Edición de «Final 21/12/2012 (Álgebra I)»

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==Ejercicio 1==
Sea <math>F_n</math> la sucesión de Fibonacci:
<math>F_0=0</math>, <math>F_1=1</math>, <math>F_{n+1}=F_n+F_{n-1} (n\geq 1)</math>

a) Sean <math>a,b\in \mathbb{Z} </math> no ambos nulos. Probar que para <math>n\geq 0</math> se tiene

<math>(F_na+F_{n+1}b:F_{n+1}a+F_{n+2}b)=(a:b)</math>
 
Encontrar otra sucesión <math>G_n \in \mathbb {Z}</math> tal que:

<math>(G_na+G_{n+1}b:G_{n+1}a+G_{n+2}b)=(a:b) (n\geq 0)</math>

==Ejercicio 2==
a) Sea <math>f \in Q[x]</math>, <math>gr(f)=5</math> tal que <math>1+sqrt{2}</math> y <math>3+sqrt{3}</math> son raíces de ''f''. Probar que ''f'' tiene una raíz racional.

b) Encontrar un polinomio <math>g \in Q[x]</math> de grado 5 con raíz <math>1+sqrt{2}</math> pero sin raíces racionales.

==Ejercicio 3==
Probar que si ''p'' y ''q'' son primos distintos y si ''a'' es coprimo con ''pq'', entonces <math>a^{[p-1:q-1]}</math> es congruente a 1 (mod ''pq'')

==Ejercicio 4==
Dado <math> k \in \mathbb{N}</math>,<math>G_k= \{ z \in \mathbb{C} /z^k=1 \} </math>. Probar que si ''n'' y ''m'' son coprimos,

<math> f: G_n \times G_m \rightarrow G_{mn} </math>

<math> f(t,s)=ts </math> es biyectiva.

==Ejercicio 5==
Encontrar todos los enteros <math> 0 \leq a \leq 2400</math> que son divisibles por 8, tales que su desarrollo en base 7 tiene al menos 3 dígitos iguales.