Edición de «Primer Parcial 11/05/2007 (Métodos Numéricos)»
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Revisión actual | Tu texto | ||
Línea 4: | Línea 4: | ||
'''Para <math>A = (a_{ij}) \in R^{mxn}</math> sean | '''Para <math>A = (a_{ij}) \in R^{mxn}</math> sean | ||
<math>||A||_M</math> y <math>|| A ||_2</math> normas matriciales definidas por | <math>||A||_M</math> y <math>|| A ||_2</math> normas matriciales definidas por | ||
<math>||A||_M = | <math>||A||_M = max_{ij} |a_{ij}|</math> y <math>||A||_2 = \sup_{||x||_2=1} ||Ax||_2</math>. Probar:<br> | ||
a) <math> | a) |<math>|A||_2 \leq \sqrt{mn} ||A||_M</math> usando la desigualdad de CBS(<math>x^ty \leq || x ||_2 || y ||_2</math>)<br> | ||
b) <math>||A||_2 \geq ||A||_M</math> usando que <math>||A||_2 \geq ||Ax||_2</math> si <math> ||x||_2 = 1</math>'''<br><br> | b) <math>||A||_2 \geq ||A||_M</math> usando que <math>||A||_2 \geq ||Ax||_2</math> si <math> ||x||_2 = 1</math>'''<br><br> | ||
Línea 12: | Línea 12: | ||
<math> \sqrt{ \sum_{i=1}^m (||fila_i||_2)^2} = \sqrt{ \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n (a_{ij})^2} \leq</math> <br> | <math> \sqrt{ \sum_{i=1}^m (||fila_i||_2)^2} = \sqrt{ \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n (a_{ij})^2} \leq</math> <br> | ||
<math> \sqrt{ \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n (||A||_M)^2} = | ||A||_M | \sqrt{ \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n 1} = ||A||_M \sqrt{mn}</math><br> | <math> \sqrt{ \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n (||A||_M)^2} = | ||A||_M | \sqrt{ \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n 1} = ||A||_M \sqrt{mn}</math><br> | ||
b) Sea <math>e_i</math> el vector canonico con un 1 en la posicion i. Sea <math>||A||_M = |a_{uv}|</math>.<br> <math>||A||_2 \geq ||A | b) Sea <math>e_i</math> el vector canonico con un 1 en la posicion i. Sea <math>||A||_M = |a_{uv}|</math>.<br> <math>||A||_2 \geq ||A e_u||_2 = \sqrt{ \sum_{j=1}^n a_{uj}^2} \geq |a_{uv}| = ||A||_M</math> | ||
<br><br><br> | <br><br><br> | ||