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Ejercicio 6
Sea
y sea
la matriz que se obtiene a partir de A por el método de eliminación Gaussiana cuando las primeras k columnas ya han sido trianguladas.
b) Usando propiedades de determinantes, probar que A es no singular si y solo si
es no singular.
Nota:
es la matriz identidad con los coeficientes
que se usaron en la eliminacion gaussiana para poner un 0 en la posicion i,j.
Por ejemplo
para una matriz de 4x4.
Asi, ![{\displaystyle A^{k}=L_{k}*L_{k-1}*\ldots *L_{1}*A}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ba3fceb783b96478c330ca3426bfe786ccbfa73)
Volviendo al ejercicio Error al representar (función desconocida «\leftrightarrrow»): {\displaystyle A^{k}\ inversible \leftrightarrrow det(A^{k}) \neq 0 \leftrightarrrow det(L_k * L_{k-1} * \ldots * L_1 * A) \neq 0 }
Error al representar (función desconocida «\leftrightarrrow»): {\displaystyle \leftrightarrrow det(L_k) * det(L_{k-1}) * \ldots * det(L_1) * det(A) \neq 0 \leftrightarrrow det(A) \neq 0 \leftrightarrrow A \ inversible}
Ejercicio 7
Probar que si
tiene todas sus submatrices principales no singulares entonces A tiene factorizacion LU sin pivoteo. Ademas esa factorización es única.
Por induccion en n.
Casos base:
n=1, ![{\displaystyle A_{1}={\begin{bmatrix}a_{11}\end{bmatrix}}=1\ a_{11}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e65ce5f994e9519f58f71a54eb47177ca87c66e)
n=2,
como
entonces puedo hacer gauss sin intercambio de filas en
entonces se que existen unicos
tal que ![{\displaystyle A_{2}=U_{2}L_{2}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/906a828187676a7264d92773258ffb5d54610638)
Paso inductivo:
Supongo que vale ![{\displaystyle A_{n}={\begin{bmatrix}A_{n-1}&c_{n}\\\ &\ \\\ &\ \\f_{n}&a_{n,n}\end{bmatrix}}=L_{n}U_{n}={\begin{bmatrix}L_{n-1}&\ &0\\\ &\ &0\\\ &\ &\vdots \\l_{n}&\ &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}U_{n-1}&u_{n}\\\ &\ \\\ &\ \\0\ldots 0&u_{n,n}\end{bmatrix}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/804de3c77d9a1638fa785f914bf3acbc5939b3d2)
donde
son matrices de n-1 x n-1,
columnas de n-1 elementos asi como
son filas de n-1 elementos.
Quiero ver que vale ![{\displaystyle A_{n+1}={\begin{bmatrix}A_{n}&c_{n+1}\\\ &\ \\\ &\ \\f_{n+1}&a_{n+1,n+1}\end{bmatrix}}=L_{n+1}U_{n+1}={\begin{bmatrix}L_{n}&\ &0\\\ &\ &0\\\ &\ &\vdots \\l_{n+1}&\ &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}U_{n}&u_{n+1}\\\ &\ \\\ &\ \\0\ldots 0&u_{n+1,n+1}\end{bmatrix}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4af7111424bcf21eadf26768ab089bcf59085e41)
Es decir que mis incógnitas son ![{\displaystyle l_{n+1},u_{n+1}\ y\ u_{n+1,n+1}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93298bae07662b6e64600b9529eb6bdcc2c7d74e)
Como los bloques son del mismo tamaño puedo multiplicar por bloques y queda
i) Despejo
haciendo:
.
ii) Despejo
haciendo:
.
iii) Despejo
haciendo:
.
i) y ii) tiene soluciones únicas porque
y
son inversibles.
Ejercicio 8
Supongamos que una matriz
tiene factorizacion A = LU y que L y U son conocidas. Dar una algoritmo que calcule el elemento (i,j) de
en aproximadamente
flops. (Un flop es una operacion de punto flotante)
Si A = LU entonces
y por lo tanto
.
Calcular
nos lleva O(
) porque se puede plantear directamente el sistema
donde
es el canonico con 1 en la posicion j y
nos daría la columna j de
. Se puede llevar a O(
) ya que se sabe de antemano que la columna j de
tiene j ceros, es decir no es necesario calcularlos. Idem con
.
Ejercicio 21
Sea
tal que
, siendo
cualquier norma consistente.
b) Probar que
.
c) Sea
una matriz inversible y
tal que
. Probar que
es inversible y vale ![{\displaystyle ||(A+\delta A)^{-1}||\leq {\frac {||A^{-1}||}{1-||A^{-1}||||\delta A||}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/912bf72bebfe47d144e902849951aef9f735b139)
b) No se si el enunciado supone que (I+R) es inversible o hay que demostrarlo, por las dudas es asi:
entonces
. Si I+R es inversible entonces Nu(I+R) = {0}
Sea
.
Da que para que exista un x tal que
y
entonces
lo cual ya sabemos que no pasa. Como cualquier vector se puede llevar a vector de norma 1 el unico x que cumple es 0 entonces
es inversible.
Volviendo al ejercicio, por inspiracion divina se me ocurre que
![{\displaystyle I=(I+R)^{-1}(I+R)=(I+R)^{-1}+(I+R)^{-1}R\Longrightarrow (I+R)^{-1}=I-(I+R)^{-1}R.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d222386fa0365481ace402c0fd0de682e776b193)
Meto norma en los 2 lados
![{\displaystyle ||(I+R)^{-1}||=||I-(I+R)^{-1}R||\leq ||I||+||(I+R)^{-1}R||\leq 1+||(I+R)^{-1}||||R||}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99224226e0aba450df1dc170bf1c470959c1f6ef)
porque
ya que es consistente. El unico numero que cumple esto es 1.
Entonces, ![{\displaystyle ||(I+R)^{-1}||\leq 1+||(I+R)^{-1}||||R||\Longrightarrow }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595fbad9d80908c2089bdfc9a5a02cfea4bacadc)
![{\displaystyle ||(I+R)^{-1}||(1-||R||)\leq 1\Longrightarrow ||(I+R)^{-1}||\leq {\frac {1}{1-||R||}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44a4d067348c970900708dc6d272cfa21173f8e5)
asi que no se puede pasar dividiendo.
c)
i)
es inversible. Primero pruebo que
es inversible por lo hecho en b). Para eso veo que
:
inversible.
Pero entonces
porque A es inversible, entonces
es inversible.
ii) ![{\displaystyle ||(A+\delta A)^{-1}||=||A(I+(\delta A(A^{-1}))||=||(I+(\delta A(A^{-1}))^{-1}A^{-1}||\underbrace {\leq } _{por\ b)}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29e6faedfaa5f535c8bfae20bea0fc582f2156d5)
![{\displaystyle {\frac {||A^{-1}||}{1-||\delta A(A)^{-1}||}}\leq {\frac {||A^{-1}||}{1-||\delta A||||A^{-1}||}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29a730ceddc2e4b64a52c2411ff14aa699e36ca2)
en el último paso usé que
(por enunciado) y asi aseguro que no divide por 0.