Práctica 1: Conjuntos, relaciones y funciones (Álgebra I)

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Ejercicio 1

Dado el conjunto A = {1,2,{3},{1,2},-1} determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas:

i) 3 ∈ A. FALSO
ii) {1,2} ⊆ A. VERDADERO
iii) {1,2} ∈ A. VERDADERO
iv) {3} ⊆ A. FALSO
v) { {3} } ⊆ A. VERDADERO
vi) Ø ∈ A. FALSO
vii) {-1,2} ⊆ A. VERDADERO
viii) Ø ⊆ A. VERDADERO
ix) {1,2,-1} ∈ A. FALSO


Ejercicio 2

Determinar si A ⊆ B en cada uno de los siguientes casos:

i) . NO ESTÁ INCLUÍDO.
ii) . NO ESTÁ INCLUIDO.
iii) ESTÁ INCLUÍDO
iv) . NO ESTÁ INCLUÍDO
v) . NO ESTÁ INCLUÍDO.

Ejercicio 3

Dados los conjuntos A = {1,3,5,7,8,11} y B = {-1,3,-5,7,-8,11}. Hallar:






Ejercicio 4

Dado el conjunto referencial hallar el comlpemento del subconjunto A de V definido por

Ejercicio 5

Dado el conjunto referencial V = {1, {3}, -2, 7, 10, {1,2,3}, 3} y dados los subconjuntos A = {1, -2, 7, 3}, B= {1, {3}, 10} y C = {-2, {1,2,3}, 3} hallar:

i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)


Ejercicio 6

En un grupo de 110 alumnos hay 63 alumnos que estudian inglés, 30 que estudian alemán y 50 que estudian francés. Sabiendo que hay 7 alumnos que estudian los tres idiomas, 30 que sólo estudian inglés, 13 que sólo estudian alemán y 25 que sólo estudian francés, determinar

i) ¿Cuántos alumnos estudian exactamente dos idiomas?
ii) ¿Cuántos alumnos estudian inglés y alemán pero no francés?
iii) ¿Cuántos alumnos estudian alemán y grancés pero no inglés?
iv) ¿Cuántos alumnos estudian inglés y francés pero no alemán?
v) ¿Cuántos alumnos no estudian ningún idioma?


i) 41
ii) 9
iii) 1
iv) 17
v) 8


Ejercicio 8

Encontrar fórmulas que describan las partes rayadas de los siguientes diagramas de Venn (ver la práctica), utilizando únicamente intersecciones, uniones y complementos:

i)
ii)
iii)
iv)


Ejercicio 9

Determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas cualesquiera sean los conjuntos A, B y C y cuáles no. Para las que sean verdaderas, dar una demostración, para las otras dar un contraejemplo.




i)

FALSO. Contraejemplo:

A = {1, 2, 3} B = {3, 4, 5} C = {1, 3, 4}




ii)

VERDADERO. Demostración:




iii)

VERDADERO. Demostración:





Si agregamos una condición que ya está dada, las soluciones son las mismas. Entonces repitamos algunas condiciones:






Y ahora separamos las condiciones en dos grupos para facilitar la lectura de la demostración.





y:




Trabajemos con (1):
Reordenando y reagrupando:





Por tautología:


Ahora de manera análoga resolvemos que (2) implica que y juntando nuevamente los datos de (1) y (2) obtenemos:




iv)

VERDADERO. Demostración:




v)

VERDADERO. Demostración:

Sabemos por hipótesis que , es decir, que




vi)

VERDADERO. Demostración:







vii)

VERDADERO. Demostración:

Uniendo conjuntos vacíos:




viii)

VERDADERO. Demostración:

Ejercicio 10

Sean A, B y C subconjuntos de un conjunto referencial V. Probar que:


i)




ii)




iii)




iv)




v)




vi)




vii)


Pero como



viii)


Sabemos que implica



ix)


como . Podemos añadir restricciones de solución nula sin cambiar el conjunto de soluciones, por lo que



ix)



Como

Ejercicio 11

Hallar el conjunto P(A) de partes de A en los casos

i)

ii)

iii)

iv)


v)


vi)