4_(LyC_Verano)&diff=3330Práctica 4 (LyC Verano)2007-02-26T14:34:29Z<p>201.216.244.41: /* b) */</p>
<hr />
<div>== Ejercicio 01 ==<br />
<br>a) v(α) = v(¬p1) = 1<br />
<br>b) v(α) = v( (p5 ٧ 0) → 0 ) = v(p5 → 0) = v(p5) = ?<br />
<br>c) v(α) = v( (0 ٧ 0) → 0 ) = v(0 → 0) = 1<br />
<br>d) v(α) = v(¬p4) = ?<br />
<br>e) v(α) = v( (p8 → p5)→(p8 ٨ p0) ) = ?<br />
<br />
== Ejercicio 02 ==<br />
===a)===<br />
<br>1) v(α1) = 1 ↔ p1=0 ٧ p3=1 ٧ p1=1<br />
<br>2) v(α2) = 1 ↔ p2=1 ٧ (p3=0 ٨ p1=0)<br />
<br>3) v(α3) = 1 ↔ (p2=0 ٨ p3=0) ٧ (p2=1) ٧ (p5=0 ٧ p3=1)<br />
===b)===<br />
<br>1) Esto vale si pasa a.1) ٨ <br />
<math> (\forall j) pj \notin Var(\alpha1) \rightarrow pj=0 </math><br />
<br>2) Idem 1) para α2<br />
<br>3) Idem 1) para α3<br />
<br />
== Ejercicio 03 ==<br />
(Para simplificar, T=tautologia, F=contradiccion, C=contingencia)<br />
<br>a) v(α٨β)=1 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=1 ↔ α T y β T<br />
<br>b) v(α٧β)=0 ↔ ¬v(α)=1 ٨ ¬v(β)=1 ↔ v(α)=0 ٨ v(β)=0 ↔ α F y β F<br />
<br>c) v(α→β)=0 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=0 ↔ α T y β F<br />
<br>d)<br />
<br> ←) Si v(α)=0 ٧ v(β)=1 → v(α→β)=1<br />
<br> →) Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β F → v(α→β)=0<br />
*α T y β C → si v(β)=0 → v(α→β)=0<br />
*α C y β F → si v(α)=1 → v(α→β)=0<br />
*α C y β C → Sea el caso α=β → v(α→β)=1, pero <math> Var(\alpha) \cap Var(\beta) \neq \empty </math> (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 04 ==<br />
===a)===<br />
Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β T → v(α٨β)=1<br />
*α T y β F → v(α٨β)=0<br />
*α F y β T → v(α٨β)=0<br />
*α F y β F → v(α٨β)=0<br />
→ α٨β nunca es C (ABS)<br />
===b)===<br />
Sup que no. Hay 2 casos:<br />
*α٨β T → α T y β T<br />
*α٨β F → α F o β F<br />
→ α y β nunca son ambas C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 05 ==<br />
Pueden pasar 2 cosas: v(α)=0 ٨ v(pi)=1 o v(α)=1 ٨ v(pi)=0 → Vale si α=¬pi<br />
<br />
== Ejercicio 06 ==<br />
== Ejercicio 07 ==<br />
===a)===<br />
Definimos todos los conectivos en funcion a los elementos para cada conjunto:<br />
<br>1) {¬,٨,٧}<br />
* ¬p, p٨q, p٧q ya estan definidos<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>2) {¬,٨}<br />
* ¬p, p٨q ya estan definidos<br />
* p٧q = ¬(¬p ٨ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>3) {¬,٧}<br />
* ¬p, p٧q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(¬p ٧ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>4) {¬,→}<br />
* ¬p, p→q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(p → ¬q)<br />
* p٧q = ¬p → q<br />
===b)===<br />
<br> 1) {¬} Como α solo usa el ¬, α siempre sera contingencia<br />
<br> 2) {٧,٨} Sup que lo es. Sea f | f(p)=1 para todo p, y vf la valuacion que extiende a f. Usando induccion en complejidad de α:<br />
*Si α=p → vf(α)=vf(p)=1<br />
*Si α=p٧q → vf(α)=vf(p٧q)=max{vf(p),vf(q)}=max{1,1}=1<br />
*Si α=p٨q → vf(α)=vf(p٨q)=min{vf(p),vf(q)}=min{1,1}=1<br />
→ No es posible construir un α tq α=¬p, por lo que no hay un v | v(α)=0 → No es adecuado (ABS)<br />
<br> 3) {٧,→} Sale muy similar a 2), si tomamos<br />
*Si α=p→q → vf(α)=vf(p→q)=max{1-vf(p),vf(q)}=max{0,1}=1<br />
→ Volvemos a obtener un ABS<br />
<br />
== Ejercicio 08 ==<br />
===a)===<br />
<pre><br />
α β α|β α↓β<br />
1 1 0 0<br />
1 0 1 0<br />
0 1 1 0<br />
0 0 1 1<br />
</pre><br />
Como se puede ver, α|β equivale a NAND y α↓β a NOR.<br />
===b)===<br />
Definimos los conectivos:<br />
<br>Para {|}:<br />
*¬p = p|p<br />
*p٨q = ¬(p|q)<br />
*El resto sale ya que {¬,٨} es adecuado<br />
<br>Para {↓}:<br />
*¬p = p↓p<br />
*p٧q = ¬(p↓q)<br />
*El resto sale ya que {¬,٧} es adecuado<br />
<br />
===c)===<br />
<br />
== Ejercicio 09 ==<br />
===a)===<br />
*¬p = *1(p,p,p) = (p→(¬p ٨ p)) = p→0 = ¬p<br />
*p→q = *1(p,¬p,q) = (p→(¬¬p ٨ q)) = (p→(p ٨ q)) = p→q<br />
*El resto sale ya que {¬,→} es adecuado<br />
→ *1 es adecuado<br />
<br />
===b)===<br />
No es adecuado, ya que utiliza el conjunto {٨,→}, que tampoco lo es<br />
<br />
== Ejercicio 10 ==<br />
===a)===<br />
*p→q ya esta definido<br />
*¬p = p→F = ¬p<br />
*El resto sale ya que {¬,→} es adecuado<br />
→ {F,→} es adecuado<br />
<br />
===b)===<br />
No es adecuado (se prueba similar al ej. 7)<br />
<br />
== Ejercicio 11 ==<br />
===a)===<br />
<math><br />
\Gamma satisfacible \rightarrow (\exists v)(\forall p \in \Gamma) v(p)=1 \rightarrow (\forall p \in \Gamma') v(p)=1 \rightarrow \Gamma' satisfacible<br />
</math><br />
===b)===<br />
<br> ←) Con(Γ) es satisfacible y Γ <math>\subseteq</math> Con(Γ) (ver 12a) → por a) Γ es satisfacible<br />
<br> →) Sea v valuacion que satisface Γ → por def. de Con(), v(α)=1 <math>\forall</math> α Є Con(Γ) → Con(Γ) es satisfacible<br />
<br />
== Ejercicio 12 ==<br />
== Ejercicio 13 ==<br />
== Ejercicio 14 ==<br />
== Ejercicio 15 ==<br />
== Ejercicio 16 ==<br />
== Ejercicio 17 ==</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_4_(LyC_Verano)&diff=3329Práctica 4 (LyC Verano)2007-02-26T14:33:49Z<p>201.216.244.41: /* b) */</p>
<hr />
<div>== Ejercicio 01 ==<br />
<br>a) v(α) = v(¬p1) = 1<br />
<br>b) v(α) = v( (p5 ٧ 0) → 0 ) = v(p5 → 0) = v(p5) = ?<br />
<br>c) v(α) = v( (0 ٧ 0) → 0 ) = v(0 → 0) = 1<br />
<br>d) v(α) = v(¬p4) = ?<br />
<br>e) v(α) = v( (p8 → p5)→(p8 ٨ p0) ) = ?<br />
<br />
== Ejercicio 02 ==<br />
===a)===<br />
<br>1) v(α1) = 1 ↔ p1=0 ٧ p3=1 ٧ p1=1<br />
<br>2) v(α2) = 1 ↔ p2=1 ٧ (p3=0 ٨ p1=0)<br />
<br>3) v(α3) = 1 ↔ (p2=0 ٨ p3=0) ٧ (p2=1) ٧ (p5=0 ٧ p3=1)<br />
===b)===<br />
<br>1) Esto vale si pasa a.1) ٨ <br />
<math> (\forall j) pj \notin Var(\alpha1) \rightarrow pj=0 </math><br />
<br>2) Idem 1) para α2<br />
<br>3) Idem 1) para α3<br />
<br />
== Ejercicio 03 ==<br />
(Para simplificar, T=tautologia, F=contradiccion, C=contingencia)<br />
<br>a) v(α٨β)=1 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=1 ↔ α T y β T<br />
<br>b) v(α٧β)=0 ↔ ¬v(α)=1 ٨ ¬v(β)=1 ↔ v(α)=0 ٨ v(β)=0 ↔ α F y β F<br />
<br>c) v(α→β)=0 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=0 ↔ α T y β F<br />
<br>d)<br />
<br> ←) Si v(α)=0 ٧ v(β)=1 → v(α→β)=1<br />
<br> →) Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β F → v(α→β)=0<br />
*α T y β C → si v(β)=0 → v(α→β)=0<br />
*α C y β F → si v(α)=1 → v(α→β)=0<br />
*α C y β C → Sea el caso α=β → v(α→β)=1, pero <math> Var(\alpha) \cap Var(\beta) \neq \empty </math> (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 04 ==<br />
===a)===<br />
Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β T → v(α٨β)=1<br />
*α T y β F → v(α٨β)=0<br />
*α F y β T → v(α٨β)=0<br />
*α F y β F → v(α٨β)=0<br />
→ α٨β nunca es C (ABS)<br />
===b)===<br />
Sup que no. Hay 2 casos:<br />
*α٨β T → α T y β T<br />
*α٨β F → α F o β F<br />
→ α y β nunca son ambas C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 05 ==<br />
Pueden pasar 2 cosas: v(α)=0 ٨ v(pi)=1 o v(α)=1 ٨ v(pi)=0 → Vale si α=¬pi<br />
<br />
== Ejercicio 06 ==<br />
== Ejercicio 07 ==<br />
===a)===<br />
Definimos todos los conectivos en funcion a los elementos para cada conjunto:<br />
<br>1) {¬,٨,٧}<br />
* ¬p, p٨q, p٧q ya estan definidos<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>2) {¬,٨}<br />
* ¬p, p٨q ya estan definidos<br />
* p٧q = ¬(¬p ٨ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>3) {¬,٧}<br />
* ¬p, p٧q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(¬p ٧ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>4) {¬,→}<br />
* ¬p, p→q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(p → ¬q)<br />
* p٧q = ¬p → q<br />
===b)===<br />
<br> 1) {¬} Como α solo usa el ¬, α siempre sera contingencia<br />
<br> 2) {٧,٨} Sup que lo es. Sea f | f(p)=1 para todo p, y vf la valuacion que extiende a f. Usando induccion en complejidad de α:<br />
*Si α=p → vf(α)=vf(p)=1<br />
*Si α=p٧q → vf(α)=vf(p٧q)=max{vf(p),vf(q)}=max{1,1}=1<br />
*Si α=p٨q → vf(α)=vf(p٨q)=min{vf(p),vf(q)}=min{1,1}=1<br />
→ No es posible construir un α tq α=¬p, por lo que no hay un v | v(α)=0 → No es adecuado (ABS)<br />
<br> 3) {٧,→} Sale muy similar a 2), si tomamos<br />
*Si α=p→q → vf(α)=vf(p→q)=max{1-vf(p),vf(q)}=max{0,1}=1<br />
→ Volvemos a obtener un ABS<br />
<br />
== Ejercicio 08 ==<br />
===a)===<br />
<pre><br />
α β α|β α↓β<br />
1 1 0 0<br />
1 0 1 0<br />
0 1 1 0<br />
0 0 1 1<br />
</pre><br />
Como se puede ver, α|β equivale a NAND y α↓β a NOR.<br />
===b)===<br />
Definimos los conectivos:<br />
<br>Para {|}:<br />
*¬p = p|p<br />
*p٨q = ¬(p|q)<br />
*El resto sale ya que {¬,٨} es adecuado<br />
<br>Para {↓}:<br />
*¬p = p↓p<br />
*p٧q = ¬(p↓q)<br />
*El resto sale ya que {¬,٧} es adecuado<br />
<br />
===c)===<br />
<br />
== Ejercicio 09 ==<br />
===a)===<br />
*¬p = *1(p,p,p) = (p→(¬p ٨ p)) = p→0 = ¬p<br />
*p→q = *1(p,¬p,q) = (p→(¬¬p ٨ q)) = (p→(p ٨ q)) = p→q<br />
*El resto sale ya que {¬,→} es adecuado<br />
→ *1 es adecuado<br />
<br />
===b)===<br />
No es adecuado, ya que utiliza el conjunto {٨,→}, que tampoco lo es<br />
<br />
== Ejercicio 10 ==<br />
===a)===<br />
*p→q ya esta definido<br />
*¬p = p→F = ¬p<br />
*El resto sale ya que {¬,→} es adecuado<br />
→ {F,→} es adecuado<br />
<br />
===b)===<br />
No es adecuado (se prueba similar al ej. 7)<br />
<br />
== Ejercicio 11 ==<br />
===a)===<br />
<math><br />
\Gamma satisfacible \rightarrow (\exists v)(\forall p \in \Gamma) v(p)=1 \rightarrow (\forall p \in \Gamma') v(p)=1 \rightarrow \Gamma' satisfacible<br />
</math><br />
===b)===<br />
<br> ←) Con(Γ) es satisfacible y Γ <math>\subseteq</math> Con(Γ) → por 12a) Γ es satisfacible<br />
<br> →) Sea v valuacion que satisface Γ → por def. de Con(), v(α)=1 <math>\forall</math> α Є Con(Γ) → Con(Γ) es satisfacible<br />
<br />
== Ejercicio 12 ==<br />
== Ejercicio 13 ==<br />
== Ejercicio 14 ==<br />
== Ejercicio 15 ==<br />
== Ejercicio 16 ==<br />
== Ejercicio 17 ==</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_4_(LyC_Verano)&diff=3328Práctica 4 (LyC Verano)2007-02-26T14:31:01Z<p>201.216.244.41: /* Ejercicio 03 */</p>
<hr />
<div>== Ejercicio 01 ==<br />
<br>a) v(α) = v(¬p1) = 1<br />
<br>b) v(α) = v( (p5 ٧ 0) → 0 ) = v(p5 → 0) = v(p5) = ?<br />
<br>c) v(α) = v( (0 ٧ 0) → 0 ) = v(0 → 0) = 1<br />
<br>d) v(α) = v(¬p4) = ?<br />
<br>e) v(α) = v( (p8 → p5)→(p8 ٨ p0) ) = ?<br />
<br />
== Ejercicio 02 ==<br />
===a)===<br />
<br>1) v(α1) = 1 ↔ p1=0 ٧ p3=1 ٧ p1=1<br />
<br>2) v(α2) = 1 ↔ p2=1 ٧ (p3=0 ٨ p1=0)<br />
<br>3) v(α3) = 1 ↔ (p2=0 ٨ p3=0) ٧ (p2=1) ٧ (p5=0 ٧ p3=1)<br />
===b)===<br />
<br>1) Esto vale si pasa a.1) ٨ <br />
<math> (\forall j) pj \notin Var(\alpha1) \rightarrow pj=0 </math><br />
<br>2) Idem 1) para α2<br />
<br>3) Idem 1) para α3<br />
<br />
== Ejercicio 03 ==<br />
(Para simplificar, T=tautologia, F=contradiccion, C=contingencia)<br />
<br>a) v(α٨β)=1 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=1 ↔ α T y β T<br />
<br>b) v(α٧β)=0 ↔ ¬v(α)=1 ٨ ¬v(β)=1 ↔ v(α)=0 ٨ v(β)=0 ↔ α F y β F<br />
<br>c) v(α→β)=0 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=0 ↔ α T y β F<br />
<br>d)<br />
<br> ←) Si v(α)=0 ٧ v(β)=1 → v(α→β)=1<br />
<br> →) Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β F → v(α→β)=0<br />
*α T y β C → si v(β)=0 → v(α→β)=0<br />
*α C y β F → si v(α)=1 → v(α→β)=0<br />
*α C y β C → Sea el caso α=β → v(α→β)=1, pero <math> Var(\alpha) \cap Var(\beta) \neq \empty </math> (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 04 ==<br />
===a)===<br />
Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β T → v(α٨β)=1<br />
*α T y β F → v(α٨β)=0<br />
*α F y β T → v(α٨β)=0<br />
*α F y β F → v(α٨β)=0<br />
→ α٨β nunca es C (ABS)<br />
===b)===<br />
Sup que no. Hay 2 casos:<br />
*α٨β T → α T y β T<br />
*α٨β F → α F o β F<br />
→ α y β nunca son ambas C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 05 ==<br />
Pueden pasar 2 cosas: v(α)=0 ٨ v(pi)=1 o v(α)=1 ٨ v(pi)=0 → Vale si α=¬pi<br />
<br />
== Ejercicio 06 ==<br />
== Ejercicio 07 ==<br />
===a)===<br />
Definimos todos los conectivos en funcion a los elementos para cada conjunto:<br />
<br>1) {¬,٨,٧}<br />
* ¬p, p٨q, p٧q ya estan definidos<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>2) {¬,٨}<br />
* ¬p, p٨q ya estan definidos<br />
* p٧q = ¬(¬p ٨ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>3) {¬,٧}<br />
* ¬p, p٧q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(¬p ٧ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>4) {¬,→}<br />
* ¬p, p→q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(p → ¬q)<br />
* p٧q = ¬p → q<br />
===b)===<br />
<br> 1) {¬} Como α solo usa el ¬, α siempre sera contingencia<br />
<br> 2) {٧,٨} Sup que lo es. Sea f | f(p)=1 para todo p, y vf la valuacion que extiende a f. Usando induccion en complejidad de α:<br />
*Si α=p → vf(α)=vf(p)=1<br />
*Si α=p٧q → vf(α)=vf(p٧q)=max{vf(p),vf(q)}=max{1,1}=1<br />
*Si α=p٨q → vf(α)=vf(p٨q)=min{vf(p),vf(q)}=min{1,1}=1<br />
→ No es posible construir un α tq α=¬p, por lo que no hay un v | v(α)=0 → No es adecuado (ABS)<br />
<br> 3) {٧,→} Sale muy similar a 2), si tomamos<br />
*Si α=p→q → vf(α)=vf(p→q)=max{1-vf(p),vf(q)}=max{0,1}=1<br />
→ Volvemos a obtener un ABS<br />
<br />
== Ejercicio 08 ==<br />
===a)===<br />
<pre><br />
α β α|β α↓β<br />
1 1 0 0<br />
1 0 1 0<br />
0 1 1 0<br />
0 0 1 1<br />
</pre><br />
Como se puede ver, α|β equivale a NAND y α↓β a NOR.<br />
===b)===<br />
Definimos los conectivos:<br />
<br>Para {|}:<br />
*¬p = p|p<br />
*p٨q = ¬(p|q)<br />
*El resto sale ya que {¬,٨} es adecuado<br />
<br>Para {↓}:<br />
*¬p = p↓p<br />
*p٧q = ¬(p↓q)<br />
*El resto sale ya que {¬,٧} es adecuado<br />
<br />
===c)===<br />
<br />
== Ejercicio 09 ==<br />
===a)===<br />
*¬p = *1(p,p,p) = (p→(¬p ٨ p)) = p→0 = ¬p<br />
*p→q = *1(p,¬p,q) = (p→(¬¬p ٨ q)) = (p→(p ٨ q)) = p→q<br />
*El resto sale ya que {¬,→} es adecuado<br />
→ *1 es adecuado<br />
<br />
===b)===<br />
No es adecuado, ya que utiliza el conjunto {٨,→}, que tampoco lo es<br />
<br />
== Ejercicio 10 ==<br />
===a)===<br />
*p→q ya esta definido<br />
*¬p = p→F = ¬p<br />
*El resto sale ya que {¬,→} es adecuado<br />
→ {F,→} es adecuado<br />
<br />
===b)===<br />
No es adecuado (se prueba similar al ej. 7)<br />
<br />
== Ejercicio 11 ==<br />
===a)===<br />
<math><br />
\Gamma satisfacible \rightarrow (\exists v)(\forall p \in \Gamma) v(p)=1 \rightarrow (\forall p \in \Gamma') v(p)=1 \rightarrow \Gamma' satisfacible<br />
</math><br />
===b)===<br />
<br> ←) Con(Γ) es satisfacible y Γ <math>\subseteq</math> Con(Γ) → por a) Γ es satisfacible<br />
<br> →) Sea v valuacion que satisface Γ → por def. de Con(), v(α)=1 <math>\forall</math> α Є Con(Γ) → Con(Γ) es satisfacible<br />
<br />
== Ejercicio 12 ==<br />
== Ejercicio 13 ==<br />
== Ejercicio 14 ==<br />
== Ejercicio 15 ==<br />
== Ejercicio 16 ==<br />
== Ejercicio 17 ==</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_4_(LyC_Verano)&diff=3327Práctica 4 (LyC Verano)2007-02-26T14:16:24Z<p>201.216.244.41: /* b) */</p>
<hr />
<div>== Ejercicio 01 ==<br />
<br>a) v(α) = v(¬p1) = 1<br />
<br>b) v(α) = v( (p5 ٧ 0) → 0 ) = v(p5 → 0) = v(p5) = ?<br />
<br>c) v(α) = v( (0 ٧ 0) → 0 ) = v(0 → 0) = 1<br />
<br>d) v(α) = v(¬p4) = ?<br />
<br>e) v(α) = v( (p8 → p5)→(p8 ٨ p0) ) = ?<br />
<br />
== Ejercicio 02 ==<br />
===a)===<br />
<br>1) v(α1) = 1 ↔ p1=0 ٧ p3=1 ٧ p1=1<br />
<br>2) v(α2) = 1 ↔ p2=1 ٧ (p3=0 ٨ p1=0)<br />
<br>3) v(α3) = 1 ↔ (p2=0 ٨ p3=0) ٧ (p2=1) ٧ (p5=0 ٧ p3=1)<br />
===b)===<br />
<br>1) Esto vale si pasa a.1) ٨ <br />
<math> (\forall j) pj \notin Var(\alpha1) \rightarrow pj=0 </math><br />
<br>2) Idem 1) para α2<br />
<br>3) Idem 1) para α3<br />
<br />
== Ejercicio 03 ==<br />
(Para simplificar, T=tautologia, F=contradiccion, C=contingencia)<br />
<br>a) v(α٨β)=1 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=1 ↔ α T y β T<br />
<br>b) v(α٧β)=0 ↔ ¬v(α)=1 ٨ ¬v(β)=1 ↔ v(α)=0 ٨ v(β)=0 ↔ α F y β F<br />
<br>c) v(α→β)=0 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=0 ↔ α T y β F<br />
<br>d)<br />
<br> ←) Si v(α)=0 ٧ v(β)=1 → v(α→β)=1<br />
<br> →) Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β F → v(α→β)=0<br />
*α T y β C → v(α→β)=0 si v(β)=0<br />
*α C y β F → v(α→β)=0 si v(α)=1<br />
*α C y β C → Sea el caso α=β → v(α→β)=1, pero α C y β C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 04 ==<br />
===a)===<br />
Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β T → v(α٨β)=1<br />
*α T y β F → v(α٨β)=0<br />
*α F y β T → v(α٨β)=0<br />
*α F y β F → v(α٨β)=0<br />
→ α٨β nunca es C (ABS)<br />
===b)===<br />
Sup que no. Hay 2 casos:<br />
*α٨β T → α T y β T<br />
*α٨β F → α F o β F<br />
→ α y β nunca son ambas C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 05 ==<br />
Pueden pasar 2 cosas: v(α)=0 ٨ v(pi)=1 o v(α)=1 ٨ v(pi)=0 → Vale si α=¬pi<br />
<br />
== Ejercicio 06 ==<br />
== Ejercicio 07 ==<br />
===a)===<br />
Definimos todos los conectivos en funcion a los elementos para cada conjunto:<br />
<br>1) {¬,٨,٧}<br />
* ¬p, p٨q, p٧q ya estan definidos<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>2) {¬,٨}<br />
* ¬p, p٨q ya estan definidos<br />
* p٧q = ¬(¬p ٨ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>3) {¬,٧}<br />
* ¬p, p٧q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(¬p ٧ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>4) {¬,→}<br />
* ¬p, p→q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(p → ¬q)<br />
* p٧q = ¬p → q<br />
===b)===<br />
<br> 1) {¬} Como α solo usa el ¬, α siempre sera contingencia<br />
<br> 2) {٧,٨} Sup que lo es. Sea f | f(p)=1 para todo p, y vf la valuacion que extiende a f. Usando induccion en complejidad de α:<br />
*Si α=p → vf(α)=vf(p)=1<br />
*Si α=p٧q → vf(α)=vf(p٧q)=max{vf(p),vf(q)}=max{1,1}=1<br />
*Si α=p٨q → vf(α)=vf(p٨q)=min{vf(p),vf(q)}=min{1,1}=1<br />
→ No es posible construir un α tq α=¬p, por lo que no hay un v | v(α)=0 → No es adecuado (ABS)<br />
<br> 3) {٧,→} Sale muy similar a 2), si tomamos<br />
*Si α=p→q → vf(α)=vf(p→q)=max{1-vf(p),vf(q)}=max{0,1}=1<br />
→ Volvemos a obtener un ABS<br />
<br />
== Ejercicio 08 ==<br />
===a)===<br />
<pre><br />
α β α|β α↓β<br />
1 1 0 0<br />
1 0 1 0<br />
0 1 1 0<br />
0 0 1 1<br />
</pre><br />
Como se puede ver, α|β equivale a NAND y α↓β a NOR.<br />
===b)===<br />
Definimos los conectivos:<br />
<br>Para {|}:<br />
*¬p = p|p<br />
*p٨q = ¬(p|q)<br />
*El resto sale ya que {¬,٨} es adecuado<br />
<br>Para {↓}:<br />
*¬p = p↓p<br />
*p٧q = ¬(p↓q)<br />
*El resto sale ya que {¬,٧} es adecuado<br />
<br />
===c)===<br />
<br />
== Ejercicio 09 ==<br />
===a)===<br />
*¬p = *1(p,p,p) = (p→(¬p ٨ p)) = p→0 = ¬p<br />
*p→q = *1(p,¬p,q) = (p→(¬¬p ٨ q)) = (p→(p ٨ q)) = p→q<br />
*El resto sale ya que {¬,→} es adecuado<br />
→ *1 es adecuado<br />
<br />
===b)===<br />
No es adecuado, ya que utiliza el conjunto {٨,→}, que tampoco lo es<br />
<br />
== Ejercicio 10 ==<br />
===a)===<br />
*p→q ya esta definido<br />
*¬p = p→F = ¬p<br />
*El resto sale ya que {¬,→} es adecuado<br />
→ {F,→} es adecuado<br />
<br />
===b)===<br />
No es adecuado (se prueba similar al ej. 7)<br />
<br />
== Ejercicio 11 ==<br />
===a)===<br />
<math><br />
\Gamma satisfacible \rightarrow (\exists v)(\forall p \in \Gamma) v(p)=1 \rightarrow (\forall p \in \Gamma') v(p)=1 \rightarrow \Gamma' satisfacible<br />
</math><br />
===b)===<br />
<br> ←) Con(Γ) es satisfacible y Γ <math>\subseteq</math> Con(Γ) → por a) Γ es satisfacible<br />
<br> →) Sea v valuacion que satisface Γ → por def. de Con(), v(α)=1 <math>\forall</math> α Є Con(Γ) → Con(Γ) es satisfacible<br />
<br />
== Ejercicio 12 ==<br />
== Ejercicio 13 ==<br />
== Ejercicio 14 ==<br />
== Ejercicio 15 ==<br />
== Ejercicio 16 ==<br />
== Ejercicio 17 ==</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_4_(LyC_Verano)&diff=3326Práctica 4 (LyC Verano)2007-02-26T14:08:41Z<p>201.216.244.41: /* Ejercicio 11 */</p>
<hr />
<div>== Ejercicio 01 ==<br />
<br>a) v(α) = v(¬p1) = 1<br />
<br>b) v(α) = v( (p5 ٧ 0) → 0 ) = v(p5 → 0) = v(p5) = ?<br />
<br>c) v(α) = v( (0 ٧ 0) → 0 ) = v(0 → 0) = 1<br />
<br>d) v(α) = v(¬p4) = ?<br />
<br>e) v(α) = v( (p8 → p5)→(p8 ٨ p0) ) = ?<br />
<br />
== Ejercicio 02 ==<br />
===a)===<br />
<br>1) v(α1) = 1 ↔ p1=0 ٧ p3=1 ٧ p1=1<br />
<br>2) v(α2) = 1 ↔ p2=1 ٧ (p3=0 ٨ p1=0)<br />
<br>3) v(α3) = 1 ↔ (p2=0 ٨ p3=0) ٧ (p2=1) ٧ (p5=0 ٧ p3=1)<br />
===b)===<br />
<br>1) Esto vale si pasa a.1) ٨ <br />
<math> (\forall j) pj \notin Var(\alpha1) \rightarrow pj=0 </math><br />
<br>2) Idem 1) para α2<br />
<br>3) Idem 1) para α3<br />
<br />
== Ejercicio 03 ==<br />
(Para simplificar, T=tautologia, F=contradiccion, C=contingencia)<br />
<br>a) v(α٨β)=1 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=1 ↔ α T y β T<br />
<br>b) v(α٧β)=0 ↔ ¬v(α)=1 ٨ ¬v(β)=1 ↔ v(α)=0 ٨ v(β)=0 ↔ α F y β F<br />
<br>c) v(α→β)=0 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=0 ↔ α T y β F<br />
<br>d)<br />
<br> ←) Si v(α)=0 ٧ v(β)=1 → v(α→β)=1<br />
<br> →) Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β F → v(α→β)=0<br />
*α T y β C → v(α→β)=0 si v(β)=0<br />
*α C y β F → v(α→β)=0 si v(α)=1<br />
*α C y β C → Sea el caso α=β → v(α→β)=1, pero α C y β C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 04 ==<br />
===a)===<br />
Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β T → v(α٨β)=1<br />
*α T y β F → v(α٨β)=0<br />
*α F y β T → v(α٨β)=0<br />
*α F y β F → v(α٨β)=0<br />
→ α٨β nunca es C (ABS)<br />
===b)===<br />
Sup que no. Hay 2 casos:<br />
*α٨β T → α T y β T<br />
*α٨β F → α F o β F<br />
→ α y β nunca son ambas C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 05 ==<br />
Pueden pasar 2 cosas: v(α)=0 ٨ v(pi)=1 o v(α)=1 ٨ v(pi)=0 → Vale si α=¬pi<br />
<br />
== Ejercicio 06 ==<br />
== Ejercicio 07 ==<br />
===a)===<br />
Definimos todos los conectivos en funcion a los elementos para cada conjunto:<br />
<br>1) {¬,٨,٧}<br />
* ¬p, p٨q, p٧q ya estan definidos<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>2) {¬,٨}<br />
* ¬p, p٨q ya estan definidos<br />
* p٧q = ¬(¬p ٨ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>3) {¬,٧}<br />
* ¬p, p٧q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(¬p ٧ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>4) {¬,→}<br />
* ¬p, p→q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(p → ¬q)<br />
* p٧q = ¬p → q<br />
===b)===<br />
<br> 1) {¬} Como α solo usa el ¬, α siempre sera contingencia<br />
<br> 2) {٧,٨} Sup que lo es. Sea f | f(p)=1 para todo p, y vf la valuacion que extiende a f. Usando induccion en complejidad de α:<br />
*Si α=p → vf(α)=vf(p)=1<br />
*Si α=p٧q → vf(α)=vf(p٧q)=max{vf(p),vf(q)}=max{1,1}=1<br />
*Si α=p٨q → vf(α)=vf(p٨q)=min{vf(p),vf(q)}=min{1,1}=1<br />
→ No es posible construir un α tq α=¬p, por lo que no hay un v | v(α)=0 → No es adecuado (ABS)<br />
<br> 3) {٧,→} Sale muy similar a 2), si tomamos<br />
*Si α=p→q → vf(α)=vf(p→q)=max{1-vf(p),vf(q)}=max{0,1}=1<br />
→ Volvemos a obtener un ABS<br />
<br />
== Ejercicio 08 ==<br />
===a)===<br />
<pre><br />
α β α|β α↓β<br />
1 1 0 0<br />
1 0 1 0<br />
0 1 1 0<br />
0 0 1 1<br />
</pre><br />
Como se puede ver, α|β equivale a NAND y α↓β a NOR.<br />
===b)===<br />
Definimos los conectivos:<br />
<br>Para {|}:<br />
*¬p = p|p<br />
*p٨q = ¬(p|q)<br />
*El resto sale ya que {¬,٨} es adecuado<br />
<br>Para {↓}:<br />
*¬p = p↓p<br />
*p٧q = ¬(p↓q)<br />
*El resto sale ya que {¬,٧} es adecuado<br />
<br />
===c)===<br />
<br />
== Ejercicio 09 ==<br />
===a)===<br />
*¬p = *1(p,p,p) = (p→(¬p ٨ p)) = p→0 = ¬p<br />
*p→q = *1(p,¬p,q) = (p→(¬¬p ٨ q)) = (p→(p ٨ q)) = p→q<br />
*El resto sale ya que {¬,→} es adecuado<br />
→ *1 es adecuado<br />
<br />
===b)===<br />
No es adecuado, ya que utiliza el conjunto {٨,→}, que tampoco lo es<br />
<br />
== Ejercicio 10 ==<br />
===a)===<br />
*p→q ya esta definido<br />
*¬p = p→F = ¬p<br />
*El resto sale ya que {¬,→} es adecuado<br />
→ {F,→} es adecuado<br />
<br />
===b)===<br />
No es adecuado (se prueba similar al ej. 7)<br />
<br />
== Ejercicio 11 ==<br />
===a)===<br />
<math><br />
\Gamma satisfacible \rightarrow (\exists v)(\forall p \in \Gamma) v(p)=1 \rightarrow (\forall p \in \Gamma') v(p)=1 \rightarrow \Gamma' satisfacible<br />
</math><br />
===b)===<br />
<br> →) Vale por a)<br />
<br> ←)<br />
<br />
== Ejercicio 12 ==<br />
== Ejercicio 13 ==<br />
== Ejercicio 14 ==<br />
== Ejercicio 15 ==<br />
== Ejercicio 16 ==<br />
== Ejercicio 17 ==</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_4_(LyC_Verano)&diff=3325Práctica 4 (LyC Verano)2007-02-26T14:07:47Z<p>201.216.244.41: /* Ejercicio 11 */</p>
<hr />
<div>== Ejercicio 01 ==<br />
<br>a) v(α) = v(¬p1) = 1<br />
<br>b) v(α) = v( (p5 ٧ 0) → 0 ) = v(p5 → 0) = v(p5) = ?<br />
<br>c) v(α) = v( (0 ٧ 0) → 0 ) = v(0 → 0) = 1<br />
<br>d) v(α) = v(¬p4) = ?<br />
<br>e) v(α) = v( (p8 → p5)→(p8 ٨ p0) ) = ?<br />
<br />
== Ejercicio 02 ==<br />
===a)===<br />
<br>1) v(α1) = 1 ↔ p1=0 ٧ p3=1 ٧ p1=1<br />
<br>2) v(α2) = 1 ↔ p2=1 ٧ (p3=0 ٨ p1=0)<br />
<br>3) v(α3) = 1 ↔ (p2=0 ٨ p3=0) ٧ (p2=1) ٧ (p5=0 ٧ p3=1)<br />
===b)===<br />
<br>1) Esto vale si pasa a.1) ٨ <br />
<math> (\forall j) pj \notin Var(\alpha1) \rightarrow pj=0 </math><br />
<br>2) Idem 1) para α2<br />
<br>3) Idem 1) para α3<br />
<br />
== Ejercicio 03 ==<br />
(Para simplificar, T=tautologia, F=contradiccion, C=contingencia)<br />
<br>a) v(α٨β)=1 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=1 ↔ α T y β T<br />
<br>b) v(α٧β)=0 ↔ ¬v(α)=1 ٨ ¬v(β)=1 ↔ v(α)=0 ٨ v(β)=0 ↔ α F y β F<br />
<br>c) v(α→β)=0 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=0 ↔ α T y β F<br />
<br>d)<br />
<br> ←) Si v(α)=0 ٧ v(β)=1 → v(α→β)=1<br />
<br> →) Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β F → v(α→β)=0<br />
*α T y β C → v(α→β)=0 si v(β)=0<br />
*α C y β F → v(α→β)=0 si v(α)=1<br />
*α C y β C → Sea el caso α=β → v(α→β)=1, pero α C y β C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 04 ==<br />
===a)===<br />
Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β T → v(α٨β)=1<br />
*α T y β F → v(α٨β)=0<br />
*α F y β T → v(α٨β)=0<br />
*α F y β F → v(α٨β)=0<br />
→ α٨β nunca es C (ABS)<br />
===b)===<br />
Sup que no. Hay 2 casos:<br />
*α٨β T → α T y β T<br />
*α٨β F → α F o β F<br />
→ α y β nunca son ambas C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 05 ==<br />
Pueden pasar 2 cosas: v(α)=0 ٨ v(pi)=1 o v(α)=1 ٨ v(pi)=0 → Vale si α=¬pi<br />
<br />
== Ejercicio 06 ==<br />
== Ejercicio 07 ==<br />
===a)===<br />
Definimos todos los conectivos en funcion a los elementos para cada conjunto:<br />
<br>1) {¬,٨,٧}<br />
* ¬p, p٨q, p٧q ya estan definidos<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>2) {¬,٨}<br />
* ¬p, p٨q ya estan definidos<br />
* p٧q = ¬(¬p ٨ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>3) {¬,٧}<br />
* ¬p, p٧q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(¬p ٧ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>4) {¬,→}<br />
* ¬p, p→q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(p → ¬q)<br />
* p٧q = ¬p → q<br />
===b)===<br />
<br> 1) {¬} Como α solo usa el ¬, α siempre sera contingencia<br />
<br> 2) {٧,٨} Sup que lo es. Sea f | f(p)=1 para todo p, y vf la valuacion que extiende a f. Usando induccion en complejidad de α:<br />
*Si α=p → vf(α)=vf(p)=1<br />
*Si α=p٧q → vf(α)=vf(p٧q)=max{vf(p),vf(q)}=max{1,1}=1<br />
*Si α=p٨q → vf(α)=vf(p٨q)=min{vf(p),vf(q)}=min{1,1}=1<br />
→ No es posible construir un α tq α=¬p, por lo que no hay un v | v(α)=0 → No es adecuado (ABS)<br />
<br> 3) {٧,→} Sale muy similar a 2), si tomamos<br />
*Si α=p→q → vf(α)=vf(p→q)=max{1-vf(p),vf(q)}=max{0,1}=1<br />
→ Volvemos a obtener un ABS<br />
<br />
== Ejercicio 08 ==<br />
===a)===<br />
<pre><br />
α β α|β α↓β<br />
1 1 0 0<br />
1 0 1 0<br />
0 1 1 0<br />
0 0 1 1<br />
</pre><br />
Como se puede ver, α|β equivale a NAND y α↓β a NOR.<br />
===b)===<br />
Definimos los conectivos:<br />
<br>Para {|}:<br />
*¬p = p|p<br />
*p٨q = ¬(p|q)<br />
*El resto sale ya que {¬,٨} es adecuado<br />
<br>Para {↓}:<br />
*¬p = p↓p<br />
*p٧q = ¬(p↓q)<br />
*El resto sale ya que {¬,٧} es adecuado<br />
<br />
===c)===<br />
<br />
== Ejercicio 09 ==<br />
===a)===<br />
*¬p = *1(p,p,p) = (p→(¬p ٨ p)) = p→0 = ¬p<br />
*p→q = *1(p,¬p,q) = (p→(¬¬p ٨ q)) = (p→(p ٨ q)) = p→q<br />
*El resto sale ya que {¬,→} es adecuado<br />
→ *1 es adecuado<br />
<br />
===b)===<br />
No es adecuado, ya que utiliza el conjunto {٨,→}, que tampoco lo es<br />
<br />
== Ejercicio 10 ==<br />
===a)===<br />
*p→q ya esta definido<br />
*¬p = p→F = ¬p<br />
*El resto sale ya que {¬,→} es adecuado<br />
→ {F,→} es adecuado<br />
<br />
===b)===<br />
No es adecuado (se prueba similar al ej. 7)<br />
<br />
== Ejercicio 11 ==<br />
===a)===<br />
<math><br />
\Gamma satisfacible \rightarrow (\exists v)(\forall p \in \Gamma) v(p)=1 \rightarrow (\forall p \in \Gamma') v(p)=1 \rightarrow \Gamma' satisfacible </math><br />
<br />
== Ejercicio 12 ==<br />
== Ejercicio 13 ==<br />
== Ejercicio 14 ==<br />
== Ejercicio 15 ==<br />
== Ejercicio 16 ==<br />
== Ejercicio 17 ==</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_4_(LyC_Verano)&diff=3324Práctica 4 (LyC Verano)2007-02-26T13:54:30Z<p>201.216.244.41: /* a) */</p>
<hr />
<div>== Ejercicio 01 ==<br />
<br>a) v(α) = v(¬p1) = 1<br />
<br>b) v(α) = v( (p5 ٧ 0) → 0 ) = v(p5 → 0) = v(p5) = ?<br />
<br>c) v(α) = v( (0 ٧ 0) → 0 ) = v(0 → 0) = 1<br />
<br>d) v(α) = v(¬p4) = ?<br />
<br>e) v(α) = v( (p8 → p5)→(p8 ٨ p0) ) = ?<br />
<br />
== Ejercicio 02 ==<br />
===a)===<br />
<br>1) v(α1) = 1 ↔ p1=0 ٧ p3=1 ٧ p1=1<br />
<br>2) v(α2) = 1 ↔ p2=1 ٧ (p3=0 ٨ p1=0)<br />
<br>3) v(α3) = 1 ↔ (p2=0 ٨ p3=0) ٧ (p2=1) ٧ (p5=0 ٧ p3=1)<br />
===b)===<br />
<br>1) Esto vale si pasa a.1) ٨ <br />
<math> (\forall j) pj \notin Var(\alpha1) \rightarrow pj=0 </math><br />
<br>2) Idem 1) para α2<br />
<br>3) Idem 1) para α3<br />
<br />
== Ejercicio 03 ==<br />
(Para simplificar, T=tautologia, F=contradiccion, C=contingencia)<br />
<br>a) v(α٨β)=1 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=1 ↔ α T y β T<br />
<br>b) v(α٧β)=0 ↔ ¬v(α)=1 ٨ ¬v(β)=1 ↔ v(α)=0 ٨ v(β)=0 ↔ α F y β F<br />
<br>c) v(α→β)=0 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=0 ↔ α T y β F<br />
<br>d)<br />
<br> ←) Si v(α)=0 ٧ v(β)=1 → v(α→β)=1<br />
<br> →) Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β F → v(α→β)=0<br />
*α T y β C → v(α→β)=0 si v(β)=0<br />
*α C y β F → v(α→β)=0 si v(α)=1<br />
*α C y β C → Sea el caso α=β → v(α→β)=1, pero α C y β C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 04 ==<br />
===a)===<br />
Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β T → v(α٨β)=1<br />
*α T y β F → v(α٨β)=0<br />
*α F y β T → v(α٨β)=0<br />
*α F y β F → v(α٨β)=0<br />
→ α٨β nunca es C (ABS)<br />
===b)===<br />
Sup que no. Hay 2 casos:<br />
*α٨β T → α T y β T<br />
*α٨β F → α F o β F<br />
→ α y β nunca son ambas C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 05 ==<br />
Pueden pasar 2 cosas: v(α)=0 ٨ v(pi)=1 o v(α)=1 ٨ v(pi)=0 → Vale si α=¬pi<br />
<br />
== Ejercicio 06 ==<br />
== Ejercicio 07 ==<br />
===a)===<br />
Definimos todos los conectivos en funcion a los elementos para cada conjunto:<br />
<br>1) {¬,٨,٧}<br />
* ¬p, p٨q, p٧q ya estan definidos<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>2) {¬,٨}<br />
* ¬p, p٨q ya estan definidos<br />
* p٧q = ¬(¬p ٨ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>3) {¬,٧}<br />
* ¬p, p٧q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(¬p ٧ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>4) {¬,→}<br />
* ¬p, p→q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(p → ¬q)<br />
* p٧q = ¬p → q<br />
===b)===<br />
<br> 1) {¬} Como α solo usa el ¬, α siempre sera contingencia<br />
<br> 2) {٧,٨} Sup que lo es. Sea f | f(p)=1 para todo p, y vf la valuacion que extiende a f. Usando induccion en complejidad de α:<br />
*Si α=p → vf(α)=vf(p)=1<br />
*Si α=p٧q → vf(α)=vf(p٧q)=max{vf(p),vf(q)}=max{1,1}=1<br />
*Si α=p٨q → vf(α)=vf(p٨q)=min{vf(p),vf(q)}=min{1,1}=1<br />
→ No es posible construir un α tq α=¬p, por lo que no hay un v | v(α)=0 → No es adecuado (ABS)<br />
<br> 3) {٧,→} Sale muy similar a 2), si tomamos<br />
*Si α=p→q → vf(α)=vf(p→q)=max{1-vf(p),vf(q)}=max{0,1}=1<br />
→ Volvemos a obtener un ABS<br />
<br />
== Ejercicio 08 ==<br />
===a)===<br />
<pre><br />
α β α|β α↓β<br />
1 1 0 0<br />
1 0 1 0<br />
0 1 1 0<br />
0 0 1 1<br />
</pre><br />
Como se puede ver, α|β equivale a NAND y α↓β a NOR.<br />
===b)===<br />
Definimos los conectivos:<br />
<br>Para {|}:<br />
*¬p = p|p<br />
*p٨q = ¬(p|q)<br />
*El resto sale ya que {¬,٨} es adecuado<br />
<br>Para {↓}:<br />
*¬p = p↓p<br />
*p٧q = ¬(p↓q)<br />
*El resto sale ya que {¬,٧} es adecuado<br />
<br />
===c)===<br />
<br />
== Ejercicio 09 ==<br />
===a)===<br />
*¬p = *1(p,p,p) = (p→(¬p ٨ p)) = p→0 = ¬p<br />
*p→q = *1(p,¬p,q) = (p→(¬¬p ٨ q)) = (p→(p ٨ q)) = p→q<br />
*El resto sale ya que {¬,→} es adecuado<br />
→ *1 es adecuado<br />
<br />
===b)===<br />
No es adecuado, ya que utiliza el conjunto {٨,→}, que tampoco lo es<br />
<br />
== Ejercicio 10 ==<br />
===a)===<br />
*p→q ya esta definido<br />
*¬p = p→F = ¬p<br />
*El resto sale ya que {¬,→} es adecuado<br />
→ {F,→} es adecuado<br />
<br />
===b)===<br />
No es adecuado (se prueba similar al ej. 7)<br />
<br />
== Ejercicio 11 ==<br />
== Ejercicio 12 ==<br />
== Ejercicio 13 ==<br />
== Ejercicio 14 ==<br />
== Ejercicio 15 ==<br />
== Ejercicio 16 ==<br />
== Ejercicio 17 ==</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_4_(LyC_Verano)&diff=3323Práctica 4 (LyC Verano)2007-02-26T13:53:50Z<p>201.216.244.41: /* a) */</p>
<hr />
<div>== Ejercicio 01 ==<br />
<br>a) v(α) = v(¬p1) = 1<br />
<br>b) v(α) = v( (p5 ٧ 0) → 0 ) = v(p5 → 0) = v(p5) = ?<br />
<br>c) v(α) = v( (0 ٧ 0) → 0 ) = v(0 → 0) = 1<br />
<br>d) v(α) = v(¬p4) = ?<br />
<br>e) v(α) = v( (p8 → p5)→(p8 ٨ p0) ) = ?<br />
<br />
== Ejercicio 02 ==<br />
===a)===<br />
<br>1) v(α1) = 1 ↔ p1=0 ٧ p3=1 ٧ p1=1<br />
<br>2) v(α2) = 1 ↔ p2=1 ٧ (p3=0 ٨ p1=0)<br />
<br>3) v(α3) = 1 ↔ (p2=0 ٨ p3=0) ٧ (p2=1) ٧ (p5=0 ٧ p3=1)<br />
===b)===<br />
<br>1) Esto vale si pasa a.1) ٨ <br />
<math> (\forall j) pj \notin Var(\alpha1) \rightarrow pj=0 </math><br />
<br>2) Idem 1) para α2<br />
<br>3) Idem 1) para α3<br />
<br />
== Ejercicio 03 ==<br />
(Para simplificar, T=tautologia, F=contradiccion, C=contingencia)<br />
<br>a) v(α٨β)=1 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=1 ↔ α T y β T<br />
<br>b) v(α٧β)=0 ↔ ¬v(α)=1 ٨ ¬v(β)=1 ↔ v(α)=0 ٨ v(β)=0 ↔ α F y β F<br />
<br>c) v(α→β)=0 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=0 ↔ α T y β F<br />
<br>d)<br />
<br> ←) Si v(α)=0 ٧ v(β)=1 → v(α→β)=1<br />
<br> →) Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β F → v(α→β)=0<br />
*α T y β C → v(α→β)=0 si v(β)=0<br />
*α C y β F → v(α→β)=0 si v(α)=1<br />
*α C y β C → Sea el caso α=β → v(α→β)=1, pero α C y β C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 04 ==<br />
===a)===<br />
Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β T → v(α٨β)=1<br />
*α T y β F → v(α٨β)=0<br />
*α F y β T → v(α٨β)=0<br />
*α F y β F → v(α٨β)=0<br />
→ α٨β nunca es C (ABS)<br />
===b)===<br />
Sup que no. Hay 2 casos:<br />
*α٨β T → α T y β T<br />
*α٨β F → α F o β F<br />
→ α y β nunca son ambas C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 05 ==<br />
Pueden pasar 2 cosas: v(α)=0 ٨ v(pi)=1 o v(α)=1 ٨ v(pi)=0 → Vale si α=¬pi<br />
<br />
== Ejercicio 06 ==<br />
== Ejercicio 07 ==<br />
===a)===<br />
Definimos todos los conectivos en funcion a los elementos para cada conjunto:<br />
<br>1) {¬,٨,٧}<br />
* ¬p, p٨q, p٧q ya estan definidos<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>2) {¬,٨}<br />
* ¬p, p٨q ya estan definidos<br />
* p٧q = ¬(¬p ٨ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>3) {¬,٧}<br />
* ¬p, p٧q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(¬p ٧ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>4) {¬,→}<br />
* ¬p, p→q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(p → ¬q)<br />
* p٧q = ¬p → q<br />
===b)===<br />
<br> 1) {¬} Como α solo usa el ¬, α siempre sera contingencia<br />
<br> 2) {٧,٨} Sup que lo es. Sea f | f(p)=1 para todo p, y vf la valuacion que extiende a f. Usando induccion en complejidad de α:<br />
*Si α=p → vf(α)=vf(p)=1<br />
*Si α=p٧q → vf(α)=vf(p٧q)=max{vf(p),vf(q)}=max{1,1}=1<br />
*Si α=p٨q → vf(α)=vf(p٨q)=min{vf(p),vf(q)}=min{1,1}=1<br />
→ No es posible construir un α tq α=¬p, por lo que no hay un v | v(α)=0 → No es adecuado (ABS)<br />
<br> 3) {٧,→} Sale muy similar a 2), si tomamos<br />
*Si α=p→q → vf(α)=vf(p→q)=max{1-vf(p),vf(q)}=max{0,1}=1<br />
→ Volvemos a obtener un ABS<br />
<br />
== Ejercicio 08 ==<br />
===a)===<br />
<pre><br />
α β α|β α↓β<br />
1 1 0 0<br />
1 0 1 0<br />
0 1 1 0<br />
0 0 1 1<br />
</pre><br />
Como se puede ver, α|β equivale a NAND y α↓β a NOR.<br />
===b)===<br />
Definimos los conectivos:<br />
<br>Para {|}:<br />
*¬p = p|p<br />
*p٨q = ¬(p|q)<br />
*El resto sale ya que {¬,٨} es adecuado<br />
<br>Para {↓}:<br />
*¬p = p↓p<br />
*p٧q = ¬(p↓q)<br />
*El resto sale ya que {¬,٧} es adecuado<br />
<br />
===c)===<br />
<br />
== Ejercicio 09 ==<br />
===a)===<br />
*¬p = *1(p,p,p) = (p→(¬p ٨ p)) = p→0 = ¬p<br />
*p→q = *1(p,¬p,q) = (p→(¬¬p ٨ q)) = (p→(p ٨ q)) = p→q<br />
*El resto sale ya que {¬,→} es adecuado<br />
→ *1 es adecuado<br />
<br />
===b)===<br />
No es adecuado, ya que utiliza el conjunto {٨,→}, que tampoco lo es<br />
<br />
== Ejercicio 10 ==<br />
===a)===<br />
*p→q ya esta definido<br />
*¬p = p→F = ¬p<br />
*p٨q = ¬(p → ¬q)<br />
*p٧q = ¬p → q<br />
→ {F,→} es adecuado<br />
===b)===<br />
No es adecuado (se prueba similar al ej. 7)<br />
<br />
== Ejercicio 11 ==<br />
== Ejercicio 12 ==<br />
== Ejercicio 13 ==<br />
== Ejercicio 14 ==<br />
== Ejercicio 15 ==<br />
== Ejercicio 16 ==<br />
== Ejercicio 17 ==</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_4_(LyC_Verano)&diff=3322Práctica 4 (LyC Verano)2007-02-26T13:53:16Z<p>201.216.244.41: /* a) */</p>
<hr />
<div>== Ejercicio 01 ==<br />
<br>a) v(α) = v(¬p1) = 1<br />
<br>b) v(α) = v( (p5 ٧ 0) → 0 ) = v(p5 → 0) = v(p5) = ?<br />
<br>c) v(α) = v( (0 ٧ 0) → 0 ) = v(0 → 0) = 1<br />
<br>d) v(α) = v(¬p4) = ?<br />
<br>e) v(α) = v( (p8 → p5)→(p8 ٨ p0) ) = ?<br />
<br />
== Ejercicio 02 ==<br />
===a)===<br />
<br>1) v(α1) = 1 ↔ p1=0 ٧ p3=1 ٧ p1=1<br />
<br>2) v(α2) = 1 ↔ p2=1 ٧ (p3=0 ٨ p1=0)<br />
<br>3) v(α3) = 1 ↔ (p2=0 ٨ p3=0) ٧ (p2=1) ٧ (p5=0 ٧ p3=1)<br />
===b)===<br />
<br>1) Esto vale si pasa a.1) ٨ <br />
<math> (\forall j) pj \notin Var(\alpha1) \rightarrow pj=0 </math><br />
<br>2) Idem 1) para α2<br />
<br>3) Idem 1) para α3<br />
<br />
== Ejercicio 03 ==<br />
(Para simplificar, T=tautologia, F=contradiccion, C=contingencia)<br />
<br>a) v(α٨β)=1 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=1 ↔ α T y β T<br />
<br>b) v(α٧β)=0 ↔ ¬v(α)=1 ٨ ¬v(β)=1 ↔ v(α)=0 ٨ v(β)=0 ↔ α F y β F<br />
<br>c) v(α→β)=0 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=0 ↔ α T y β F<br />
<br>d)<br />
<br> ←) Si v(α)=0 ٧ v(β)=1 → v(α→β)=1<br />
<br> →) Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β F → v(α→β)=0<br />
*α T y β C → v(α→β)=0 si v(β)=0<br />
*α C y β F → v(α→β)=0 si v(α)=1<br />
*α C y β C → Sea el caso α=β → v(α→β)=1, pero α C y β C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 04 ==<br />
===a)===<br />
Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β T → v(α٨β)=1<br />
*α T y β F → v(α٨β)=0<br />
*α F y β T → v(α٨β)=0<br />
*α F y β F → v(α٨β)=0<br />
→ α٨β nunca es C (ABS)<br />
===b)===<br />
Sup que no. Hay 2 casos:<br />
*α٨β T → α T y β T<br />
*α٨β F → α F o β F<br />
→ α y β nunca son ambas C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 05 ==<br />
Pueden pasar 2 cosas: v(α)=0 ٨ v(pi)=1 o v(α)=1 ٨ v(pi)=0 → Vale si α=¬pi<br />
<br />
== Ejercicio 06 ==<br />
== Ejercicio 07 ==<br />
===a)===<br />
Definimos todos los conectivos en funcion a los elementos para cada conjunto:<br />
<br>1) {¬,٨,٧}<br />
* ¬p, p٨q, p٧q ya estan definidos<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>2) {¬,٨}<br />
* ¬p, p٨q ya estan definidos<br />
* p٧q = ¬(¬p ٨ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>3) {¬,٧}<br />
* ¬p, p٧q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(¬p ٧ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>4) {¬,→}<br />
* ¬p, p→q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(p → ¬q)<br />
* p٧q = ¬p → q<br />
===b)===<br />
<br> 1) {¬} Como α solo usa el ¬, α siempre sera contingencia<br />
<br> 2) {٧,٨} Sup que lo es. Sea f | f(p)=1 para todo p, y vf la valuacion que extiende a f. Usando induccion en complejidad de α:<br />
*Si α=p → vf(α)=vf(p)=1<br />
*Si α=p٧q → vf(α)=vf(p٧q)=max{vf(p),vf(q)}=max{1,1}=1<br />
*Si α=p٨q → vf(α)=vf(p٨q)=min{vf(p),vf(q)}=min{1,1}=1<br />
→ No es posible construir un α tq α=¬p, por lo que no hay un v | v(α)=0 → No es adecuado (ABS)<br />
<br> 3) {٧,→} Sale muy similar a 2), si tomamos<br />
*Si α=p→q → vf(α)=vf(p→q)=max{1-vf(p),vf(q)}=max{0,1}=1<br />
→ Volvemos a obtener un ABS<br />
<br />
== Ejercicio 08 ==<br />
===a)===<br />
<pre><br />
α β α|β α↓β<br />
1 1 0 0<br />
1 0 1 0<br />
0 1 1 0<br />
0 0 1 1<br />
</pre><br />
Como se puede ver, α|β equivale a NAND y α↓β a NOR.<br />
===b)===<br />
Definimos los conectivos:<br />
<br>Para {|}:<br />
*¬p = p|p<br />
*p٨q = ¬(p|q)<br />
*El resto sale ya que {¬,٨} es adecuado<br />
<br>Para {↓}:<br />
*¬p = p↓p<br />
*p٧q = ¬(p↓q)<br />
*El resto sale ya que {¬,٧} es adecuado<br />
<br />
===c)===<br />
<br />
== Ejercicio 09 ==<br />
===a)===<br />
*¬p = *1(p,p,p) = (p→(¬p ٨ p)) = p→0 = ¬p<br />
*p→q = *1(p,¬p,q) = (p→(¬¬p ٨ q)) = (p→(p ٨ q)) = p→q<br />
*El resto sale ya qye {¬,→} es adecuado<br />
→ *1 es adecuado<br />
<br />
===b)===<br />
No es adecuado, ya que utiliza el conjunto {٨,→}, que tampoco lo es<br />
<br />
== Ejercicio 10 ==<br />
===a)===<br />
*p→q ya esta definido<br />
*¬p = p→F = ¬p<br />
*p٨q = ¬(p → ¬q)<br />
*p٧q = ¬p → q<br />
→ {F,→} es adecuado<br />
===b)===<br />
No es adecuado (se prueba similar al ej. 7)<br />
<br />
== Ejercicio 11 ==<br />
== Ejercicio 12 ==<br />
== Ejercicio 13 ==<br />
== Ejercicio 14 ==<br />
== Ejercicio 15 ==<br />
== Ejercicio 16 ==<br />
== Ejercicio 17 ==</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_4_(LyC_Verano)&diff=3321Práctica 4 (LyC Verano)2007-02-26T13:52:31Z<p>201.216.244.41: /* Ejercicio 08 */</p>
<hr />
<div>== Ejercicio 01 ==<br />
<br>a) v(α) = v(¬p1) = 1<br />
<br>b) v(α) = v( (p5 ٧ 0) → 0 ) = v(p5 → 0) = v(p5) = ?<br />
<br>c) v(α) = v( (0 ٧ 0) → 0 ) = v(0 → 0) = 1<br />
<br>d) v(α) = v(¬p4) = ?<br />
<br>e) v(α) = v( (p8 → p5)→(p8 ٨ p0) ) = ?<br />
<br />
== Ejercicio 02 ==<br />
===a)===<br />
<br>1) v(α1) = 1 ↔ p1=0 ٧ p3=1 ٧ p1=1<br />
<br>2) v(α2) = 1 ↔ p2=1 ٧ (p3=0 ٨ p1=0)<br />
<br>3) v(α3) = 1 ↔ (p2=0 ٨ p3=0) ٧ (p2=1) ٧ (p5=0 ٧ p3=1)<br />
===b)===<br />
<br>1) Esto vale si pasa a.1) ٨ <br />
<math> (\forall j) pj \notin Var(\alpha1) \rightarrow pj=0 </math><br />
<br>2) Idem 1) para α2<br />
<br>3) Idem 1) para α3<br />
<br />
== Ejercicio 03 ==<br />
(Para simplificar, T=tautologia, F=contradiccion, C=contingencia)<br />
<br>a) v(α٨β)=1 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=1 ↔ α T y β T<br />
<br>b) v(α٧β)=0 ↔ ¬v(α)=1 ٨ ¬v(β)=1 ↔ v(α)=0 ٨ v(β)=0 ↔ α F y β F<br />
<br>c) v(α→β)=0 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=0 ↔ α T y β F<br />
<br>d)<br />
<br> ←) Si v(α)=0 ٧ v(β)=1 → v(α→β)=1<br />
<br> →) Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β F → v(α→β)=0<br />
*α T y β C → v(α→β)=0 si v(β)=0<br />
*α C y β F → v(α→β)=0 si v(α)=1<br />
*α C y β C → Sea el caso α=β → v(α→β)=1, pero α C y β C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 04 ==<br />
===a)===<br />
Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β T → v(α٨β)=1<br />
*α T y β F → v(α٨β)=0<br />
*α F y β T → v(α٨β)=0<br />
*α F y β F → v(α٨β)=0<br />
→ α٨β nunca es C (ABS)<br />
===b)===<br />
Sup que no. Hay 2 casos:<br />
*α٨β T → α T y β T<br />
*α٨β F → α F o β F<br />
→ α y β nunca son ambas C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 05 ==<br />
Pueden pasar 2 cosas: v(α)=0 ٨ v(pi)=1 o v(α)=1 ٨ v(pi)=0 → Vale si α=¬pi<br />
<br />
== Ejercicio 06 ==<br />
== Ejercicio 07 ==<br />
===a)===<br />
Definimos todos los conectivos en funcion a los elementos para cada conjunto:<br />
<br>1) {¬,٨,٧}<br />
* ¬p, p٨q, p٧q ya estan definidos<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>2) {¬,٨}<br />
* ¬p, p٨q ya estan definidos<br />
* p٧q = ¬(¬p ٨ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>3) {¬,٧}<br />
* ¬p, p٧q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(¬p ٧ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>4) {¬,→}<br />
* ¬p, p→q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(p → ¬q)<br />
* p٧q = ¬p → q<br />
===b)===<br />
<br> 1) {¬} Como α solo usa el ¬, α siempre sera contingencia<br />
<br> 2) {٧,٨} Sup que lo es. Sea f | f(p)=1 para todo p, y vf la valuacion que extiende a f. Usando induccion en complejidad de α:<br />
*Si α=p → vf(α)=vf(p)=1<br />
*Si α=p٧q → vf(α)=vf(p٧q)=max{vf(p),vf(q)}=max{1,1}=1<br />
*Si α=p٨q → vf(α)=vf(p٨q)=min{vf(p),vf(q)}=min{1,1}=1<br />
→ No es posible construir un α tq α=¬p, por lo que no hay un v | v(α)=0 → No es adecuado (ABS)<br />
<br> 3) {٧,→} Sale muy similar a 2), si tomamos<br />
*Si α=p→q → vf(α)=vf(p→q)=max{1-vf(p),vf(q)}=max{0,1}=1<br />
→ Volvemos a obtener un ABS<br />
<br />
== Ejercicio 08 ==<br />
===a)===<br />
<pre><br />
α β α|β α↓β<br />
1 1 0 0<br />
1 0 1 0<br />
0 1 1 0<br />
0 0 1 1<br />
</pre><br />
Como se puede ver, α|β equivale a NAND y α↓β a NOR.<br />
===b)===<br />
Definimos los conectivos:<br />
<br>Para {|}:<br />
*¬p = p|p<br />
*p٨q = ¬(p|q)<br />
*El resto sale ya que {¬,٨} es adecuado<br />
<br>Para {↓}:<br />
*¬p = p↓p<br />
*p٧q = ¬(p↓q)<br />
*El resto sale ya que {¬,٧} es adecuado<br />
<br />
===c)===<br />
<br />
== Ejercicio 09 ==<br />
===a)===<br />
*¬p = *1(p,p,p) = (p→(¬p ٨ p)) = p→0 = ¬p<br />
*p→q = *1(p,¬p,q) = (p→(¬¬p ٨ q)) = (p→(p ٨ q)) = p→q<br />
*p٨q = ¬(p → ¬q)<br />
*p٧q = ¬p → q<br />
→ *1 es adecuado<br />
===b)===<br />
No es adecuado, ya que utiliza el conjunto {٨,→}, que tampoco lo es<br />
<br />
== Ejercicio 10 ==<br />
===a)===<br />
*p→q ya esta definido<br />
*¬p = p→F = ¬p<br />
*p٨q = ¬(p → ¬q)<br />
*p٧q = ¬p → q<br />
→ {F,→} es adecuado<br />
===b)===<br />
No es adecuado (se prueba similar al ej. 7)<br />
<br />
== Ejercicio 11 ==<br />
== Ejercicio 12 ==<br />
== Ejercicio 13 ==<br />
== Ejercicio 14 ==<br />
== Ejercicio 15 ==<br />
== Ejercicio 16 ==<br />
== Ejercicio 17 ==</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_4_(LyC_Verano)&diff=3320Práctica 4 (LyC Verano)2007-02-26T13:29:41Z<p>201.216.244.41: /* Ejercicio 10 */</p>
<hr />
<div>== Ejercicio 01 ==<br />
<br>a) v(α) = v(¬p1) = 1<br />
<br>b) v(α) = v( (p5 ٧ 0) → 0 ) = v(p5 → 0) = v(p5) = ?<br />
<br>c) v(α) = v( (0 ٧ 0) → 0 ) = v(0 → 0) = 1<br />
<br>d) v(α) = v(¬p4) = ?<br />
<br>e) v(α) = v( (p8 → p5)→(p8 ٨ p0) ) = ?<br />
<br />
== Ejercicio 02 ==<br />
===a)===<br />
<br>1) v(α1) = 1 ↔ p1=0 ٧ p3=1 ٧ p1=1<br />
<br>2) v(α2) = 1 ↔ p2=1 ٧ (p3=0 ٨ p1=0)<br />
<br>3) v(α3) = 1 ↔ (p2=0 ٨ p3=0) ٧ (p2=1) ٧ (p5=0 ٧ p3=1)<br />
===b)===<br />
<br>1) Esto vale si pasa a.1) ٨ <br />
<math> (\forall j) pj \notin Var(\alpha1) \rightarrow pj=0 </math><br />
<br>2) Idem 1) para α2<br />
<br>3) Idem 1) para α3<br />
<br />
== Ejercicio 03 ==<br />
(Para simplificar, T=tautologia, F=contradiccion, C=contingencia)<br />
<br>a) v(α٨β)=1 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=1 ↔ α T y β T<br />
<br>b) v(α٧β)=0 ↔ ¬v(α)=1 ٨ ¬v(β)=1 ↔ v(α)=0 ٨ v(β)=0 ↔ α F y β F<br />
<br>c) v(α→β)=0 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=0 ↔ α T y β F<br />
<br>d)<br />
<br> ←) Si v(α)=0 ٧ v(β)=1 → v(α→β)=1<br />
<br> →) Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β F → v(α→β)=0<br />
*α T y β C → v(α→β)=0 si v(β)=0<br />
*α C y β F → v(α→β)=0 si v(α)=1<br />
*α C y β C → Sea el caso α=β → v(α→β)=1, pero α C y β C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 04 ==<br />
===a)===<br />
Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β T → v(α٨β)=1<br />
*α T y β F → v(α٨β)=0<br />
*α F y β T → v(α٨β)=0<br />
*α F y β F → v(α٨β)=0<br />
→ α٨β nunca es C (ABS)<br />
===b)===<br />
Sup que no. Hay 2 casos:<br />
*α٨β T → α T y β T<br />
*α٨β F → α F o β F<br />
→ α y β nunca son ambas C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 05 ==<br />
Pueden pasar 2 cosas: v(α)=0 ٨ v(pi)=1 o v(α)=1 ٨ v(pi)=0 → Vale si α=¬pi<br />
<br />
== Ejercicio 06 ==<br />
== Ejercicio 07 ==<br />
===a)===<br />
Definimos todos los conectivos en funcion a los elementos para cada conjunto:<br />
<br>1) {¬,٨,٧}<br />
* ¬p, p٨q, p٧q ya estan definidos<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>2) {¬,٨}<br />
* ¬p, p٨q ya estan definidos<br />
* p٧q = ¬(¬p ٨ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>3) {¬,٧}<br />
* ¬p, p٧q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(¬p ٧ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>4) {¬,→}<br />
* ¬p, p→q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(p → ¬q)<br />
* p٧q = ¬p → q<br />
===b)===<br />
<br> 1) {¬} Como α solo usa el ¬, α siempre sera contingencia<br />
<br> 2) {٧,٨} Sup que lo es. Sea f | f(p)=1 para todo p, y vf la valuacion que extiende a f. Usando induccion en complejidad de α:<br />
*Si α=p → vf(α)=vf(p)=1<br />
*Si α=p٧q → vf(α)=vf(p٧q)=max{vf(p),vf(q)}=max{1,1}=1<br />
*Si α=p٨q → vf(α)=vf(p٨q)=min{vf(p),vf(q)}=min{1,1}=1<br />
→ No es posible construir un α tq α=¬p, por lo que no hay un v | v(α)=0 → No es adecuado (ABS)<br />
<br> 3) {٧,→} Sale muy similar a 2), si tomamos<br />
*Si α=p→q → vf(α)=vf(p→q)=max{1-vf(p),vf(q)}=max{0,1}=1<br />
→ Volvemos a obtener un ABS<br />
<br />
== Ejercicio 08 ==<br />
===a)===<br />
<pre><br />
α β α|β α↓β<br />
1 1 0 0<br />
1 0 1 0<br />
0 1 1 0<br />
0 0 1 1<br />
</pre><br />
Como se puede ver, α|β equivale a NAND y α↓β a NOR.<br />
===b)===<br />
Definimos los conectivos:<br />
<br>Para {|}:<br />
*¬p = p|p<br />
*p٨q = ¬(p|q)<br />
*p٧q = ¬(¬p ٨ ¬q)<br />
*p→q = ¬p ٧ q<br />
<br>Para {↓}:<br />
*¬p = p↓p<br />
*p٧q = ¬(p↓q)<br />
*p٨q = ¬(¬p ٧ ¬q)<br />
*p→q = ¬p ٧ q<br />
<br />
===c)===<br />
<br />
== Ejercicio 09 ==<br />
===a)===<br />
*¬p = *1(p,p,p) = (p→(¬p ٨ p)) = p→0 = ¬p<br />
*p→q = *1(p,¬p,q) = (p→(¬¬p ٨ q)) = (p→(p ٨ q)) = p→q<br />
*p٨q = ¬(p → ¬q)<br />
*p٧q = ¬p → q<br />
→ *1 es adecuado<br />
===b)===<br />
No es adecuado, ya que utiliza el conjunto {٨,→}, que tampoco lo es<br />
<br />
== Ejercicio 10 ==<br />
===a)===<br />
*p→q ya esta definido<br />
*¬p = p→F = ¬p<br />
*p٨q = ¬(p → ¬q)<br />
*p٧q = ¬p → q<br />
→ {F,→} es adecuado<br />
===b)===<br />
No es adecuado (se prueba similar al ej. 7)<br />
<br />
== Ejercicio 11 ==<br />
== Ejercicio 12 ==<br />
== Ejercicio 13 ==<br />
== Ejercicio 14 ==<br />
== Ejercicio 15 ==<br />
== Ejercicio 16 ==<br />
== Ejercicio 17 ==</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_4_(LyC_Verano)&diff=3319Práctica 4 (LyC Verano)2007-02-26T13:23:23Z<p>201.216.244.41: /* Ejercicio 09 */</p>
<hr />
<div>== Ejercicio 01 ==<br />
<br>a) v(α) = v(¬p1) = 1<br />
<br>b) v(α) = v( (p5 ٧ 0) → 0 ) = v(p5 → 0) = v(p5) = ?<br />
<br>c) v(α) = v( (0 ٧ 0) → 0 ) = v(0 → 0) = 1<br />
<br>d) v(α) = v(¬p4) = ?<br />
<br>e) v(α) = v( (p8 → p5)→(p8 ٨ p0) ) = ?<br />
<br />
== Ejercicio 02 ==<br />
===a)===<br />
<br>1) v(α1) = 1 ↔ p1=0 ٧ p3=1 ٧ p1=1<br />
<br>2) v(α2) = 1 ↔ p2=1 ٧ (p3=0 ٨ p1=0)<br />
<br>3) v(α3) = 1 ↔ (p2=0 ٨ p3=0) ٧ (p2=1) ٧ (p5=0 ٧ p3=1)<br />
===b)===<br />
<br>1) Esto vale si pasa a.1) ٨ <br />
<math> (\forall j) pj \notin Var(\alpha1) \rightarrow pj=0 </math><br />
<br>2) Idem 1) para α2<br />
<br>3) Idem 1) para α3<br />
<br />
== Ejercicio 03 ==<br />
(Para simplificar, T=tautologia, F=contradiccion, C=contingencia)<br />
<br>a) v(α٨β)=1 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=1 ↔ α T y β T<br />
<br>b) v(α٧β)=0 ↔ ¬v(α)=1 ٨ ¬v(β)=1 ↔ v(α)=0 ٨ v(β)=0 ↔ α F y β F<br />
<br>c) v(α→β)=0 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=0 ↔ α T y β F<br />
<br>d)<br />
<br> ←) Si v(α)=0 ٧ v(β)=1 → v(α→β)=1<br />
<br> →) Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β F → v(α→β)=0<br />
*α T y β C → v(α→β)=0 si v(β)=0<br />
*α C y β F → v(α→β)=0 si v(α)=1<br />
*α C y β C → Sea el caso α=β → v(α→β)=1, pero α C y β C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 04 ==<br />
===a)===<br />
Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β T → v(α٨β)=1<br />
*α T y β F → v(α٨β)=0<br />
*α F y β T → v(α٨β)=0<br />
*α F y β F → v(α٨β)=0<br />
→ α٨β nunca es C (ABS)<br />
===b)===<br />
Sup que no. Hay 2 casos:<br />
*α٨β T → α T y β T<br />
*α٨β F → α F o β F<br />
→ α y β nunca son ambas C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 05 ==<br />
Pueden pasar 2 cosas: v(α)=0 ٨ v(pi)=1 o v(α)=1 ٨ v(pi)=0 → Vale si α=¬pi<br />
<br />
== Ejercicio 06 ==<br />
== Ejercicio 07 ==<br />
===a)===<br />
Definimos todos los conectivos en funcion a los elementos para cada conjunto:<br />
<br>1) {¬,٨,٧}<br />
* ¬p, p٨q, p٧q ya estan definidos<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>2) {¬,٨}<br />
* ¬p, p٨q ya estan definidos<br />
* p٧q = ¬(¬p ٨ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>3) {¬,٧}<br />
* ¬p, p٧q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(¬p ٧ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>4) {¬,→}<br />
* ¬p, p→q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(p → ¬q)<br />
* p٧q = ¬p → q<br />
===b)===<br />
<br> 1) {¬} Como α solo usa el ¬, α siempre sera contingencia<br />
<br> 2) {٧,٨} Sup que lo es. Sea f | f(p)=1 para todo p, y vf la valuacion que extiende a f. Usando induccion en complejidad de α:<br />
*Si α=p → vf(α)=vf(p)=1<br />
*Si α=p٧q → vf(α)=vf(p٧q)=max{vf(p),vf(q)}=max{1,1}=1<br />
*Si α=p٨q → vf(α)=vf(p٨q)=min{vf(p),vf(q)}=min{1,1}=1<br />
→ No es posible construir un α tq α=¬p, por lo que no hay un v | v(α)=0 → No es adecuado (ABS)<br />
<br> 3) {٧,→} Sale muy similar a 2), si tomamos<br />
*Si α=p→q → vf(α)=vf(p→q)=max{1-vf(p),vf(q)}=max{0,1}=1<br />
→ Volvemos a obtener un ABS<br />
<br />
== Ejercicio 08 ==<br />
===a)===<br />
<pre><br />
α β α|β α↓β<br />
1 1 0 0<br />
1 0 1 0<br />
0 1 1 0<br />
0 0 1 1<br />
</pre><br />
Como se puede ver, α|β equivale a NAND y α↓β a NOR.<br />
===b)===<br />
Definimos los conectivos:<br />
<br>Para {|}:<br />
*¬p = p|p<br />
*p٨q = ¬(p|q)<br />
*p٧q = ¬(¬p ٨ ¬q)<br />
*p→q = ¬p ٧ q<br />
<br>Para {↓}:<br />
*¬p = p↓p<br />
*p٧q = ¬(p↓q)<br />
*p٨q = ¬(¬p ٧ ¬q)<br />
*p→q = ¬p ٧ q<br />
<br />
===c)===<br />
<br />
== Ejercicio 09 ==<br />
===a)===<br />
*¬p = *1(p,p,p) = (p→(¬p ٨ p)) = p→0 = ¬p<br />
*p→q = *1(p,¬p,q) = (p→(¬¬p ٨ q)) = (p→(p ٨ q)) = p→q<br />
*p٨q = ¬(p → ¬q)<br />
*p٧q = ¬p → q<br />
→ *1 es adecuado<br />
===b)===<br />
No es adecuado, ya que utiliza el conjunto {٨,→}, que tampoco lo es<br />
<br />
== Ejercicio 10 ==<br />
== Ejercicio 11 ==<br />
== Ejercicio 12 ==<br />
== Ejercicio 13 ==<br />
== Ejercicio 14 ==<br />
== Ejercicio 15 ==<br />
== Ejercicio 16 ==<br />
== Ejercicio 17 ==</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_4_(LyC_Verano)&diff=3318Práctica 4 (LyC Verano)2007-02-26T13:18:14Z<p>201.216.244.41: /* b) */</p>
<hr />
<div>== Ejercicio 01 ==<br />
<br>a) v(α) = v(¬p1) = 1<br />
<br>b) v(α) = v( (p5 ٧ 0) → 0 ) = v(p5 → 0) = v(p5) = ?<br />
<br>c) v(α) = v( (0 ٧ 0) → 0 ) = v(0 → 0) = 1<br />
<br>d) v(α) = v(¬p4) = ?<br />
<br>e) v(α) = v( (p8 → p5)→(p8 ٨ p0) ) = ?<br />
<br />
== Ejercicio 02 ==<br />
===a)===<br />
<br>1) v(α1) = 1 ↔ p1=0 ٧ p3=1 ٧ p1=1<br />
<br>2) v(α2) = 1 ↔ p2=1 ٧ (p3=0 ٨ p1=0)<br />
<br>3) v(α3) = 1 ↔ (p2=0 ٨ p3=0) ٧ (p2=1) ٧ (p5=0 ٧ p3=1)<br />
===b)===<br />
<br>1) Esto vale si pasa a.1) ٨ <br />
<math> (\forall j) pj \notin Var(\alpha1) \rightarrow pj=0 </math><br />
<br>2) Idem 1) para α2<br />
<br>3) Idem 1) para α3<br />
<br />
== Ejercicio 03 ==<br />
(Para simplificar, T=tautologia, F=contradiccion, C=contingencia)<br />
<br>a) v(α٨β)=1 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=1 ↔ α T y β T<br />
<br>b) v(α٧β)=0 ↔ ¬v(α)=1 ٨ ¬v(β)=1 ↔ v(α)=0 ٨ v(β)=0 ↔ α F y β F<br />
<br>c) v(α→β)=0 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=0 ↔ α T y β F<br />
<br>d)<br />
<br> ←) Si v(α)=0 ٧ v(β)=1 → v(α→β)=1<br />
<br> →) Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β F → v(α→β)=0<br />
*α T y β C → v(α→β)=0 si v(β)=0<br />
*α C y β F → v(α→β)=0 si v(α)=1<br />
*α C y β C → Sea el caso α=β → v(α→β)=1, pero α C y β C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 04 ==<br />
===a)===<br />
Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β T → v(α٨β)=1<br />
*α T y β F → v(α٨β)=0<br />
*α F y β T → v(α٨β)=0<br />
*α F y β F → v(α٨β)=0<br />
→ α٨β nunca es C (ABS)<br />
===b)===<br />
Sup que no. Hay 2 casos:<br />
*α٨β T → α T y β T<br />
*α٨β F → α F o β F<br />
→ α y β nunca son ambas C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 05 ==<br />
Pueden pasar 2 cosas: v(α)=0 ٨ v(pi)=1 o v(α)=1 ٨ v(pi)=0 → Vale si α=¬pi<br />
<br />
== Ejercicio 06 ==<br />
== Ejercicio 07 ==<br />
===a)===<br />
Definimos todos los conectivos en funcion a los elementos para cada conjunto:<br />
<br>1) {¬,٨,٧}<br />
* ¬p, p٨q, p٧q ya estan definidos<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>2) {¬,٨}<br />
* ¬p, p٨q ya estan definidos<br />
* p٧q = ¬(¬p ٨ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>3) {¬,٧}<br />
* ¬p, p٧q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(¬p ٧ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>4) {¬,→}<br />
* ¬p, p→q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(p → ¬q)<br />
* p٧q = ¬p → q<br />
===b)===<br />
<br> 1) {¬} Como α solo usa el ¬, α siempre sera contingencia<br />
<br> 2) {٧,٨} Sup que lo es. Sea f | f(p)=1 para todo p, y vf la valuacion que extiende a f. Usando induccion en complejidad de α:<br />
*Si α=p → vf(α)=vf(p)=1<br />
*Si α=p٧q → vf(α)=vf(p٧q)=max{vf(p),vf(q)}=max{1,1}=1<br />
*Si α=p٨q → vf(α)=vf(p٨q)=min{vf(p),vf(q)}=min{1,1}=1<br />
→ No es posible construir un α tq α=¬p, por lo que no hay un v | v(α)=0 → No es adecuado (ABS)<br />
<br> 3) {٧,→} Sale muy similar a 2), si tomamos<br />
*Si α=p→q → vf(α)=vf(p→q)=max{1-vf(p),vf(q)}=max{0,1}=1<br />
→ Volvemos a obtener un ABS<br />
<br />
== Ejercicio 08 ==<br />
===a)===<br />
<pre><br />
α β α|β α↓β<br />
1 1 0 0<br />
1 0 1 0<br />
0 1 1 0<br />
0 0 1 1<br />
</pre><br />
Como se puede ver, α|β equivale a NAND y α↓β a NOR.<br />
===b)===<br />
Definimos los conectivos:<br />
<br>Para {|}:<br />
*¬p = p|p<br />
*p٨q = ¬(p|q)<br />
*p٧q = ¬(¬p ٨ ¬q)<br />
*p→q = ¬p ٧ q<br />
<br>Para {↓}:<br />
*¬p = p↓p<br />
*p٧q = ¬(p↓q)<br />
*p٨q = ¬(¬p ٧ ¬q)<br />
*p→q = ¬p ٧ q<br />
<br />
===c)===<br />
<br />
== Ejercicio 09 ==<br />
== Ejercicio 10 ==<br />
== Ejercicio 11 ==<br />
== Ejercicio 12 ==<br />
== Ejercicio 13 ==<br />
== Ejercicio 14 ==<br />
== Ejercicio 15 ==<br />
== Ejercicio 16 ==<br />
== Ejercicio 17 ==</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_4_(LyC_Verano)&diff=3317Práctica 4 (LyC Verano)2007-02-26T13:17:52Z<p>201.216.244.41: /* Ejercicio 08 */</p>
<hr />
<div>== Ejercicio 01 ==<br />
<br>a) v(α) = v(¬p1) = 1<br />
<br>b) v(α) = v( (p5 ٧ 0) → 0 ) = v(p5 → 0) = v(p5) = ?<br />
<br>c) v(α) = v( (0 ٧ 0) → 0 ) = v(0 → 0) = 1<br />
<br>d) v(α) = v(¬p4) = ?<br />
<br>e) v(α) = v( (p8 → p5)→(p8 ٨ p0) ) = ?<br />
<br />
== Ejercicio 02 ==<br />
===a)===<br />
<br>1) v(α1) = 1 ↔ p1=0 ٧ p3=1 ٧ p1=1<br />
<br>2) v(α2) = 1 ↔ p2=1 ٧ (p3=0 ٨ p1=0)<br />
<br>3) v(α3) = 1 ↔ (p2=0 ٨ p3=0) ٧ (p2=1) ٧ (p5=0 ٧ p3=1)<br />
===b)===<br />
<br>1) Esto vale si pasa a.1) ٨ <br />
<math> (\forall j) pj \notin Var(\alpha1) \rightarrow pj=0 </math><br />
<br>2) Idem 1) para α2<br />
<br>3) Idem 1) para α3<br />
<br />
== Ejercicio 03 ==<br />
(Para simplificar, T=tautologia, F=contradiccion, C=contingencia)<br />
<br>a) v(α٨β)=1 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=1 ↔ α T y β T<br />
<br>b) v(α٧β)=0 ↔ ¬v(α)=1 ٨ ¬v(β)=1 ↔ v(α)=0 ٨ v(β)=0 ↔ α F y β F<br />
<br>c) v(α→β)=0 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=0 ↔ α T y β F<br />
<br>d)<br />
<br> ←) Si v(α)=0 ٧ v(β)=1 → v(α→β)=1<br />
<br> →) Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β F → v(α→β)=0<br />
*α T y β C → v(α→β)=0 si v(β)=0<br />
*α C y β F → v(α→β)=0 si v(α)=1<br />
*α C y β C → Sea el caso α=β → v(α→β)=1, pero α C y β C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 04 ==<br />
===a)===<br />
Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β T → v(α٨β)=1<br />
*α T y β F → v(α٨β)=0<br />
*α F y β T → v(α٨β)=0<br />
*α F y β F → v(α٨β)=0<br />
→ α٨β nunca es C (ABS)<br />
===b)===<br />
Sup que no. Hay 2 casos:<br />
*α٨β T → α T y β T<br />
*α٨β F → α F o β F<br />
→ α y β nunca son ambas C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 05 ==<br />
Pueden pasar 2 cosas: v(α)=0 ٨ v(pi)=1 o v(α)=1 ٨ v(pi)=0 → Vale si α=¬pi<br />
<br />
== Ejercicio 06 ==<br />
== Ejercicio 07 ==<br />
===a)===<br />
Definimos todos los conectivos en funcion a los elementos para cada conjunto:<br />
<br>1) {¬,٨,٧}<br />
* ¬p, p٨q, p٧q ya estan definidos<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>2) {¬,٨}<br />
* ¬p, p٨q ya estan definidos<br />
* p٧q = ¬(¬p ٨ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>3) {¬,٧}<br />
* ¬p, p٧q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(¬p ٧ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>4) {¬,→}<br />
* ¬p, p→q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(p → ¬q)<br />
* p٧q = ¬p → q<br />
===b)===<br />
<br> 1) {¬} Como α solo usa el ¬, α siempre sera contingencia<br />
<br> 2) {٧,٨} Sup que lo es. Sea f | f(p)=1 para todo p, y vf la valuacion que extiende a f. Usando induccion en complejidad de α:<br />
*Si α=p → vf(α)=vf(p)=1<br />
*Si α=p٧q → vf(α)=vf(p٧q)=max{vf(p),vf(q)}=max{1,1}=1<br />
*Si α=p٨q → vf(α)=vf(p٨q)=min{vf(p),vf(q)}=min{1,1}=1<br />
→ No es posible construir un α tq α=¬p, por lo que no hay un v | v(α)=0 → No es adecuado (ABS)<br />
<br> 3) {٧,→} Sale muy similar a 2), si tomamos<br />
*Si α=p→q → vf(α)=vf(p→q)=max{1-vf(p),vf(q)}=max{0,1}=1<br />
→ Volvemos a obtener un ABS<br />
<br />
== Ejercicio 08 ==<br />
===a)===<br />
<pre><br />
α β α|β α↓β<br />
1 1 0 0<br />
1 0 1 0<br />
0 1 1 0<br />
0 0 1 1<br />
</pre><br />
Como se puede ver, α|β equivale a NAND y α↓β a NOR.<br />
===b)===<br />
Definimos los conectivos:<br />
<br>Para {|}:<br />
*¬p = p|p<br />
*p٨q = ¬(p|q)<br />
*p٧q = ¬(¬p ٧ ¬q)<br />
*p→q = ¬p ٧ q<br />
<br>Para {↓}:<br />
*¬p = p↓p<br />
*p٧q = ¬(p↓q)<br />
*p٨q = ¬(¬p ٧ ¬q)<br />
*p→q = ¬p ٧ q<br />
===c)===<br />
<br />
== Ejercicio 09 ==<br />
== Ejercicio 10 ==<br />
== Ejercicio 11 ==<br />
== Ejercicio 12 ==<br />
== Ejercicio 13 ==<br />
== Ejercicio 14 ==<br />
== Ejercicio 15 ==<br />
== Ejercicio 16 ==<br />
== Ejercicio 17 ==</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_4_(LyC_Verano)&diff=3316Práctica 4 (LyC Verano)2007-02-26T13:17:09Z<p>201.216.244.41: /* Ejercicio 08 */</p>
<hr />
<div>== Ejercicio 01 ==<br />
<br>a) v(α) = v(¬p1) = 1<br />
<br>b) v(α) = v( (p5 ٧ 0) → 0 ) = v(p5 → 0) = v(p5) = ?<br />
<br>c) v(α) = v( (0 ٧ 0) → 0 ) = v(0 → 0) = 1<br />
<br>d) v(α) = v(¬p4) = ?<br />
<br>e) v(α) = v( (p8 → p5)→(p8 ٨ p0) ) = ?<br />
<br />
== Ejercicio 02 ==<br />
===a)===<br />
<br>1) v(α1) = 1 ↔ p1=0 ٧ p3=1 ٧ p1=1<br />
<br>2) v(α2) = 1 ↔ p2=1 ٧ (p3=0 ٨ p1=0)<br />
<br>3) v(α3) = 1 ↔ (p2=0 ٨ p3=0) ٧ (p2=1) ٧ (p5=0 ٧ p3=1)<br />
===b)===<br />
<br>1) Esto vale si pasa a.1) ٨ <br />
<math> (\forall j) pj \notin Var(\alpha1) \rightarrow pj=0 </math><br />
<br>2) Idem 1) para α2<br />
<br>3) Idem 1) para α3<br />
<br />
== Ejercicio 03 ==<br />
(Para simplificar, T=tautologia, F=contradiccion, C=contingencia)<br />
<br>a) v(α٨β)=1 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=1 ↔ α T y β T<br />
<br>b) v(α٧β)=0 ↔ ¬v(α)=1 ٨ ¬v(β)=1 ↔ v(α)=0 ٨ v(β)=0 ↔ α F y β F<br />
<br>c) v(α→β)=0 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=0 ↔ α T y β F<br />
<br>d)<br />
<br> ←) Si v(α)=0 ٧ v(β)=1 → v(α→β)=1<br />
<br> →) Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β F → v(α→β)=0<br />
*α T y β C → v(α→β)=0 si v(β)=0<br />
*α C y β F → v(α→β)=0 si v(α)=1<br />
*α C y β C → Sea el caso α=β → v(α→β)=1, pero α C y β C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 04 ==<br />
===a)===<br />
Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β T → v(α٨β)=1<br />
*α T y β F → v(α٨β)=0<br />
*α F y β T → v(α٨β)=0<br />
*α F y β F → v(α٨β)=0<br />
→ α٨β nunca es C (ABS)<br />
===b)===<br />
Sup que no. Hay 2 casos:<br />
*α٨β T → α T y β T<br />
*α٨β F → α F o β F<br />
→ α y β nunca son ambas C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 05 ==<br />
Pueden pasar 2 cosas: v(α)=0 ٨ v(pi)=1 o v(α)=1 ٨ v(pi)=0 → Vale si α=¬pi<br />
<br />
== Ejercicio 06 ==<br />
== Ejercicio 07 ==<br />
===a)===<br />
Definimos todos los conectivos en funcion a los elementos para cada conjunto:<br />
<br>1) {¬,٨,٧}<br />
* ¬p, p٨q, p٧q ya estan definidos<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>2) {¬,٨}<br />
* ¬p, p٨q ya estan definidos<br />
* p٧q = ¬(¬p ٨ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>3) {¬,٧}<br />
* ¬p, p٧q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(¬p ٧ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>4) {¬,→}<br />
* ¬p, p→q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(p → ¬q)<br />
* p٧q = ¬p → q<br />
===b)===<br />
<br> 1) {¬} Como α solo usa el ¬, α siempre sera contingencia<br />
<br> 2) {٧,٨} Sup que lo es. Sea f | f(p)=1 para todo p, y vf la valuacion que extiende a f. Usando induccion en complejidad de α:<br />
*Si α=p → vf(α)=vf(p)=1<br />
*Si α=p٧q → vf(α)=vf(p٧q)=max{vf(p),vf(q)}=max{1,1}=1<br />
*Si α=p٨q → vf(α)=vf(p٨q)=min{vf(p),vf(q)}=min{1,1}=1<br />
→ No es posible construir un α tq α=¬p, por lo que no hay un v | v(α)=0 → No es adecuado (ABS)<br />
<br> 3) {٧,→} Sale muy similar a 2), si tomamos<br />
*Si α=p→q → vf(α)=vf(p→q)=max{1-vf(p),vf(q)}=max{0,1}=1<br />
→ Volvemos a obtener un ABS<br />
<br />
== Ejercicio 08 ==<br />
٧٨←→↔αβγδЄ¬<br />
===a)===<br />
<pre><br />
α β α|β α↓β<br />
1 1 0 0<br />
1 0 1 0<br />
0 1 1 0<br />
0 0 1 1<br />
</pre><br />
Como se puede ver, α|β equivale a NAND y α↓β a NOR.<br />
===b)===<br />
Definimos los conectivos:<br />
<br>Para {|}:<br />
*¬p = p|p<br />
*p٨q = ¬(p|q)<br />
*p٧q = ¬(¬p ٧ ¬q)<br />
*p→q = ¬p ٧ q<br />
<br>Para {↓}:<br />
*¬p = p↓p<br />
*p٧q = ¬(p↓q)<br />
*p٨q = ¬(¬p ٧ ¬q)<br />
*p→q = ¬p ٧ q<br />
===c)===<br />
<br />
== Ejercicio 09 ==<br />
== Ejercicio 10 ==<br />
== Ejercicio 11 ==<br />
== Ejercicio 12 ==<br />
== Ejercicio 13 ==<br />
== Ejercicio 14 ==<br />
== Ejercicio 15 ==<br />
== Ejercicio 16 ==<br />
== Ejercicio 17 ==</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_4_(LyC_Verano)&diff=3315Práctica 4 (LyC Verano)2007-02-26T13:11:34Z<p>201.216.244.41: /* Ejercicio 04 */</p>
<hr />
<div>== Ejercicio 01 ==<br />
<br>a) v(α) = v(¬p1) = 1<br />
<br>b) v(α) = v( (p5 ٧ 0) → 0 ) = v(p5 → 0) = v(p5) = ?<br />
<br>c) v(α) = v( (0 ٧ 0) → 0 ) = v(0 → 0) = 1<br />
<br>d) v(α) = v(¬p4) = ?<br />
<br>e) v(α) = v( (p8 → p5)→(p8 ٨ p0) ) = ?<br />
<br />
== Ejercicio 02 ==<br />
===a)===<br />
<br>1) v(α1) = 1 ↔ p1=0 ٧ p3=1 ٧ p1=1<br />
<br>2) v(α2) = 1 ↔ p2=1 ٧ (p3=0 ٨ p1=0)<br />
<br>3) v(α3) = 1 ↔ (p2=0 ٨ p3=0) ٧ (p2=1) ٧ (p5=0 ٧ p3=1)<br />
===b)===<br />
<br>1) Esto vale si pasa a.1) ٨ <br />
<math> (\forall j) pj \notin Var(\alpha1) \rightarrow pj=0 </math><br />
<br>2) Idem 1) para α2<br />
<br>3) Idem 1) para α3<br />
<br />
== Ejercicio 03 ==<br />
(Para simplificar, T=tautologia, F=contradiccion, C=contingencia)<br />
<br>a) v(α٨β)=1 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=1 ↔ α T y β T<br />
<br>b) v(α٧β)=0 ↔ ¬v(α)=1 ٨ ¬v(β)=1 ↔ v(α)=0 ٨ v(β)=0 ↔ α F y β F<br />
<br>c) v(α→β)=0 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=0 ↔ α T y β F<br />
<br>d)<br />
<br> ←) Si v(α)=0 ٧ v(β)=1 → v(α→β)=1<br />
<br> →) Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β F → v(α→β)=0<br />
*α T y β C → v(α→β)=0 si v(β)=0<br />
*α C y β F → v(α→β)=0 si v(α)=1<br />
*α C y β C → Sea el caso α=β → v(α→β)=1, pero α C y β C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 04 ==<br />
===a)===<br />
Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β T → v(α٨β)=1<br />
*α T y β F → v(α٨β)=0<br />
*α F y β T → v(α٨β)=0<br />
*α F y β F → v(α٨β)=0<br />
→ α٨β nunca es C (ABS)<br />
===b)===<br />
Sup que no. Hay 2 casos:<br />
*α٨β T → α T y β T<br />
*α٨β F → α F o β F<br />
→ α y β nunca son ambas C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 05 ==<br />
Pueden pasar 2 cosas: v(α)=0 ٨ v(pi)=1 o v(α)=1 ٨ v(pi)=0 → Vale si α=¬pi<br />
<br />
== Ejercicio 06 ==<br />
== Ejercicio 07 ==<br />
===a)===<br />
Definimos todos los conectivos en funcion a los elementos para cada conjunto:<br />
<br>1) {¬,٨,٧}<br />
* ¬p, p٨q, p٧q ya estan definidos<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>2) {¬,٨}<br />
* ¬p, p٨q ya estan definidos<br />
* p٧q = ¬(¬p ٨ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>3) {¬,٧}<br />
* ¬p, p٧q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(¬p ٧ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>4) {¬,→}<br />
* ¬p, p→q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(p → ¬q)<br />
* p٧q = ¬p → q<br />
===b)===<br />
<br> 1) {¬} Como α solo usa el ¬, α siempre sera contingencia<br />
<br> 2) {٧,٨} Sup que lo es. Sea f | f(p)=1 para todo p, y vf la valuacion que extiende a f. Usando induccion en complejidad de α:<br />
*Si α=p → vf(α)=vf(p)=1<br />
*Si α=p٧q → vf(α)=vf(p٧q)=max{vf(p),vf(q)}=max{1,1}=1<br />
*Si α=p٨q → vf(α)=vf(p٨q)=min{vf(p),vf(q)}=min{1,1}=1<br />
→ No es posible construir un α tq α=¬p, por lo que no hay un v | v(α)=0 → No es adecuado (ABS)<br />
<br> 3) {٧,→} Sale muy similar a 2), si tomamos<br />
*Si α=p→q → vf(α)=vf(p→q)=max{1-vf(p),vf(q)}=max{0,1}=1<br />
→ Volvemos a obtener un ABS<br />
<br />
== Ejercicio 08 ==<br />
== Ejercicio 09 ==<br />
== Ejercicio 10 ==<br />
== Ejercicio 11 ==<br />
== Ejercicio 12 ==<br />
== Ejercicio 13 ==<br />
== Ejercicio 14 ==<br />
== Ejercicio 15 ==<br />
== Ejercicio 16 ==<br />
== Ejercicio 17 ==</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_4_(LyC_Verano)&diff=3314Práctica 4 (LyC Verano)2007-02-26T13:10:01Z<p>201.216.244.41: /* Ejercicio 02 */</p>
<hr />
<div>== Ejercicio 01 ==<br />
<br>a) v(α) = v(¬p1) = 1<br />
<br>b) v(α) = v( (p5 ٧ 0) → 0 ) = v(p5 → 0) = v(p5) = ?<br />
<br>c) v(α) = v( (0 ٧ 0) → 0 ) = v(0 → 0) = 1<br />
<br>d) v(α) = v(¬p4) = ?<br />
<br>e) v(α) = v( (p8 → p5)→(p8 ٨ p0) ) = ?<br />
<br />
== Ejercicio 02 ==<br />
===a)===<br />
<br>1) v(α1) = 1 ↔ p1=0 ٧ p3=1 ٧ p1=1<br />
<br>2) v(α2) = 1 ↔ p2=1 ٧ (p3=0 ٨ p1=0)<br />
<br>3) v(α3) = 1 ↔ (p2=0 ٨ p3=0) ٧ (p2=1) ٧ (p5=0 ٧ p3=1)<br />
===b)===<br />
<br>1) Esto vale si pasa a.1) ٨ <br />
<math> (\forall j) pj \notin Var(\alpha1) \rightarrow pj=0 </math><br />
<br>2) Idem 1) para α2<br />
<br>3) Idem 1) para α3<br />
<br />
== Ejercicio 03 ==<br />
(Para simplificar, T=tautologia, F=contradiccion, C=contingencia)<br />
<br>a) v(α٨β)=1 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=1 ↔ α T y β T<br />
<br>b) v(α٧β)=0 ↔ ¬v(α)=1 ٨ ¬v(β)=1 ↔ v(α)=0 ٨ v(β)=0 ↔ α F y β F<br />
<br>c) v(α→β)=0 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=0 ↔ α T y β F<br />
<br>d)<br />
<br> ←) Si v(α)=0 ٧ v(β)=1 → v(α→β)=1<br />
<br> →) Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β F → v(α→β)=0<br />
*α T y β C → v(α→β)=0 si v(β)=0<br />
*α C y β F → v(α→β)=0 si v(α)=1<br />
*α C y β C → Sea el caso α=β → v(α→β)=1, pero α C y β C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 04 ==<br />
<br>a) Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β T → v(α٨β)=1<br />
*α T y β F → v(α٨β)=0<br />
*α F y β T → v(α٨β)=0<br />
*α F y β F → v(α٨β)=0<br />
→ α٨β nunca es C (ABS)<br />
<br />
<br>b) Sup que no. Hay 2 casos:<br />
*α٨β T → α T y β T<br />
*α٨β F → α F o β F<br />
→ α y β nunca son ambas C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 05 ==<br />
Pueden pasar 2 cosas: v(α)=0 ٨ v(pi)=1 o v(α)=1 ٨ v(pi)=0 → Vale si α=¬pi<br />
<br />
== Ejercicio 06 ==<br />
== Ejercicio 07 ==<br />
===a)===<br />
Definimos todos los conectivos en funcion a los elementos para cada conjunto:<br />
<br>1) {¬,٨,٧}<br />
* ¬p, p٨q, p٧q ya estan definidos<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>2) {¬,٨}<br />
* ¬p, p٨q ya estan definidos<br />
* p٧q = ¬(¬p ٨ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>3) {¬,٧}<br />
* ¬p, p٧q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(¬p ٧ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>4) {¬,→}<br />
* ¬p, p→q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(p → ¬q)<br />
* p٧q = ¬p → q<br />
===b)===<br />
<br> 1) {¬} Como α solo usa el ¬, α siempre sera contingencia<br />
<br> 2) {٧,٨} Sup que lo es. Sea f | f(p)=1 para todo p, y vf la valuacion que extiende a f. Usando induccion en complejidad de α:<br />
*Si α=p → vf(α)=vf(p)=1<br />
*Si α=p٧q → vf(α)=vf(p٧q)=max{vf(p),vf(q)}=max{1,1}=1<br />
*Si α=p٨q → vf(α)=vf(p٨q)=min{vf(p),vf(q)}=min{1,1}=1<br />
→ No es posible construir un α tq α=¬p, por lo que no hay un v | v(α)=0 → No es adecuado (ABS)<br />
<br> 3) {٧,→} Sale muy similar a 2), si tomamos<br />
*Si α=p→q → vf(α)=vf(p→q)=max{1-vf(p),vf(q)}=max{0,1}=1<br />
→ Volvemos a obtener un ABS<br />
<br />
== Ejercicio 08 ==<br />
== Ejercicio 09 ==<br />
== Ejercicio 10 ==<br />
== Ejercicio 11 ==<br />
== Ejercicio 12 ==<br />
== Ejercicio 13 ==<br />
== Ejercicio 14 ==<br />
== Ejercicio 15 ==<br />
== Ejercicio 16 ==<br />
== Ejercicio 17 ==</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_4_(LyC_Verano)&diff=3313Práctica 4 (LyC Verano)2007-02-26T13:09:07Z<p>201.216.244.41: /* Ejercicio 07 */</p>
<hr />
<div>== Ejercicio 01 ==<br />
<br>a) v(α) = v(¬p1) = 1<br />
<br>b) v(α) = v( (p5 ٧ 0) → 0 ) = v(p5 → 0) = v(p5) = ?<br />
<br>c) v(α) = v( (0 ٧ 0) → 0 ) = v(0 → 0) = 1<br />
<br>d) v(α) = v(¬p4) = ?<br />
<br>e) v(α) = v( (p8 → p5)→(p8 ٨ p0) ) = ?<br />
<br />
== Ejercicio 02 ==<br />
<br>a)<br />
<br>1) v(α1) = 1 ↔ p1=0 ٧ p3=1 ٧ p1=1<br />
<br>2) v(α2) = 1 ↔ p2=1 ٧ (p3=0 ٨ p1=0)<br />
<br>3) v(α3) = 1 ↔ (p2=0 ٨ p3=0) ٧ (p2=1) ٧ (p5=0 ٧ p3=1)<br />
<br />
<br>b)<br />
<br>1) Esto vale si pasa a.1) ٨ <br />
<math> (\forall j) pj \notin Var(\alpha1) \rightarrow pj=0 </math><br />
<br>2) Idem 1) para α2<br />
<br>3) Idem 1) para α3<br />
<br />
== Ejercicio 03 ==<br />
(Para simplificar, T=tautologia, F=contradiccion, C=contingencia)<br />
<br>a) v(α٨β)=1 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=1 ↔ α T y β T<br />
<br>b) v(α٧β)=0 ↔ ¬v(α)=1 ٨ ¬v(β)=1 ↔ v(α)=0 ٨ v(β)=0 ↔ α F y β F<br />
<br>c) v(α→β)=0 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=0 ↔ α T y β F<br />
<br>d)<br />
<br> ←) Si v(α)=0 ٧ v(β)=1 → v(α→β)=1<br />
<br> →) Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β F → v(α→β)=0<br />
*α T y β C → v(α→β)=0 si v(β)=0<br />
*α C y β F → v(α→β)=0 si v(α)=1<br />
*α C y β C → Sea el caso α=β → v(α→β)=1, pero α C y β C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 04 ==<br />
<br>a) Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β T → v(α٨β)=1<br />
*α T y β F → v(α٨β)=0<br />
*α F y β T → v(α٨β)=0<br />
*α F y β F → v(α٨β)=0<br />
→ α٨β nunca es C (ABS)<br />
<br />
<br>b) Sup que no. Hay 2 casos:<br />
*α٨β T → α T y β T<br />
*α٨β F → α F o β F<br />
→ α y β nunca son ambas C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 05 ==<br />
Pueden pasar 2 cosas: v(α)=0 ٨ v(pi)=1 o v(α)=1 ٨ v(pi)=0 → Vale si α=¬pi<br />
<br />
== Ejercicio 06 ==<br />
== Ejercicio 07 ==<br />
===a)===<br />
Definimos todos los conectivos en funcion a los elementos para cada conjunto:<br />
<br>1) {¬,٨,٧}<br />
* ¬p, p٨q, p٧q ya estan definidos<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>2) {¬,٨}<br />
* ¬p, p٨q ya estan definidos<br />
* p٧q = ¬(¬p ٨ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>3) {¬,٧}<br />
* ¬p, p٧q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(¬p ٧ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>4) {¬,→}<br />
* ¬p, p→q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(p → ¬q)<br />
* p٧q = ¬p → q<br />
===b)===<br />
<br> 1) {¬} Como α solo usa el ¬, α siempre sera contingencia<br />
<br> 2) {٧,٨} Sup que lo es. Sea f | f(p)=1 para todo p, y vf la valuacion que extiende a f. Usando induccion en complejidad de α:<br />
*Si α=p → vf(α)=vf(p)=1<br />
*Si α=p٧q → vf(α)=vf(p٧q)=max{vf(p),vf(q)}=max{1,1}=1<br />
*Si α=p٨q → vf(α)=vf(p٨q)=min{vf(p),vf(q)}=min{1,1}=1<br />
→ No es posible construir un α tq α=¬p, por lo que no hay un v | v(α)=0 → No es adecuado (ABS)<br />
<br> 3) {٧,→} Sale muy similar a 2), si tomamos<br />
*Si α=p→q → vf(α)=vf(p→q)=max{1-vf(p),vf(q)}=max{0,1}=1<br />
→ Volvemos a obtener un ABS<br />
<br />
== Ejercicio 08 ==<br />
== Ejercicio 09 ==<br />
== Ejercicio 10 ==<br />
== Ejercicio 11 ==<br />
== Ejercicio 12 ==<br />
== Ejercicio 13 ==<br />
== Ejercicio 14 ==<br />
== Ejercicio 15 ==<br />
== Ejercicio 16 ==<br />
== Ejercicio 17 ==</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_4_(LyC_Verano)&diff=3312Práctica 4 (LyC Verano)2007-02-26T13:08:00Z<p>201.216.244.41: /* Ejercicio 07 */</p>
<hr />
<div>== Ejercicio 01 ==<br />
<br>a) v(α) = v(¬p1) = 1<br />
<br>b) v(α) = v( (p5 ٧ 0) → 0 ) = v(p5 → 0) = v(p5) = ?<br />
<br>c) v(α) = v( (0 ٧ 0) → 0 ) = v(0 → 0) = 1<br />
<br>d) v(α) = v(¬p4) = ?<br />
<br>e) v(α) = v( (p8 → p5)→(p8 ٨ p0) ) = ?<br />
<br />
== Ejercicio 02 ==<br />
<br>a)<br />
<br>1) v(α1) = 1 ↔ p1=0 ٧ p3=1 ٧ p1=1<br />
<br>2) v(α2) = 1 ↔ p2=1 ٧ (p3=0 ٨ p1=0)<br />
<br>3) v(α3) = 1 ↔ (p2=0 ٨ p3=0) ٧ (p2=1) ٧ (p5=0 ٧ p3=1)<br />
<br />
<br>b)<br />
<br>1) Esto vale si pasa a.1) ٨ <br />
<math> (\forall j) pj \notin Var(\alpha1) \rightarrow pj=0 </math><br />
<br>2) Idem 1) para α2<br />
<br>3) Idem 1) para α3<br />
<br />
== Ejercicio 03 ==<br />
(Para simplificar, T=tautologia, F=contradiccion, C=contingencia)<br />
<br>a) v(α٨β)=1 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=1 ↔ α T y β T<br />
<br>b) v(α٧β)=0 ↔ ¬v(α)=1 ٨ ¬v(β)=1 ↔ v(α)=0 ٨ v(β)=0 ↔ α F y β F<br />
<br>c) v(α→β)=0 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=0 ↔ α T y β F<br />
<br>d)<br />
<br> ←) Si v(α)=0 ٧ v(β)=1 → v(α→β)=1<br />
<br> →) Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β F → v(α→β)=0<br />
*α T y β C → v(α→β)=0 si v(β)=0<br />
*α C y β F → v(α→β)=0 si v(α)=1<br />
*α C y β C → Sea el caso α=β → v(α→β)=1, pero α C y β C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 04 ==<br />
<br>a) Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β T → v(α٨β)=1<br />
*α T y β F → v(α٨β)=0<br />
*α F y β T → v(α٨β)=0<br />
*α F y β F → v(α٨β)=0<br />
→ α٨β nunca es C (ABS)<br />
<br />
<br>b) Sup que no. Hay 2 casos:<br />
*α٨β T → α T y β T<br />
*α٨β F → α F o β F<br />
→ α y β nunca son ambas C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 05 ==<br />
Pueden pasar 2 cosas: v(α)=0 ٨ v(pi)=1 o v(α)=1 ٨ v(pi)=0 → Vale si α=¬pi<br />
<br />
== Ejercicio 06 ==<br />
== Ejercicio 07 ==<br />
<br>a)Definimos todos los conectivos en funcion a los elementos para cada conjunto:<br />
<br>1) {¬,٨,٧}<br />
* ¬p, p٨q, p٧q ya estan definidos<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>2) {¬,٨}<br />
* ¬p, p٨q ya estan definidos<br />
* p٧q = ¬(¬p ٨ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>3) {¬,٧}<br />
* ¬p, p٧q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(¬p ٧ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>4) {¬,→}<br />
* ¬p, p→q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(p → ¬q)<br />
* p٧q = ¬p → q<br />
<br />
<br>b) <br />
<br> 1) {¬} Como α solo usa el ¬, α siempre sera contingencia<br />
<br> 2) {٧,٨} Sup que lo es. Sea f | f(p)=1 para todo p, y vf la valuacion que extiende a f. Usando induccion en complejidad de α:<br />
*Si α=p → vf(α)=vf(p)=1<br />
*Si α=p٧q → vf(α)=vf(p٧q)=max{vf(p),vf(q)}=max{1,1}=1<br />
*Si α=p٨q → vf(α)=vf(p٧q)=min{vf(p),vf(q)}=min{1,1}=1<br />
→ No es posible construir un α tq α=¬p, por lo que no hay un v | v(α)=0 → No es adecuado (ABS)<br />
<br> 3) {٧,→} Sale muy similar a 2), si tomamos<br />
*Si α=p→q → vf(α)=vf(p→q)=max{1-vf(p),vf(q)}=max{0,1}=1<br />
→ Volvemos a obtener un ABS<br />
<br />
== Ejercicio 08 ==<br />
== Ejercicio 09 ==<br />
== Ejercicio 10 ==<br />
== Ejercicio 11 ==<br />
== Ejercicio 12 ==<br />
== Ejercicio 13 ==<br />
== Ejercicio 14 ==<br />
== Ejercicio 15 ==<br />
== Ejercicio 16 ==<br />
== Ejercicio 17 ==</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_4_(LyC_Verano)&diff=3311Práctica 4 (LyC Verano)2007-02-26T13:03:48Z<p>201.216.244.41: /* Ejercicio 04 */</p>
<hr />
<div>== Ejercicio 01 ==<br />
<br>a) v(α) = v(¬p1) = 1<br />
<br>b) v(α) = v( (p5 ٧ 0) → 0 ) = v(p5 → 0) = v(p5) = ?<br />
<br>c) v(α) = v( (0 ٧ 0) → 0 ) = v(0 → 0) = 1<br />
<br>d) v(α) = v(¬p4) = ?<br />
<br>e) v(α) = v( (p8 → p5)→(p8 ٨ p0) ) = ?<br />
<br />
== Ejercicio 02 ==<br />
<br>a)<br />
<br>1) v(α1) = 1 ↔ p1=0 ٧ p3=1 ٧ p1=1<br />
<br>2) v(α2) = 1 ↔ p2=1 ٧ (p3=0 ٨ p1=0)<br />
<br>3) v(α3) = 1 ↔ (p2=0 ٨ p3=0) ٧ (p2=1) ٧ (p5=0 ٧ p3=1)<br />
<br />
<br>b)<br />
<br>1) Esto vale si pasa a.1) ٨ <br />
<math> (\forall j) pj \notin Var(\alpha1) \rightarrow pj=0 </math><br />
<br>2) Idem 1) para α2<br />
<br>3) Idem 1) para α3<br />
<br />
== Ejercicio 03 ==<br />
(Para simplificar, T=tautologia, F=contradiccion, C=contingencia)<br />
<br>a) v(α٨β)=1 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=1 ↔ α T y β T<br />
<br>b) v(α٧β)=0 ↔ ¬v(α)=1 ٨ ¬v(β)=1 ↔ v(α)=0 ٨ v(β)=0 ↔ α F y β F<br />
<br>c) v(α→β)=0 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=0 ↔ α T y β F<br />
<br>d)<br />
<br> ←) Si v(α)=0 ٧ v(β)=1 → v(α→β)=1<br />
<br> →) Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β F → v(α→β)=0<br />
*α T y β C → v(α→β)=0 si v(β)=0<br />
*α C y β F → v(α→β)=0 si v(α)=1<br />
*α C y β C → Sea el caso α=β → v(α→β)=1, pero α C y β C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 04 ==<br />
<br>a) Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β T → v(α٨β)=1<br />
*α T y β F → v(α٨β)=0<br />
*α F y β T → v(α٨β)=0<br />
*α F y β F → v(α٨β)=0<br />
→ α٨β nunca es C (ABS)<br />
<br />
<br>b) Sup que no. Hay 2 casos:<br />
*α٨β T → α T y β T<br />
*α٨β F → α F o β F<br />
→ α y β nunca son ambas C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 05 ==<br />
Pueden pasar 2 cosas: v(α)=0 ٨ v(pi)=1 o v(α)=1 ٨ v(pi)=0 → Vale si α=¬pi<br />
<br />
== Ejercicio 06 ==<br />
== Ejercicio 07 ==<br />
<br>a)Definimos todos los conectivos en funcion a los elementos para cada conjunto:<br />
<br>1) {¬,٨,٧}<br />
* ¬p, p٨q, p٧q ya estan definidos<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>2) {¬,٨}<br />
* ¬p, p٨q ya estan definidos<br />
* p٧q = ¬(¬p ٨ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>3) {¬,٧}<br />
* ¬p, p٧q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(¬p ٧ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>4) {¬,→}<br />
* ¬p, p→q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(p → ¬q)<br />
* p٧q = ¬p → q<br />
<br />
<br>b) <br />
<br> 1) {¬} Como α solo usa el ¬, α siempre sera contingencia<br />
<br> 2) {٧,٨} Sup que lo es. Sea f | f(p)=1 para todo p, y vf la valuacion que extiende a f. Usando induccion en complejidad de α:<br />
*Si α=p → vf(α)=vf(p)=1<br />
*Si α=p٧q → vf(α)=vf(p٧q)=max{vf(p),vf(q)}=max{1,1}=1<br />
*Si α=p٨q → vf(α)=vf(p٧q)=min{vf(p),vf(q)}=min{1,1}=1<br />
→ No es posible construir un α tq α=¬p → No es adecuado (ABS)<br />
<br> 3) {٧,→} Sale muy similar a 2), si tomamos<br />
*Si α=p→q → vf(α)=vf(p→q)=max{1-vf(p),vf(q)}=max{0,1}=1<br />
→ Volvemos a obtener un ABS<br />
<br />
== Ejercicio 08 ==<br />
== Ejercicio 09 ==<br />
== Ejercicio 10 ==<br />
== Ejercicio 11 ==<br />
== Ejercicio 12 ==<br />
== Ejercicio 13 ==<br />
== Ejercicio 14 ==<br />
== Ejercicio 15 ==<br />
== Ejercicio 16 ==<br />
== Ejercicio 17 ==</div>201.216.244.41https://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Pr%C3%A1ctica_4_(LyC_Verano)&diff=3310Práctica 4 (LyC Verano)2007-02-26T13:03:33Z<p>201.216.244.41: /* Ejercicio 04 */</p>
<hr />
<div>== Ejercicio 01 ==<br />
<br>a) v(α) = v(¬p1) = 1<br />
<br>b) v(α) = v( (p5 ٧ 0) → 0 ) = v(p5 → 0) = v(p5) = ?<br />
<br>c) v(α) = v( (0 ٧ 0) → 0 ) = v(0 → 0) = 1<br />
<br>d) v(α) = v(¬p4) = ?<br />
<br>e) v(α) = v( (p8 → p5)→(p8 ٨ p0) ) = ?<br />
<br />
== Ejercicio 02 ==<br />
<br>a)<br />
<br>1) v(α1) = 1 ↔ p1=0 ٧ p3=1 ٧ p1=1<br />
<br>2) v(α2) = 1 ↔ p2=1 ٧ (p3=0 ٨ p1=0)<br />
<br>3) v(α3) = 1 ↔ (p2=0 ٨ p3=0) ٧ (p2=1) ٧ (p5=0 ٧ p3=1)<br />
<br />
<br>b)<br />
<br>1) Esto vale si pasa a.1) ٨ <br />
<math> (\forall j) pj \notin Var(\alpha1) \rightarrow pj=0 </math><br />
<br>2) Idem 1) para α2<br />
<br>3) Idem 1) para α3<br />
<br />
== Ejercicio 03 ==<br />
(Para simplificar, T=tautologia, F=contradiccion, C=contingencia)<br />
<br>a) v(α٨β)=1 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=1 ↔ α T y β T<br />
<br>b) v(α٧β)=0 ↔ ¬v(α)=1 ٨ ¬v(β)=1 ↔ v(α)=0 ٨ v(β)=0 ↔ α F y β F<br />
<br>c) v(α→β)=0 ↔ v(α)=1 ٨ v(β)=0 ↔ α T y β F<br />
<br>d)<br />
<br> ←) Si v(α)=0 ٧ v(β)=1 → v(α→β)=1<br />
<br> →) Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β F → v(α→β)=0<br />
*α T y β C → v(α→β)=0 si v(β)=0<br />
*α C y β F → v(α→β)=0 si v(α)=1<br />
*α C y β C → Sea el caso α=β → v(α→β)=1, pero α C y β C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 04 ==<br />
<br>a) Sup que no. Hay 4 casos:<br />
*α T y β T → v(α٨β)=1<br />
*α T y β F → v(α٨β)=0<br />
*α F y β T → v(α٨β)=0<br />
*α F y β F → v(α٨β)=0<br />
→ α٨β nunca es C (Abs)<br />
<br />
<br>b) Sup que no. Hay 2 casos:<br />
*α٨β T → α T y β T<br />
*α٨β F → α F o β F<br />
→ α y β nunca son ambas C (ABS)<br />
<br />
== Ejercicio 05 ==<br />
Pueden pasar 2 cosas: v(α)=0 ٨ v(pi)=1 o v(α)=1 ٨ v(pi)=0 → Vale si α=¬pi<br />
<br />
== Ejercicio 06 ==<br />
== Ejercicio 07 ==<br />
<br>a)Definimos todos los conectivos en funcion a los elementos para cada conjunto:<br />
<br>1) {¬,٨,٧}<br />
* ¬p, p٨q, p٧q ya estan definidos<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>2) {¬,٨}<br />
* ¬p, p٨q ya estan definidos<br />
* p٧q = ¬(¬p ٨ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>3) {¬,٧}<br />
* ¬p, p٧q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(¬p ٧ ¬q)<br />
* p→q = ¬p٧q<br />
<br>4) {¬,→}<br />
* ¬p, p→q ya estan definidos<br />
* p٨q = ¬(p → ¬q)<br />
* p٧q = ¬p → q<br />
<br />
<br>b) <br />
<br> 1) {¬} Como α solo usa el ¬, α siempre sera contingencia<br />
<br> 2) {٧,٨} Sup que lo es. Sea f | f(p)=1 para todo p, y vf la valuacion que extiende a f. Usando induccion en complejidad de α:<br />
*Si α=p → vf(α)=vf(p)=1<br />
*Si α=p٧q → vf(α)=vf(p٧q)=max{vf(p),vf(q)}=max{1,1}=1<br />
*Si α=p٨q → vf(α)=vf(p٧q)=min{vf(p),vf(q)}=min{1,1}=1<br />
→ No es posible construir un α tq α=¬p → No es adecuado (ABS)<br />
<br> 3) {٧,→} Sale muy similar a 2), si tomamos<br />
*Si α=p→q → vf(α)=vf(p→q)=max{1-vf(p),vf(q)}=max{0,1}=1<br />
→ Volvemos a obtener un ABS<br />
<br />
== Ejercicio 08 ==<br />
== Ejercicio 09 ==<br />
== Ejercicio 10 ==<br />
== Ejercicio 11 ==<br />
== Ejercicio 12 ==<br />
== Ejercicio 13 ==<br />
== Ejercicio 14 ==<br />
== Ejercicio 15 ==<br />
== Ejercicio 16 ==<br />
== Ejercicio 17 ==</div>201.216.244.41