Edición de «Demostraciones (Teoría de Lenguajes)»
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** Probamos primero el '''Lema''': Si <math>[A \rightarrow .\alpha]</math> es item válido para <math>\gamma</math> prefijo viable, entonces <math>[A \rightarrow .\alpha] \in \delta(q_0, \gamma)</math>. Demostración por inducción sobre <math>i</math> en <math>S \rightarrow_{D}^i \ \gamma A w \ \rightarrow_{D} \ \gamma \alpha w</math> (esto es aplicar las definiciones de p.v. e i.v. ). | ** Probamos primero el '''Lema''': Si <math>[A \rightarrow .\alpha]</math> es item válido para <math>\gamma</math> prefijo viable, entonces <math>[A \rightarrow .\alpha] \in \delta(q_0, \gamma)</math>. Demostración por inducción sobre <math>i</math> en <math>S \rightarrow_{D}^i \ \gamma A w \ \rightarrow_{D} \ \gamma \alpha w</math> (esto es aplicar las definiciones de p.v. e i.v. ). | ||
*** Caso base i = 0: Debe pasar que <math>S \rightarrow \gamma \alpha w = \alpha \ \ (\gamma, w = \lambda)</math>. En este caso el item es en realidad <math>S \rightarrow . \alpha</math> y <math>\gamma = \lambda</math>. Por construcción de <math>\delta</math> sabemos que <math>[S \rightarrow . \alpha] \in \delta(q_0, \lambda)</math>. | *** Caso base i = 0: Debe pasar que <math>S \rightarrow \gamma \alpha w = \alpha \ \ (\gamma, w = \lambda)</math>. En este caso el item es en realidad <math>S \rightarrow . \alpha</math> y <math>\gamma = \lambda</math>. Por construcción de <math>\delta</math> sabemos que <math>[S \rightarrow . \alpha] \in \delta(q_0, \lambda)</math>. | ||
*** Paso inductivo: (supongamos HI cierta para <math>i</math>). Por hipotesis del lemma y def. de p.v. e i.v., <math>S \rightarrow_{D}^{i+1} \ \gamma A w \ \rightarrow_{D} \ \gamma \alpha w</math> . Como el <math>A</math> tiene que haber surgido en alguna derivación anterior o igual a <math>i+1</math>, <math>S \rightarrow_{D}^k \ \gamma' | *** Paso inductivo: (supongamos HI cierta para <math>i</math>). Por hipotesis del lemma y def. de p.v. e i.v., <math>S \rightarrow_{D}^{i+1} \ \gamma A w \ \rightarrow_{D} \ \gamma \alpha w</math> . Como el <math>A</math> tiene que haber surgido en alguna derivación anterior o igual a <math>i+1</math>, <math>S \rightarrow_{D}^k \ \gamma' A' w'\rightarrow_{D} \ \gamma' \gamma'' A w'' w' \ \rightarrow_{D}^{i-k} \ \gamma A w</math> . Notar que <math>\gamma' \gamma'' = \gamma</math> ya que ningún no terminal a la derecha de <math>A</math> puede expandirse antes que esta (por ser derivación más a la derecha). Ahora, como <math>\gamma' \gamma'' A w'' w'</math> es una f.s.d, <math>[B \rightarrow .\gamma'' A w'']</math> es un ítem válido para el prefijo viable <math>\gamma'</math>. Por H.I., entonces <math>[B \rightarrow .\gamma'' A w''] \in \delta(q_0, \gamma')</math>. Pero aplicando la definición (3) de <math>\delta</math> por cada símbolo de <math>\gamma'</math> se ve que podemos llegar del estado <math>[B \rightarrow .\gamma'' A w'']</math> a <math>[B \rightarrow \gamma'' . A w'']</math> consumiendo <math>\gamma''</math>. Entonces, <math>[B \rightarrow \gamma'' . A w''] \in \delta(q_0, \gamma' \gamma'') = \delta(q_0, \gamma)</math> . Para terminar, por la def. (2), <math>[A \rightarrow .\alpha] \in \delta(\delta(q_0, \gamma), \lambda) = \delta(q_0, \gamma)</math>, como queríamos probar. | ||
** Ahora, con el lema probado si <math>[A \rightarrow \alpha . \beta]</math> es item válido para <math>\gamma</math>, entonces debe pasar que <math>[A \rightarrow . \alpha \beta]</math> es item válido para <math>\delta'</math> prefijo viable (con <math>\gamma = \delta' \alpha</math>)- Por el lema anterior , <math>[A \rightarrow . \alpha \beta] \in \delta(q_0, \delta') \Rightarrow</math> (usando la definición 3 de <math>\delta</math>) <math> [A \rightarrow \alpha . \beta] \in \delta(q_0, \delta' \alpha) = \delta(q_0, \gamma)</math> | ** Ahora, con el lema probado si <math>[A \rightarrow \alpha . \beta]</math> es item válido para <math>\gamma</math>, entonces debe pasar que <math>[A \rightarrow . \alpha \beta]</math> es item válido para <math>\delta'</math> prefijo viable (con <math>\gamma = \delta' \alpha</math>)- Por el lema anterior , <math>[A \rightarrow . \alpha \beta] \in \delta(q_0, \delta') \Rightarrow</math> (usando la definición 3 de <math>\delta</math>) <math> [A \rightarrow \alpha . \beta] \in \delta(q_0, \delta' \alpha) = \delta(q_0, \gamma)</math> | ||