Práctica 1 (LyC Verano)
Ejercicio 1
Sin usar macros, mostrar en un programa que compute la función vacía ; es decir, la función que no está definida para ninguna k-tupla de naturales.
Solución
Y ← Y + 1 [A1] IF Y ≠ 0 GOTO A1
Ejercicio 2
Escribir en programas que computen los siguientes predicados.
Pueden utilizarse las macros
GOTO A
(salto incondicional),
V ← k
(asignación de constantes) y
V1 ← V2
(asignación de variables).
Ítem a
Solución
[A1] IF X1 ≠ 0 GOTO A2 IF X2 ≠ 0 GOTO E Y ← Y + 1 GOTO E [A2] IF X2 ≠ 0 GOTO A3 GOTO E [A3] X1 ← X1 - 1 X2 ← X2 - 1 GOTO A1
Ítem b
Solución
Y ← Y + 1 [A1] IF X1 ≠ 0 GOTO A2 IF X2 ≠ 0 GOTO E Y ← Y - 1 GOTO E [A2] IF X1 ≠ 0 GOTO A3 GOTO E [A3] X1 ← X1 - 1 X2 ← X2 - 1 GOTO A1
Ítem c
Solución
[A1] IF X1 ≠ 0 GOTO A2 GOTO E [A2] IF X2 ≠ 0 GOTO A3 Y ← Y + 1 GOTO E [A3] X1 ← X1 - 1 X2 ← X2 - 1 GOTO A1
Ítem d
Solución
[A1] IF X2 ≠ 0 GOTO A2 GOTO E [A2] IF X1 ≠ 0 GOTO A3 Y ← Y + 1 GOTO E [A3] X1 ← X1 - 1 X2 ← X2 - 1 GOTO A1
Ejercicio 3
Escribir en programas que calculen las siguientes funciones.
Además, pueden utilizarse las macros
GOTO A
,
V ← k
y
V1 ← V2
.
Ítem a
(usando suma como macro)
Solución
Z1 ← X1 [A1] IF Z1 ≠ 0 GOTO A2 GOTO E [A2] Y ← Y + X2 Z1 ← Z1 - 1 GOTO A1
Ítem b
(usando producto como macro)
Solución
Z1 ← X2 Y ← 1 [A1] IF Z1 ≠ 0 GOTO A2 GOTO E [A2] Y ← Y * X1 Z1 ← Z1 - 1 GOTO A1
Ejercicio 4
Demostrar que las siguientes funciones son computables:
- la función sucesor
- las proyecciones (para tal que .
- las funciones constantes (para cualquier ).
Solución
Y ← X1 + 1
Y ← Xi
Y ← k
Ejercicio 5
Usando las macros vistas en clase, escribir programas en que computen las siguientes funciones:
Ítem a
el mayor número natural tal que
Solución
[A1] Z1 ← Z1 + 2 Z2 ← Z1 > X1 IF Z2 ≠ 0 GOTO E Y ← Y + 1 GOTO A1
Ítem b
Solución
IF Z2 = 0 GOTO A2 // si Z2 = 0 entonces es múltiplo de X1 // voy a A2 y como Z1 = X2 = 0 devuelvo 1 [A1] Z1 ← Z1 + X1 // Z1 guarda los múltiplos de X1 Z2 ← Z1 < X2 IF Z2 ≠ 0 GOTO A1 [A2] Y ← Y + 1 // se tiene Z1 = k * X1 >= X2 Z3 ← Z1 = X2 IF Z3 ≠ 0 GOTO E Y ← Y - 1
Ejercicio 6
Escribir un programa que compute el mínimo común múltiplo y otro que compute el máximo común divisor entre dos números naturales. Se puede utilizar cualquier macro vista en clase.
Solución
Y ← X1 [A] Z ← multiplo(Y, X2) IF Z ≠ 0 GOTO E Y ← Y + X1 // Y = X1, 2X1, 3X1.... GOTO A
Y ← X1 Z2 ← X2 [A] IF Z2 = 0 GOTO E [B] Z3 ← mayor(Y,Z2) IF Z3 ≠ 0 GOTO C Z2 ← Z2 - Y GOTO A [C] Y ← Y - Z2 GOTO A
IDEA: ALGORITMO DE EUCLIDES ORIGINAL
MCD(a,b) = while (b > 0) { if (a > b) then a <- a-b else b <- b-a } return a
Ejercicio 7
Mostrar que el lenguaje es minimal, en el sentido que ninguna de las instrucciones
V ← V + 1
,
V ← V - 1
y
IF V ≠ 0 GOTO A
pueden eliminarse del lenguaje sin perder expresividad.
Solución
Pistas:
- Para la primera probar por inducción que no importa las instrucciones que ponga el valor de salida siempre será 0.
- Para la segunda no se me ocurre en este momento.
- Para la tercera probar que cualquier función que haga va a estar acotada por el tamaño del programa asi que f(x) = x no puede hacerse (por ejemplo).
Ejercicio 8
Sean funciones computables. Usando las macros vistas en clase, escribir programas que computen las siguientes funciones:
Ítem a
Solución
[A1] Z2 ← g(X1, ..., Xn, Z1) Z3 ← Z2 < Y IF Z3 ≠ 0 GOTO A2 Y ← Z2 [A2] Z1 ← Z1 + 1 Z4 ← Z1 < Xn+1 IF Z4 ≠ 0 GOTO A1
Ítem b
Solución
Z1 ← s(Xn+1) Z5 ← t(Xn+1) Z6 ← Z1 > Z5 IF Z6 ≠ 0 GOTO E [A1] Z2 ← g(X1, ..., Xn, Z1) Z3 ← Z2 < Y IF Z3 ≠ 0 GOTO A2 Y ← Z2 [A2] Z1 ← Z1 + 1 Z4 ← Z1 < Z5 IF Z4 ≠ 0 GOTO A1
Ejercicio Extra 1
Si son computables con y para todo , entonces la composición es computable:
¿Cuál es el dominio de ?
Nota: hay un pequeño error en el enunciado, es computable sólo si
Solución