Edición de «Final 07/03/2014 (Análisis II)»

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== Ejercicio 1 ==
Sea <math> f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}</math>, <math>f \in C^1</math> tal que: 
<ol style="list-style-type:lower-roman">
   <li> <math>f(1,2)\, < \, 0 </math> </li>
   <li> Existe una sucesión <math> \{Pk\}_{k \in \mathbb{N}} </math> tal que <math> lim \, f(Pk)=+\infty</math> cuando <math>n \rightarrow + \infty </math>. </li>
</ol>

Probar que:
<ol style="list-style-type:lower-latin">
   <li> Existe <math>p \in \mathbb{R}^2</math> tal que <math>f(p)=0</math>. </li>
   <li> Si existen dos puntos <math>p\neq q \in \mathbb{R}^2</math> tales que <math>f(p)=f(q)=0</math>, entonces existe un punto <math>p_0</math> tal que <math>\nabla f (p_0)</math> es perpendicular al vector que une <math>q</math> con <math>p</math>. </li>
</ol>

== Ejercicio 2 ==
Sea <math>f:[0,+\infty )\rightarrow \mathbb{R}</math> una función continua, que cumple las siguentes propiedades:

<ol style="list-style-type:lower-roman">
   <li> <math>f(x) \geq 0</math> para todo <math>x\in [0,+\infty )</math></li>
   <li> Existe un <math> a \> 0 </math> tal que <math> f(x) \geq a </math> <math>\forall x \in \left [\dfrac{1}{2}\, , \, 1\right ]</math>. </li>
   <li> <math>f(x) = f(x+n) \forall n \in \mathbb{N} </math>. </li>
</ol>

Demostrar que cumple estas otras propiedades:

<ol style="list-style-type:lower-latin">
   <li> <math> \int_0^1 f(x) \, dx \,\>\, 0</math></li>
   <li> <math> \forall n \in \mathbb{N}, \, \int_0^1 f(x) \, dx = \int_n^{n+1} f(x) \, dx </math></li>
   <li> <math> \int_0^{+\infty } f(x) \, dx \, = + \infty </math> </li>
</ol>

== Ejercicio 3 ==
Demostrar que si <math>f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}</math> es diferenciable en <math>P</math>, entonces, dado <math>v \in \mathbb{R}^2</math> de norma 1, existe la derivada direccional <math>\frac{\delta f}{\delta v}</math> y vale <math>\nabla f(P) \cdot v</math>.

== Ejercicio 4 ==
Demostrar Multiplicadores de Lagrange para <math>\mathbb{R}^2</math> o <math>\mathbb{R}^3</math> (a elección).