Edición de «Práctica 1: Conjuntos, relaciones y funciones (Álgebra I)»
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Revisión actual | Tu texto | ||
Línea 100: | Línea 100: | ||
VERDADERO. Demostración: <br><br> | VERDADERO. Demostración: <br><br> | ||
<math> x \in ( A \cup B ) \Longleftrightarrow x \notin A \ | <math> x \in ( A \cup B ) \Longleftrightarrow x \notin A \and x \notin B \Longleftrightarrow x \in A' \and x \in B' \Longleftrightarrow x \in ( A' \cap B') </math> | ||
Línea 109: | Línea 109: | ||
'''iii)''' <math> (A \triangle B ) \subseteq (A \triangle C) \cup ( B \triangle C) </math><br><br> | '''iii)''' <math> (A \triangle B ) \subseteq (A \triangle C) \cup ( B \triangle C) </math><br><br> | ||
VERDADERO. Demostración: <br><br> | VERDADERO. Demostración: <br><br> | ||
<math> x \in (A \triangle B) \Longleftrightarrow ( x \in A \ | <math> x \in (A \triangle B) \Longleftrightarrow ( x \in A \and x \notin B) \; \or \; ( x \notin A \and x \in B ) \Rightarrow </math><br> | ||
<math> ( x \in A \ | <math> ( x \in A \and x \notin B \and x \in C )\; \or \; ( x \in A \and x \notin B \and x \notin C) \; \or \; ( x \notin A \and x \in B \and x \in C) \; \or \; </math><br> | ||
<math> \ | <math> \or \; ( x \notin A \and x \in B \and x \notin C) \; \or \; ( x \in A \and x \in B \and x \notin C) \; \or \; ( x \notin A \and x \notin B \and x \in C ) </math><br><br> | ||
Si agregamos una condición que ya está dada, las soluciones son las mismas. Entonces repitamos algunas condiciones:<br><br> | Si agregamos una condición que ya está dada, las soluciones son las mismas. Entonces repitamos algunas condiciones:<br><br> | ||
<math> ( x \in A \ | <math> ( x \in A \and x \notin B \and x \in C )\; \or \; ( x \in A \and x \notin B \and x \notin C) \; \or </math><br> | ||
<math> \ | <math> \or \; ( x \notin A \and x \in B \and x \in C) \; \or \; ( x \notin A \and x \in B \and x \notin C) \; \or </math><br> | ||
<math>\ | <math>\or \; ( x \in A \and x \in B \and x \notin C) \; \or \; ( x \notin A \and x \notin B \and x \in C ) \; \or </math><br> | ||
<math>\ | <math>\or \; ( x \in A \and x \in B \and x \notin C) \; \or \; ( x \notin A \and x \notin B \and x \in C ) </math><br><br> | ||
Y ahora separamos las condiciones en dos grupos para facilitar la lectura de la demostración.<br><br><br> | Y ahora separamos las condiciones en dos grupos para facilitar la lectura de la demostración.<br><br><br> | ||
<math> (1) ( x \in A \ | <math> (1) ( x \in A \and x \notin B \and x \notin C) \; \or \; (x \notin A \and x \in B \and x \in C) \; \or </math><br> | ||
<math> \ | <math> \or \;( x \in A \and x \in B \and x \notin C ) \; \or \; ( x \notin A \and x \notin B \and x \in C ) </math> <br><br> | ||
y: <br><br> | y: <br><br> | ||
<math> (2) ( x \notin A \ | <math> (2) ( x \notin A \and x \in B \and x \notin C) \; \or \; ( x \in A \and x \notin B \and x \in C ) \; \or </math><br> | ||
<math> \ | <math> \or \;( x \in A \and x \in B \and x \notin C ) \; \or \; ( x \notin A \and x \notin B \and x \in C ) </math> <br><br> | ||
Trabajemos con (1): | Trabajemos con (1): | ||
<br> Reordenando y reagrupando: | <br> Reordenando y reagrupando: | ||
<br><br><math> ( x \notin B \ | <br><br><math> ( x \notin B \and ( ( x \in A \and x \notin C) \; \or \; ( x \notin A \and x \in C))) \; \or </math><br> | ||
<math> \ | <math> \or \; ( x \in B \and (( x \notin A \and x \in C) \; \or \; ( x \in A \and x \notin C))) </math><br> | ||
<math> \Longleftrightarrow ( x \notin B \ | <math> \Longleftrightarrow ( x \notin B \and x \in ( A \triangle C)) \; \or \; ( x \in B \and ( x \in ( A \triangle C)) </math><br> | ||
<math> ( x \in ( A \triangle C) \ | <math> ( x \in ( A \triangle C) \and ( x \in B \or x \notin B) \Rightarrow </math> <br> | ||
Por tautología: | Por tautología: | ||
<br> | <br> | ||
Línea 142: | Línea 142: | ||
Ahora de manera análoga resolvemos que (2) implica que <math> x \in ( B \triangle C) </math> y juntando nuevamente los datos de (1) y (2) obtenemos: | Ahora de manera análoga resolvemos que (2) implica que <math> x \in ( B \triangle C) </math> y juntando nuevamente los datos de (1) y (2) obtenemos: | ||
<br> | <br> | ||
<math> x \in ( B \triangle C) \; \ | <math> x \in ( B \triangle C) \; \or \; x \in ( A \triangle C) \Rightarrow x \in (A \triangle C ) \cup ( B \triangle C) </math> | ||
Línea 154: | Línea 154: | ||
VERDADERO. Demostración: <br><br> | VERDADERO. Demostración: <br><br> | ||
<math> x \in ( A \cap ( B \cup C ) ) \Longleftrightarrow x \in A \ | <math> x \in ( A \cap ( B \cup C ) ) \Longleftrightarrow x \in A \and x \in ( B \cup C) \Longleftrightarrow x \in A \and ( x \in B \or x \in C )</math> | ||
<math> \Longleftrightarrow ( x \in A \ | <math> \Longleftrightarrow ( x \in A \and x \in B ) \; \or \; ( x \in A \and x \in C ) \Longleftrightarrow x \in (A \cap B ) \; \or \; x \in ( A \cap C ) </math> | ||
<math> x \in ( ( A \cap B) \cup ( A \cap C ) ) </math> | <math> x \in ( ( A \cap B) \cup ( A \cap C ) ) </math> | ||
Línea 172: | Línea 172: | ||
Sabemos por hipótesis que <math> C \subseteq A </math>, es decir, que <math> x \in C \Rightarrow x \in A </math> | Sabemos por hipótesis que <math> C \subseteq A </math>, es decir, que <math> x \in C \Rightarrow x \in A </math> | ||
<math> x \in ( B \cap C ) \Longleftrightarrow x \in B \ | <math> x \in ( B \cap C ) \Longleftrightarrow x \in B \and x \in C \Rightarrow x \in B \and x \in A \Rightarrow </math> | ||
<math> \Rightarrow ( x \in B \ | <math> \Rightarrow ( x \in B \and x \in A) \; \or \; ( x \notin B \and x \notin A ) \Rightarrow x \in ( B \cap A ) \; \or \; x \in ( A \cup B )' </math> | ||
<math> \Rightarrow x \in ( ( A \cup B) - (B \cap A) )' \Rightarrow x \in ( B \triangle A)' </math> | <math> \Rightarrow x \in ( ( A \cup B) - (B \cap A) )' \Rightarrow x \in ( B \triangle A)' </math> | ||
Línea 189: | Línea 189: | ||
<math> x \in (A \triangle B) \Longleftrightarrow x \in ( ( A - B ) \cup ( B - A ) ) </math><br> | <math> x \in (A \triangle B) \Longleftrightarrow x \in ( ( A - B ) \cup ( B - A ) ) </math><br> | ||
<math> (A - B) \cup ( B - A) = \emptyset \Longleftrightarrow A - B = \emptyset \; \ | <math> (A - B) \cup ( B - A) = \emptyset \Longleftrightarrow A - B = \emptyset \; \and \; B - A = \emptyset </math> | ||
*<math> A - B = \emptyset \Longleftrightarrow \not\exists x \; / \; x \in A \ | *<math> A - B = \emptyset \Longleftrightarrow \not\exists x \; / \; x \in A \and x \notin B \Longleftrightarrow A \subseteq B </math><br> | ||
*<math> B - A = \emptyset \Longleftrightarrow \not\exists x \; / \; x \in B \ | *<math> B - A = \emptyset \Longleftrightarrow \not\exists x \; / \; x \in B \and x \notin A \Longleftrightarrow B \subseteq A </math><br> | ||
<math> A \subseteq B \; \ | <math> A \subseteq B \; \and \; B \subseteq A \Longleftrightarrow A = B </math> | ||
Línea 205: | Línea 205: | ||
VERDADERO. Demostración: <br><br> | VERDADERO. Demostración: <br><br> | ||
<math> x \in ( ( A \triangle B ) - C ) \Longleftrightarrow x \in ( A \triangle B ) \ | <math> x \in ( ( A \triangle B ) - C ) \Longleftrightarrow x \in ( A \triangle B ) \and x \notin C \Longleftrightarrow </math> | ||
<math> \Longleftrightarrow ( ( x \in A \ | <math> \Longleftrightarrow ( ( x \in A \and x \notin B ) \; \or \; ( x \notin A \and x \in B ) ) \and x \notin C \Longleftrightarrow </math> | ||
<math> \Longleftrightarrow ( x \in A \ | <math> \Longleftrightarrow ( x \in A \and x \notin B \and x \notin C ) \; \or \; ( x \notin A \and x \in B \and x \notin C ) \Longleftrightarrow </math> | ||
Uniendo conjuntos vacíos: | Uniendo conjuntos vacíos: | ||
<math> ( x \in A \ | <math> ( x \in A \and x \notin C \and x \in C ) \; \or \; ( x \in A \and x \notin C \and x \notin B) \; \or \; </math> | ||
<math> \ | <math> \or \; ( ( x \notin A \and x \in B \and x \notin C) \or ( x \in C \and x \in B \and x \notin C ) ) \Longleftrightarrow </math> | ||
<math> ( ( x \in A \ | <math> ( ( x \in A \and x \notin C ) \and ( x \notin B \or x \in C ) ) \; \or \; ( ( x \notin A \or x \in C ) \and ( x \in B \and x \notin C ) ) </math> | ||
<math> \Longleftrightarrow ( x \in ( A - C ) \ | <math> \Longleftrightarrow ( x \in ( A - C ) \and x \in ( B - C )' ) \; \or \; ( x \in ( A - C ) ' \and x \in ( B - C ) ) \Longleftrightarrow </math> | ||
<math> \Longleftrightarrow x \in ( ( A - C ) \triangle ( B - C ) ) </math> | <math> \Longleftrightarrow x \in ( ( A - C ) \triangle ( B - C ) ) </math> | ||
Línea 231: | Línea 231: | ||
VERDADERO. Demostración: <br><br> | VERDADERO. Demostración: <br><br> | ||
<math> x \in ( A \triangle \emptyset ) \Longleftrightarrow ( x \in A \ | <math> x \in ( A \triangle \emptyset ) \Longleftrightarrow ( x \in A \and x \notin \emptyset) \; \or \; ( x \notin A \and x \in \emptyset ) \Longleftrightarrow x \in A \and x \notin \emptyset \Longleftrightarrow </math> | ||
<math> \Longleftrightarrow x \in A </math> | <math> \Longleftrightarrow x \in A </math> | ||
Línea 245: | Línea 245: | ||
<math> x \in ( A \; \cup \; ( B \; \cap \; C ) ) \Longleftrightarrow x \in A \; \ | <math> x \in ( A \; \cup \; ( B \; \cap \; C ) ) \Longleftrightarrow x \in A \; \or \; x \in ( B \; \cap \; C ) \Longleftrightarrow </math> | ||
<math> \Longleftrightarrow x \in A \; \ | <math> \Longleftrightarrow x \in A \; \or \; ( x \in B \; \and \; x \in C ) \Longleftrightarrow ( x \in A \; \or \; x \in B ) \; \and \; ( x \in A \; \or \; x \in C ) </math> | ||
<math> \Longleftrightarrow x \in ( ( A \; \cup \; B ) \; \cap \; ( A \; \cup \; C ) ) </math> | <math> \Longleftrightarrow x \in ( ( A \; \cup \; B ) \; \cap \; ( A \; \cup \; C ) ) </math> | ||
Línea 259: | Línea 259: | ||
<math> x \in ( A \cap B)' \Longleftrightarrow x \notin ( A \cap B) \Longleftrightarrow x\notin A \ | <math> x \in ( A \cap B)' \Longleftrightarrow x \notin ( A \cap B) \Longleftrightarrow x\notin A \and x \notin B \Longleftrightarrow x \in ( A' \cup B' ) </math> | ||
Línea 269: | Línea 269: | ||
<math> x \in ( A \cap ( B \triangle C ) ) \Longleftrightarrow x \in A \ | <math> x \in ( A \cap ( B \triangle C ) ) \Longleftrightarrow x \in A \and x \in ( B \triangle C ) \Longleftrightarrow </math> | ||
<math> \Longleftrightarrow x \in A \ | <math> \Longleftrightarrow x \in A \and ( ( x \in B \and x \notin C) \; \or \; ( x \notin B \and x \in C ) \Longleftrightarrow </math> | ||
<math> \Longleftrightarrow ( x \in A \ | <math> \Longleftrightarrow ( x \in A \and x \in B \and x \notin C ) \; \or \; ( x \in A \and x \notin B \and x \in C ) \Longleftrightarrow</math> | ||
<math> ( x \in A \ | <math> ( x \in A \and x \in B \and x \notin ( A \cap C ) ) \; \or \; ( x \in A \and x \notin ( A \cap B ) \and x \in C ) \Longleftrightarrow </math> | ||
<math> \Longleftrightarrow( x \in ( A \cap B) \ | <math> \Longleftrightarrow( x \in ( A \cap B) \and x \in ( A \cap C )') \; \or ( x \in (A \cap C) \and x \in ( A \cap B)' )</math> | ||
<math> x \in (A \cap B ) \triangle ( A \cap C) </math> | <math> x \in (A \cap B ) \triangle ( A \cap C) </math> | ||
Línea 289: | Línea 289: | ||
<math> x \in ( A - ( B - C ) ) \Longleftrightarrow x \in A \ | <math> x \in ( A - ( B - C ) ) \Longleftrightarrow x \in A \and x \notin ( B - C ) \Longleftrightarrow x \in A \and ( x \notin B \or x \in C) </math> | ||
<math> \Longleftrightarrow ( x \in A \ | <math> \Longleftrightarrow ( x \in A \and x \notin B ) \; \or \; ( x \in A \and x \in C ) \Longleftrightarrow x \in ( B - C ) \; \or \; x \in ( A \cap C ) </math> | ||
<math> \Longleftrightarrow x \in ( ( A - B ) \cup ( A \cap C ) ) </math> | <math> \Longleftrightarrow x \in ( ( A - B ) \cup ( A \cap C ) ) </math> | ||
Línea 303: | Línea 303: | ||
<math> x \in ( A - ( A \triangle B ) ) \Longleftrightarrow x \in A \ | <math> x \in ( A - ( A \triangle B ) ) \Longleftrightarrow x \in A \and x \notin ( A \triangle B) \Longleftrightarrow x \in A \and x \notin ( A \cup B ) \and x \in ( A \cap B ) </math> | ||
<math> \Longleftrightarrow x \in A \ | <math> \Longleftrightarrow x \in A \and x \in (A \cap B) \Longleftrightarrow x \in (A \cap B) </math> | ||
Línea 315: | Línea 315: | ||
<math> x \in ( ( A \cap C ) - B) \Longleftrightarrow x \in ( A \cap C) \ | <math> x \in ( ( A \cap C ) - B) \Longleftrightarrow x \in ( A \cap C) \and x \notin B \Longleftrightarrow x \in A \and x \notin B \and x \in C \Longleftrightarrow </math> | ||
<math> \Longleftrightarrow x \in (A - B) \ | <math> \Longleftrightarrow x \in (A - B) \and x \in C \Longleftrightarrow x \in ( ( A -B) \cap C ) </math> | ||
Línea 327: | Línea 327: | ||
<math> x \in (A \triangle B) \Longleftrightarrow x \in (A - B) \; \ | <math> x \in (A \triangle B) \Longleftrightarrow x \in (A - B) \; \or \; x \in ( B - A ) </math> Pero como <math> A \subseteq B \Rightarrow A - B = \emptyset </math> | ||
<math> x \in ( A - B) \ | <math> x \in ( A - B) \or x \in ( B - A) \Longleftrightarrow x \in \emptyset \or x \in ( B - A ) \Longleftrightarrow x \in ( B \cap A' ) </math> | ||
Línea 351: | Línea 351: | ||
<math> x \in ( A \cup B) \cap C' \Longleftrightarrow ( x \in A \ | <math> x \in ( A \cup B) \cap C' \Longleftrightarrow ( x \in A \or x \in B ) \and x \notin C \Longleftrightarrow </math> | ||
<math> ( x \in A \ | <math> ( x \in A \and x \notin C) \or ( x \in B \and x \notin C)</math> como <math> C \subseteq A \Rightarrow C - A = \emptyset </math>. Podemos añadir restricciones de solución nula sin cambiar el conjunto de soluciones, por lo que | ||
<math> (x \in A \ | <math> (x \in A \and x \notin C) \or ( x \in B \and x \notin C) \Longleftrightarrow </math> | ||
<math> \Longleftrightarrow (x \in A \ | <math> \Longleftrightarrow (x \in A \and x \notin C) \or ( x \notin A \and x \in C) \or ( x \in B \and x \notin C) \Longleftrightarrow </math> | ||
<math> x \in ( A - C) \ | <math> x \in ( A - C) \or x \in ( C - A) \or ( B - C ) \Longleftrightarrow x \in ( ( A \triangle ) \cup ( B - C ) ) </math> | ||
Línea 369: | Línea 369: | ||
<math> x \in ( A \cap ( B \triangle C ) ) \Longleftrightarrow x \in A \ | <math> x \in ( A \cap ( B \triangle C ) ) \Longleftrightarrow x \in A \and x \in ( B \triangle C) \Longleftrightarrow </math> | ||
<math> \Longleftrightarrow x \in A \ | <math> \Longleftrightarrow x \in A \and ( ( x \in B \and x \notin C) \or ( x \notin B \and x \and x \in C) ) \Longleftrightarrow </math> | ||
<math> ( x \in A \ | <math> ( x \in A \and x \in B \and x \notin C) \or ( x \in A \and x \notin B \and x \in C ) </math> | ||
Como <math> \not\exists x / x \in A \ | Como <math> \not\exists x / x \in A \and x \in C \Rightarrow ( x \in A \and x \in B \and x \notin C) \or ( x \in A \and x \notin B \and x \in C ) \Longleftrightarrow </math> | ||
<math> \Longleftrightarrow ( x \in A \ | <math> \Longleftrightarrow ( x \in A \and x \in B \and x \notin C) \; con \; A \cap C = \emptyset \Longleftrightarrow x \in A \; \and \; x \in B \Longleftrightarrow </math> | ||
<math> \Longleftrightarrow x \in (A \cap B) </math> | <math> \Longleftrightarrow x \in (A \cap B) </math> |