Edición de «Práctica 3: Técnicas Algorítmicas (Algoritmos III)»

==Ejercicio 03.01==

Version recursiva
<pre>
int fib (n)
	si (n==0 || n==1)
		devolver n;
	sino
		devolver fib(n-1)+fib(n-2);
</pre>

Version no recursiva
<pre>
int fib (n)
	int mfib[n]; mfib[0] = 0; mfib[1] = 1;
	
	para i = 2..n
		mfib[i] = mfib[n-1]+mfib[n+2];
	devolver mfib[n];
</pre>

Complejidad temporal O(n), complejidad espacial O(n)

Otra manera no recursiva
<pre>
int fib (n)
	if ( n <= 1 ) devolver 1	
	else
           		int x = 1; int y = 1;
            para i = 2..n
			suma = x + y; y = x; x= suma;
	devolver  suma
</pre>

Complejidad temporal O(n), complejidad espacial O(1)

==Ejercicio 03.02==
<br>a) Para mover n discos desde i hasta j usando k:
<pre>
Mover( inout i: Pila(nat), inout j: Pila(nat), inout k: Pila(nat), in n: nat )
Si n = 1
	Apilar(tope(i),j)
sino
	Mover(i, k, j, n-1)
	Mover(i, j, k, 1)
	Mover(k, j, i, n-1)
</pre>
<br>b) para demostrar la correctitud del algoritmo, lo podemos hacer por inducción basándonos que en n pasos nuestro algoritmo deja n-discos en la pila 3 de la forma correcta(es decir, el mas pesado debajo de todo y así con los de menor peso).
CB: Muevo un disco de la pila 1 a la pila 3, vale.
PI: Se asume que se dejaron n-1 discos correctamente ubicados en la pila 3, por lo que solo me queda mover un disco de la pila 1 a la 3, y como en esta ultima el orden era el correcto, vale para todo n.
Lo importante a notar es que el algoritmmo mantiene invariante lo que realiza paso a paso, es decir, hace un montón de movimientos entre los distintos discos pero al final de cuentas los termina dejando acomodas en orden correcto en la pila3.
<br>c) O(2^n)
<br>d) Como son 64 discos, el número de movimientos es 2^64 - 1 = 18446744073709551615. Si suponemos que los monjes tienen la suficiente habilidad como para hacer un movimiento en un segundo, en un día harán 60*60*24 movimientos. Y en un año de 365 días: 60*60*24*365. Dividimos el número de movimientos por el resultado de la operación anterior y nos debe dar, aproximadamente, medio billón de años. Sólo falta averiguar cuantos años se estiman que el hombre lleva sobre la tierra y sabremos el tiempo que le queda sobre ella (TSUNAMI DE CHANES!!)

==Ejercicio 03.03==
<br>a)
<pre>
d_más_chica(Arreglo de puntos PS)
	Sort(PS,CoordX);
	si #PS = 2
		devolver distancia(PS[1], PS[2]);
	sino
		dA = d_más_chica(P[1..n/2]);
		dB = d_más_chica(P[n/2+1..n]);
		dM = infinito
		para i=1..n/2
			para j=n/2+1..n
				si d(P([i],P[j]) < dM
					dM = d(P([i],P[j]);
	devolver mínimo(dA, dB, dM);
</pre>
<br>b)
<br>c) usando Teorema Maestro tenemos:  T(n) = 2 * T(n/2) + n^2, que entra en el tercer caso, quedándonos: O(n^2)

==Ejercicio 03.04==
Codigo c++
<br>a) NOTA: Matriz es una clase que hice y que es muy larga como para poner aca.
<pre>
void aux_3_4(Matriz &fix, int d, int h, int dia) {
    if(h > d) {
        aux_3_4(fix, d, (d+h)/2, dia/2);
        aux_3_4(fix, (d+h)/2 + 1, h, dia/2);
        
        int i = d;
        int s = 0;
        while(i <= (d+h)/2){
            int j = (d+h)/2 + 1;
            int c = s;
            while(j <= h){
                fix.asignar(i, j, dia - abs(c) - 1);
                fix.asignar(j, i, dia - abs(c) - 1);
                j++;
                c++;
            }
            i++;
            s--;
        }
    }
    else
        fix.asignar(d, d, 0); //la diagonal se rellena de ceros
}

void ejercicio_3_4_a(Matriz &fixture, int n){
    aux_3_4(fixture, 0, n-1, n);
}
</pre>
<br>b)

==Ejercicio 03.05==
<br>i) NO. Contraejemplo:
         P1: s1=10, pi1=2
         P2: s2=20, pi2= 8
Luego T = c*[2*10 + 8*(10 + 20)] = c*260
y si hubiesemos ordenado al reves, daria
c*[8*20 + 2*(20 + 10)] = c*220 < T


<br>ii) NO. Contraejemplo: 
         P1: pi1=2, s1=20
         P2: pi2= 8, s2=10
Luego T = c*[2*20 + 8*(20 + 10)] = c*280
y si hubiesemos ordenado al reves, daria
c*[8*10 + 2*(10 + 20)] = c*140 < T

<br>iii) Funciona bien, pues lo ideal es s_i creciente y pi_i decreciente, entonces, pi_i/s_i decreciente

==Ejercicio 03.06==
<br>a)
<br>Tomamos monedas de 25,10,5,1
<br> Sol. Optima V = (v1,v2,..,vn) / v1 >= v2 >= .. >= vn
<br> Sol. Optima G = (g1,g2,..,gn) / g1 >= g2 >= .. >= gn

<b>qvq Sol. del Goloso G = V</b>
<br>Puede Pasar (G inc V) o (V inc G)? NO (suma de G = suma de V)
<br>Vj < Gj (sino el goloso lo hubiera elegido)
<br>Gj > Vj >= Vj+1 >= ... >= Vm
<br>Ex. j / Vj != Gj   Vi = Gi  i<j

{| class="WikiTable" border="1"
|+ '''Valores Posibles'''
|-
! Gj ||25 ||10 ||5
|-
! Vj ||10,5,1 ||5,1 ||1
|}

<br> 1) Vj = 1 -> Vj+1 .. Vm
<br>    No puede ocurrir porque la suma tenia que ser la misma, tampoco puede haber un 10 o 5
<br> 2) Vj = 5 
<br>    No puedo tener otro 5 (para eso pongo un 5), tampoco puede haber un 25 en Gj
<br> 3) Vj = 10
<br>    Tampoco, ya que 10,10,5 no seria optimo

Conclusion: V = G

<br>b) Si tomamos por ejemplo un vuelto de 15 centavos, el goloso nos daria el siguiente resultado: 15 = 1 moneda de 12 cent. + 3 de 1 cent, o sea 4 monedas.
Usando otro criterio, y asumiendo que cuento con monedas de 10 y 5 centavos, puedo dar el vuelto con 2 monedas: 15 = 1 moneda 10 centavos + 5 centavos.
Por lo tanto el criterio goloso no encuentra la solución óptima en este contexto.

==Ejercicio 03.07==
<br>a) Pseudocodigo
<pre>
Coef(n,k)
	si (calculado(n,k))
		devolver mCoef[n,k];

	si (k == 0 || k == n)
		res = 1;
	sino
		res = Coef(n-1, k-1) + Coef(n-1, k);

	mCoef[n,k] = res;
	devolver res;
</pre>

Codigo Cpp

 #include <iostream>
 #include <stdlib.h>
 #include <cstdio>
 
 using namespace std;
 
 void ej7(int n);
 
 void ej7(int n)
 {
      int tabla[100][100];
 
      //PROCESAR
 
      //O(n)
      for(int i = 0; i<n+1; i++)
      {
         tabla[i][0] = 1;
         tabla[i][i+1] = 0;
      }
 
      //O(n)
      for(int i = 1; i<n+1; i++)
      {
         //O(i)
         for(int j = 1; j<=i; j++)
         {
            tabla[i][j] = tabla[i-1][j-1] + tabla[i-1][j];
         }
      }
 
      //MOSTRAR RESULTADOS 
      
      for(int i = 0; i<10; i++) {
         cout << endl;
         for(int j = 0; j<10; j++)
                 cout << tabla[i][j] <<" ";
      }
 
      cout << endl;
      cout << endl;
      cout << "Resultado: ";
      for(int i = 0; i<n+1; i++)
      {
         cout << tabla[n][i] <<" ";
      }
 }
 
<br>b) O(n*k)
<br>c) Se pueden usar 2 variables auxiliares con el fin de ir guardandome los calculos necesarios para calcular cada termino de fibonacci, hago un pseudocodigo:

<pre>
fibo(n)
        si n == 0 o n == 1, devolver 1 //caso base
        sino
            termino1 = 1, termino2 = 1
            para i desde 2 hasta n,
            hacer:
                  suma = termino1 + termino2;
                  termino2 = termino1l;
                  termino1 = suma;
            fin para
        devolver termino1;

Como programación dinámica es botton up, voy construyendo la solución de menor termino hasta el n-esimo.
</pre>

==Ejercicio 03.08==
<br>a)
<pre>
Nota: costo=int, pred: <int,int>
camMinimo(int M[m][n])
  Tupla<costo, pred> R[m][n];
  Lista<int, int> camino;

  R(1,1)=< M[1,1], <0,0> >;
  R(f,1)=< Σ{i=1..f} M[i,1], <f-1,1> >;
  R(1,c)=< Σ{i=1..c} M[1,i], <1,c-1> >;

  para f=2..m
    para c=2..n
      si (R[f,c-1].costo < R[f-1,c].costo)
        R[f,c].costo = R[f,c-1].costo+M[f,c];
        R[f,c].pred = <f,c-1>;
      sino
        R[f,c].costo = R[f-1,c].costo+M[f,c];
        R[f,c].pred = <f-1,c>;

	res = R[m,n].costo;				
	
	sig = <m,n>;
	mientras (R<sig>.pred != <0,0>) // reconstruyo camino
		camino = R<sig>.pred U camino;
		sig = R<sig>.pred;
</pre>
<br>b) O(m*n)tanto temporal como espacial.
<br>c)
La matriz R seria:
<pre>
2	10	13	17
7	10	14	19
8	10	12	13
11	14	18	18
</pre>

==Ejercicio 03.09==
<br>a) Primero pensemos en la funcion recursiva. TIP: veamos la version booleana y luego si sale, se puede hacer la version con los operandos.

i es el indice del vector v de valores a los cuales se les van a aplicar los operandos.
            
f(i,w) = {  true si i=1 y W=v1
            false si i = 1 y W !=v1
            f(i-1,w-vi) || f(i-1, w/ri) || f(i-1, nroot(w)) //hacemos un or

<br>b) Se puede ahcer pseudo-polinomial en O(nW)

==Ejercicio 03.10==

Codigo Cpp

 #include <iostream>
 #include <stdlib.h>
 #include <cstdio>
 
 using namespace std;
 
 enum ciudades {NY = 0, 
                 COL = 1, LOUIS = 2, NASH = 3, 
                 KANSAS = 4, OMAHA = 5, DALLAS = 6,
                 SA = 7, DENVER = 8, 
                 LA = 9};
 
 void ej10();
 int dist (ciudades c1, ciudades c2);
 int dist (int c1, int c2);
 
 void ej10()
 {
     //INICIALIZACION
     int tabla[10];
     tabla[NY]= 0;
     
     // DIA 1
     for (int i = 1; i<4; i++)
         tabla[i] = dist(NY, (ciudades)i);
     
     // DIA 2
     for (int i = 4; i < 7; i++)
     {
         int minDist = dist(i,1) + tabla[1];
         for (int j = 2; j<4; j++)
             if (minDist > dist(i,j) + tabla[j])
                 minDist = dist(i,j) + tabla[j];
         tabla[i] = minDist;
     }
 
     // DIA 3
     for (int i = 7; i < 9; i++)
     {
         int minDist = dist(i,4) + tabla[4];
         for (int j = 5; j<7; j++)
             if (minDist > dist(i,j) + tabla[j])
                 minDist = dist(i,j) + tabla[j];
         tabla[i] = minDist;
     }
         
     // DIA 4
     tabla[9] = (dist(9,7) + tabla[7] < dist(9,8) + tabla[8])
                 ? dist(9,7) + tabla[7]
                 : dist(9,8) + tabla[8];
     
     // MOSTRAR RESULTADOS
     for (int i = 0; i<10; i++)
     {
         cout << endl << i << ": " << tabla[i];
     }
     
     cout << endl << endl << "Valor final a LA: " << tabla[9] << endl;
 }
 
 int dist (int c1, int c2)
 {
     return dist ((ciudades)c1, (ciudades)c2);
 }
 
 int dist (ciudades c1, ciudades c2)
 {
     if (c1 > c2)
     {
         ciudades aux;
         aux = c1;
         c1 = c2;
         c2 = aux;
     }   
     else if (c1 == c2)
     {
         return 0;
     }
     
     if (c1 == NY)
     {
         switch (c2)
         {
             case COL: return 550;
             case NASH: return 900;
             case LOUIS: return 770;
             default: 
                 cout << "Error en dist: " << c1 << " y " << c2;
                 return 0;
         }
     }
     else if (c1 == COL)
     {
         switch (c2)
         {
             case KANSAS: return 680;
             case OMAHA: return 790;
             case DALLAS: return 1050;
             default: 
                 cout << "Error en dist: " << c1 << " y " << c2;
                 return 0;
         }
 
     }    
     else if (c1 == NASH)
     {
         switch (c2)
         {
             case KANSAS: return 580;
             case OMAHA: return 760;
             case DALLAS: return 660;
             default: 
                 cout << "Error en dist: " << c1 << " y " << c2;
                 return 0;
         }
 
     }
     else if (c1 == LOUIS)
     {
         switch (c2)
         {
             case KANSAS: return 510;
             case OMAHA: return 700;
             case DALLAS: return 830;
             default: 
                 cout << "Error en dist: " << c1 << " y " << c2;
                 return 0;
         }
 
     }        
     else if (c1 == KANSAS)
     {
         switch (c2)
         {
             case DENVER: return 610;
             case SA: return 790;
             default: 
                 cout << "Error en dist: " << c1 << " y " << c2;
                 return 0;
         }
     }    
     else if (c1 == OMAHA)
     {
         switch (c2)
         {
             case DENVER: return 540;
             case SA: return 940;
             default: 
                 cout << "Error en dist: " << c1 << " y " << c2;
                 return 0;
         }
     }
     else if (c1 == DALLAS)
     {
         switch (c2)
         {
             case DENVER: return 790;
             case SA: return 270;
             default: 
                 cout << "Error en dist: " << c1 << " y " << c2;
                 return 0;
         }
     }
     else if (c1 == DENVER)
     {
         switch (c2)
         {
             case LA: return 1030;
             default: 
                 cout << "Error en dist: " << c1 << " y " << c2;
                 return 0;
         }
     }
     else if (c1 == SA)
     {
         switch (c2)
         {
             case LA: return 1390;
             default: 
                 cout << "Error en dist: " << c1 << " y " << c2;
                 return 0;
         }
     }
     else
     {
         cout << "Error en dist: " << c1 << " y " << c2;
         return 0;
     }
 }

==Ejercicio 03.11==

Codigo Cpp

 #include <iostream>
 #include <stdlib.h>
 #include <cstdio>
 
 using namespace std;
 
 void ej11();
 
 void ej11()
 {
     // INICIALIZACIONES
     int costo[3] = {10*100, 10*100, 12*100};
     int req[3] = {2, 5, 8};
     int costoStock = 150;
     int costoInit = 250;
     int tablaCost[3][9];
     int tablaPred[3][9];
 
     for (int i = 0; i<3; i++)
     {
         for (int j = 0; j < 9; j++)
         {
             tablaCost[i][j] = 0;
             tablaPred[i][j] = 0;
         }
     }
    
     // PROCESO
     for (int mes = 0; mes < 3; mes++)
     {
         for (int prod = req[mes]; prod < 9; prod++)
         {
             if (mes == 0)
             {
                 tablaCost[mes][prod] = costo[mes] * prod + costoInit;
             }
             else
             {
                 int costoMin = (prod - req[mes-1]) * costoStock + tablaCost[mes-1][prod];
                 int pred = prod;
 //                if (mes == 2) cout << "Stock mes anterior " << prod << "; costo " << costoMin << endl;
                 for (int stock = req[mes-1]; stock < prod; stock++)
                 {
                     int costoAct = (stock - req[mes-1])* costoStock;
                     costoAct+= costo[mes] * (prod-stock) + costoInit;
                     costoAct+= tablaCost[mes-1][stock];
 //                    if (mes == 2) cout << "Mes " << mes << " a producir " << prod << ". Stock mes anterior " << stock << "; costo " << costoAct << endl;
                     if (costoMin > costoAct) 
                     {
                         costoMin = costoAct;
                         pred = stock;
                     }
                 }
                 tablaCost[mes][prod] = costoMin;
                 tablaPred[mes][prod] = pred;
             }
         }
     }
     
     // MOSTRAR RESULTADOS
     cout << endl << "Tabla de Prog Dinamica: " << endl;
     for(int i = 0; i<9; i++) {
         cout << endl;
         for(int j = 0; j<3; j++)
                 cout << tablaCost[j][i] <<" ";
      }
 
     cout << endl << endl << "Tabla de Predecesores: " << endl;
     for(int i = 0; i<9; i++) {
         cout << endl;
         for(int j = 0; j<3; j++)
                 cout << tablaPred[j][i] <<" ";
      }
 
     cout << endl << endl << "Resultado: " << tablaCost[2][8] << endl;
     
     cout << endl << "Esquema de produccion: " << endl;
     int mesAct = 2;
     int prodAct = 8;
     while (mesAct >= 0)
     {
 //        cout << "Prod Act " << prodAct;
         cout << "Mes " << mesAct +1 << " producir " << (prodAct - tablaPred[mesAct][prodAct]) * 100 << "  unidades." << endl;
         prodAct = tablaPred[mesAct][prodAct];
         mesAct--;
     }
     cout << endl;
 }

==Ejercicio 03.12==
==Ejercicio 03.13==
<br>a) no es optimo ya que se puede realizar con solo 2 operaciones. Insertando una 'c' entre las 'b' y borrando la ultima 'a'.
<br>b)
<pre>
dist("",v[1..m]) = m
dist(u[1..n],"") = n
dist(u[1..n],v[1..m]) = min (1+dist(u[1..n],v[1..m-1]), (insertar Vm)
			 1+dist(u[1..n-1],v[1..m]), (borrar Vm)
			 if u[n]=v[m] then 0 else 1+
			 dist(u[1..n-1],v[1..m-1])  (cambiar/nada con Vm)
			)
</pre>

<b>Algoritmo:</b>
<br>M[0,j] = j
<br>M[i,0] = i
<br>M[i,j] = dist(u[1..i],v[1..j]) = min ( 1+M[i,j-1], .. )

<b>Correctitud:</b>
<br>(Otro dia)

==Ejercicio 03.14==
==Ejercicio 03.15==
<br>a)
<br>b)
==Ejercicio 03.16==
==Ejercicio 03.17==
<br>a)
<br>b)
<br>c)
==Ejercicio 03.18==
<br>a)
<br>b)
<br>c)
==Ejercicio 03.19==